門愛(ài)東數(shù)字信號(hào)處理課后題答案.pdf

數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 1 第一章第一章 習(xí)題習(xí)題 1 1 給定給定 f t rect t 2 rect t 2 畫出下列函數(shù)的圖形 畫出下列函數(shù)的圖形 1 f t 2 g t f t 1 3 h t f t u t 4 f t 2 解 1 tf 2 1 tftg 3 tutfth f t 1 3 2 1 0 1 2 3 t g t 1 2 1 0 1 2 3 t 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 2 4 2 t f 1 2 設(shè)設(shè) f t 是某一函數(shù) 是某一函數(shù) a t0 T 為實(shí)常數(shù) 證明 為實(shí)常數(shù) 證明 1 0 00 t f ta ft at tt 2 00 0 1 f tatft aaa tt t 3 0 00 n t f t combTfnTtnT Tt tt 解 1 0000 0 tttfatttfattatftf a tt h t 1 0 1 2 3 t 2 t f 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 t 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 3 2 0 0 00 1 0 1 1 t aa t aa tt aaa f tattf tt f tt ft 3 000 0 000 t tt tt tnT TTT nn n nn f t combf tnf t T f tttnT Tf tttnTTf tnTttnT 1 3 1 如 f t F 證明 eee tjtyjtj tfdyyFF 2 2 用 a 的結(jié)果 證明頻域卷積定理 1212 1 2 f t f tFF 證明 1 2 jy tj tj tjyt j tjytj t FeF y edyF y ee dy eF y e dyf t e 2 1 1212122 1 122 1 12 2 1 122 1 212 1 212 1 2 2 j tj t j t jy t jy t jy t Fft ftft ft edtft eft dt Feft dt Fyedyft dt Fy eft dydt ft edt Fy dy FyFy dy F 12 F 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 4 所以 1 1222 1 ft ftFF 1 4 求下圖中求下圖中 f t 脈沖的傅氏變換 脈沖的傅氏變換 解 令 2 T 脈沖幅度為 1 截取 f t 的一個(gè)周期 f0 t 則 f0 t 的傅立葉變換為 422200 TTT SaSatfFF 得 1 1 211 0124 nT nnTT FFSa 所以 1 1 14 2 n n nT n Ff tFFn San 注 如果用 sinc 函數(shù)表示 結(jié)果 n Tn ncF 14 1 sin 1 5 證明證明 1 HHa 2 00 nn HnHn 證明 1 左邊 HdHdH 2 T 4 T 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 5 00 0 0 nn n n HnHnd Hnd Hn 1 6 設(shè)設(shè) at f t e 證明脈沖序列 證明脈沖序列 n f nTtnT 的傅氏變換等于的傅氏變換等于 2 2 1 12cos aT aTaT e eTe 證明 證明 設(shè) n nTtnTftg 則 0 1 01 01 2 1 11 1 1 jnT nn a nTjnTanTjnTanTjnT nnn anTjnTanTjnT nn nT ajnT aj nn T aj T ajT aj aT F g tFf nTtnTf nT e eeeeee eeee ee e ee e 2 2cos aTaT eTe 1 7 1 證明證明 00 0 12 jnT nn n T e 2 若若 f t F 證明 證明 0 jnT nn Tf nTFn e 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 6 證明 1 00 11 jnT nn jnT nn etnT etnT 令 0 1 n f ttnT f t 為周期沖激序列 截取 f t 中一個(gè)周期 1 0 ftt 其傅立葉變換為 00 11 00 1FftF 所以 0 1 0 0 1 nT FF T 則 0 0 1 00 2 0 0 22 nT nn T n n Ff tFFnn n n 所以 0 1 0 jnT nn en 2 右邊 n nF 0 傅氏變換 nTtnTTfnTttfetfnFF nnn tjn n 0 0 左邊 傅氏反變換 1jnT nnn FTf nT eTf nTtnTTf nTtnT 所以兩者相等 原式成立 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 1 第二章第二章 習(xí)題習(xí)題 2 1 若離散時(shí)間信號(hào)為若離散時(shí)間信號(hào)為2cos 2 n 3 抽樣率為抽樣率為2000Hz 寫出所對(duì)應(yīng)的模擬信號(hào)的表達(dá)式 寫出所對(duì)應(yīng)的模擬信號(hào)的表達(dá)式 解 設(shè)對(duì)應(yīng)的模擬信號(hào)為 2cos2x tft 由取樣率為 2000Hz 得取樣周期為 1 2000 秒 故 2cos 2 s t nTs x nf tfnT 1 2000 s T 所以 1 3 s fT 解出 2000 3f 因此 2cos 4000 3 x tt 2 2 以抽樣頻率以抽樣頻率 fs 200Hz 對(duì)模擬正弦信號(hào)對(duì)模擬正弦信號(hào) a x t進(jìn)行抽樣進(jìn)行抽樣 6cos 60 3sin 300 2cos 340 4cos 500 10sin 660 a x tttttt 試確定抽樣后的離散信號(hào)表達(dá)式 試確定抽樣后的離散信號(hào)表達(dá)式 解 1 1 200 ss Tf 6cos 0 3 3sin 1 5 2cos 1 7 4cos 2 5 10sin 3 3 s aat nT x nx tnnnnn 2 3 下列系統(tǒng)中 下列系統(tǒng)中 y n 表示輸出 表示輸出 x n 表示輸入 試確定輸入輸出關(guān)系是否線性 是否表示輸入 試確定輸入輸出關(guān)系是否線性 是否 非移變 非移變 1 y n 2x n 3 2 y n x 2 n 3 n m y nx m 解 1 設(shè)輸入為 x1 n 和 x2 n 對(duì)應(yīng)輸出為 y1 n 和 y2 n 則輸出為 3 2 11 nxny 3 2 22 nxny 1 122 1122 1 12212 2 3 3 y na x na x n a y na y n a x na x naa 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 2 故為非線性 設(shè)輸入為 0 nnxnx 則輸出為 3 2 00 nnynnxny 故是非移變系統(tǒng) 2 設(shè)輸入為 x1 n 和 x2 n 對(duì)應(yīng)輸出為 y1 n 和 y2 n 則輸出為 2 11 nxny 2 22 nxny 2 22 2 11 2 22 2 11 2 2211 nxanxanyanyanxanxany 故為非線性 設(shè)輸入為 0 nnxnx 則輸出為 0 2 nnxny 而 0 2 0 nynnxnny 故是非移變系統(tǒng) 3 設(shè)輸入為 x1 n 和 x2 n 對(duì)應(yīng)輸出為 y1 n 和 y2 n 則輸出為 n m mxny 11 n m mxny 22 1 1 122 1 122 1122 n m nn mm nn mm y na x na x n a x na x n ax nax n 故為線性 設(shè)輸入為 0 nnxnx 則輸出為 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 3 0 0 nn m nmxnyny 而 00 0 nynmxnny nn m 故是非移變系統(tǒng) 2 4 確定下列系統(tǒng)是否因果的 是否穩(wěn)定的 確定下列系統(tǒng)是否因果的 是否穩(wěn)定的 1 y n g n x n g n 有界有界 2 0 n k y nx k n n n0 3 y n x n n0 4 x n a n u n h n u n 5 x n a n u n h n 1 2 n u n 解 1 令Mng 若 Mnx nxMnxngny 故穩(wěn)定 設(shè)當(dāng)kn 時(shí) 21 nxnx 11 ngnxny 22 ngnxny 21 nyny 故因果 2 若Mnx 0 n nk kxny 當(dāng) n時(shí) ny有可能趨于 故非穩(wěn)定 設(shè)當(dāng)kn 時(shí) 21 nxnx n nk kxny 0 11 n nk kxny 0 22 21 nyny 故因果 3 若Mnx Mnnxny 0 故穩(wěn)定 顯然 對(duì)于 0 nnxny 當(dāng)0 n時(shí)非因果 0 n是非因果 4 對(duì)于 nunh 當(dāng)0 n時(shí)0 nh 因果 0 nn nunh 故不穩(wěn)定 5 對(duì)于 2 1 nunh n 當(dāng)0 n時(shí)0 nh 因果 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 4 0 2 1 n n n nh 故穩(wěn)定 2 5 x n 為輸入序列 為輸入序列 h n 為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)序列 確定輸出序列為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)序列 確定輸出序列 y n 1 如圖如圖 p 2 1 a 所示所示 2 如圖如圖 p 2 1 b 所示所示 3 如圖如圖 p 2 1 c 所示所示 解 x n n 1 2 n n 1 h n u n y n x n h n u n 1 2u n u n 1 x n 2 n 2 n 1 n 2 n 1 n 2 h n n 2 y n x n h n 2 n 4 n 3 n 2 2 n 1 n x n n 1 2 n h n n 2 2 n 1 n y n x n h n n 3 5 n 1 2 n 1 0 1 2 n 1 2 2 1 1 1 2 1 0 1 2 n x n h n b 0 1 2 n 1 0 1 n 1 2 1 x n h n c 2 0 1 2 3 n 2 1 1 1 1 0 1 n x n h n a 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 5 2 6 直接計(jì)算卷積和 求序列直接計(jì)算卷積和 求序列 0 n h n a 0 0 n n x n 的卷積的卷積 y n x n h n 并用公式表示它 并用公式表示它 解 0 0 k k nn k k nn k y nx nh n x kh nk 其中 Nk nkNn 0 當(dāng) 0 n 時(shí) k無(wú)可取值區(qū)間 0 ny 當(dāng) Nn 0 時(shí) nk 0 1 1 0 0 0 1 0 n nn nn k n k nn n ny 當(dāng) NnN2 時(shí) NkNn 1 1 0 0 0 1 nNn nn nn k N Nnk nn n ny 當(dāng) Nn2 時(shí) k無(wú)可取值區(qū)間 0 ny 其它其它 0 n N 其它其它 0 n N 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 6 2 7 求圖示結(jié)構(gòu)的傳輸函數(shù)及差分方程 求圖示結(jié)構(gòu)的傳輸函數(shù)及差分方程 解 1 2 8 3 1 4 1 1 4 1 2 nynynxnxny 等式兩端 Z 變換 211 8 3 4 1 4 1 2 zzYzzYzzXnXzY 328 216 8 3 4 1 1 4 1 2 2 2 21 1 zz zz zz z zX zY zH 2 2 4 0 2 1 0 1 2 0 1 4 5 nynxnynxnxny 等式兩端 Z 變換 2121 4 0 2 0 1 0 4 5 zzYzzYzzXzzXnXzY 8420 22520 4 02 01 1 0 4 5 1 2 2 21 21 zz zz zz zz zX zY zH 3 設(shè)中間點(diǎn)信號(hào)為 ny 2 5 0 2 4 0 1 1 0 1 9 0 5 2 nynxnynxnxny 等式兩端 Z 變換 2 1 21 5 0 1 0 4 0 9 0 5 2 zzYzzYzzXzzXnXzY 2 1 4 x n z 1 a 1 4 3 8 z 1 y n c 2 5 0 9 x n z 1 0 1 0 5 z 1 0 4 1 2 0 5 z 1 0 2 0 2 z 1 y n 0 1 0 25 x n z 1 0 2 0 4 z 1 0 1 y n z 1 b 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 7 5110 4925 5 01 01 4 09 05 2 2 2 21 21 zz zz zz zz zX zY zH 2 2 0 2 1 0 1 2 0 1 5 0 2 1 nynxnynxnyny 2121 2 0 2 0 1 0 5 0 2 1 zzYzzYzzXzzXnyzY 2210 1512 2 02 01 1 05 02 1 2 2 21 21 zz zz zz zz zY zY zH 2210 1512 5110 4925 2 2 2 2 zz zz zz zz zHzHzH 1083210100 41122213300 234 234 zzzz zzzz 4321 4321 1 008 032 01 01 04 011 022 013 23 zzzz zzzz 故差分方程為 4 1 0 3 08 0 2 32 0 1 1 0 4 04 0 3 11 0 2 22 0 1 13 2 3 nynynyny nxnxnxnxnxny 2 8 試確定下列序列的傅氏變換 試確定下列序列的傅氏變換 1 0 5 1 0 5 1 x nnn 解 cos 2 1 2 1 jjnjj eeenx X e 2 01 n x na u na 解 j njnnjnj ae eaenua X e 1 1 0 3 3 4 x nu nu n 解 333 301 3 4 jj nj nj nj n nnn X e u nu neeee 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 8 2 9 令令 x n和 和 j X e 表示表示一個(gè)一個(gè)序列及其變換 序列及其變換 又假設(shè)又假設(shè) x n 為為實(shí)實(shí)函數(shù)和函數(shù)和 n 0 時(shí) 時(shí) 0 x n 利利用用 j X e 求下 求下面各面各序列的變換 序列的變換 1 kx n k 為 為任意常任意常數(shù)數(shù) 解 j ekX 2 0 x nn 0 n為 為實(shí)整實(shí)整數(shù)數(shù) 解 0 jnj eX e 3 2 g nxn 解 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 jj n njnjnj n njn nn nj eXeXenxeenx enxnxenxnxFT 取偶數(shù) 4 2 g nxn 解 deXeXeXeXnxFT jjjj 2 1 2 1 2 2 10 試確定試確定 LSI 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng) j H e 及及此此系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)倒倒數(shù)數(shù) 1 j H e 的單位取樣響應(yīng)的單位取樣響應(yīng) h n 若 若此此系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) 1 2 n h nu n 并并證明證明 h nh nn 解 j jnj e enheH 5 01 1 1 5 0 5 01 1 11 nneF eH Fnh j j 1 5 0 5 0 1 5 0 5 0 nununnnunhnh nnn 1 1 5 0 1 5 01 1 nunu nn 得證 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 9 2 11 若序列若序列 h n是 是實(shí)實(shí)因果序列 因果序列 已知已知其傅其傅立葉立葉變換的變換的實(shí)部實(shí)部為為 2 1cos 12 cos j R a He aa 求求 h n及其傅 及其傅立葉立葉變換變換 j H e 解 1 5 01 cos21 cos1 22 jj jj j R eeaa eea aa a eH 1 1 5 01 1 5 01 1 1 12 1 azaz zza zzaa zza zHR 對(duì)上式作Z反變換 得到序列 nh的共軛對(duì)稱序列 nhe dzzzH j nh n Rce 1 2 1 1 1 2 1 5 05 0 nn R z azaza azaz zzHzF 因?yàn)?nh 是因果序列 nhe 必定是雙邊序列 收斂域取 1 aza 1 n 時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)a n az n e aazz azaza azaz azFsnh 2 1 5 05 0 Re 1 1 2 0 n 時(shí) c內(nèi)有極點(diǎn)a和0 n az n e aazz azaza azaz azFsazFsnh 2 1 5 05 0 Re Re 1 1 2 又因?yàn)?nhnh ee 所以 n n e a anh 5 0 5 0 1 0 0 0 n n n 0 2 nh nh nh e e 0 0 0 n n n 0 1 n a 0 0 0 n n n nuan 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 10 j n njnj ae eaeH 1 1 0 2 12 設(shè)設(shè)序列序列 x n的傅 的傅立葉立葉變換為變換為 j X e 證明證明 2 21 2 j n x nX ed 證明 n nxnxnx 2 weeXnx jnj d 2 1 wenxeX iwtjw d 2 1 weXeX jj d 2 1 deX j 2 2 1 證畢 2 13 求以下序列的求以下序列的 z 變換及其變換及其收斂域收斂域 1 n 2 1 2 nu n 3 1 n 4 1 n 5 1 1 2 nu n 6 1 10 2 n u nu n 7 11 23 nn u nu n 解 1 1 2 1 1 2 1 1z 1 2 z 3 1 z 0z 4 20 1 ln 1 1 1 1 1 011 zzzzdz z dzzdzz n z n n n n n n n 或 5 11 21 1 z 1 2 z 6 2 14 分分別別用用長(zhǎng)除法 留長(zhǎng)除法 留數(shù)數(shù)法 部法 部分分式分分式法法求下列求下列z反反變換 變換 1 1 121 1 z 1 4 1 4 z X z z 長(zhǎng)除法 1 4 1 7 8 112288 4 1 1 21 0 2 1 1 nunnx znxzz z z zX n n 部分分式法 4 1 4 1 7 8 4 1 1 21 1 1 部分分式法 1 11 1 111 1 111 1 a aa nn aaa zaazz X z azazazzz x nu nu n 長(zhǎng)除法 a z a a a z a a aaaz az zX 1 z 1 1 1 1 1 1 221 0 n znx 1 1 nu aa ananx n 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 12 留數(shù)法 2 1 1 2 1 1 111 22 1 11 n n acc n a ac n az x nX z zdzdzan jjaz az Resz az anau n aa at 2 15 求下列求下列 z 變換的所有變換的所有可能收斂區(qū)可能收斂區(qū)間的間的反反變換 變換 11 32 10 512 X z zz 解 由原式得極點(diǎn)為 Z 0 5 Z 2 故該Z變換可能的收斂區(qū)為 a 2 z 此時(shí)對(duì)應(yīng)的x n 是右邊序列 b 1 z 此時(shí)對(duì)應(yīng)的x n 是左邊序列 c 21 z 時(shí) 0 n 時(shí) x n 0 0 n 時(shí) 圍線C內(nèi)有兩個(gè)極點(diǎn) 0 5和2 Re Re 25 0 zz zFszFsnx nn 22 2 1 3 22 2 1 3 nunx nn 2 1 z 有 0 n 時(shí) x n 0 0 n 時(shí) 圍線C外有兩個(gè)極點(diǎn) 0 5和2 Re Re 25 0 zz zFszFsnx nn 22 2 1 3 1 22 2 1 3 nunx nn 3 21 z 此時(shí)對(duì)應(yīng)的x n 是雙邊序列 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 13 0 n 時(shí) 圍線C內(nèi)有1個(gè)極點(diǎn) 0 5 n z zFsnx 2 1 3 Re 5 0 0 n 時(shí) 圍線C外有1個(gè)極點(diǎn) 2 n z zFsnx22 Re 2 故 2 1 3 1 22 nununx nn 綜上所述 得 5 0 1 22 2 1 3 25 0 2 1 3 1 22 2 22 2 1 3 znu znununx znu nx nn nn nn 2 16 有有一一離散系統(tǒng)如圖離散系統(tǒng)如圖 P2 3 所示 若所示 若 1 3 1 2 n n X n 1 0 2 00 n n h n n 求求 y n 解 10 1 10 11 X z 23 11 23 3 312 nnnn nn nn nn zz zz zz zz 12 221 nn z H zz z 所以 h n x n y n 圖圖 P2 3 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 14 2 2 10 23121 10 23121 Y zX zH z z zzz z zzz 令 Y 23121 AzBzCz z zzz 對(duì)比兩式可解出 3 4 A 6 B 3 20 C 所以 4620 Y 32313 21 410 2 11 32 3 32 zzz z zzz zzz z zz 4110 1 2 1 2 3332 nnn y nunu nu n 2 17 用用 z 變換變換法法求求解解下列差分方程下列差分方程 1 0 9 1 0 05 0 1y ny nu ny nn 解 1 1 11 1 0 9 0 051 0 05 10 9 1 Y zY z z z Y z zz 111 11 0 050 05 0 9 1 10 9 1 nnn F zY z zzz zzzz 當(dāng) n 0 時(shí) 11 Re 0 9 Re 1 0 050 05 0 90 5 0 90 5 0 10 1 nn y ns F zs F z 當(dāng) n 0 時(shí) 0y n 最后得 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 15 1 0 5 0 90 5 n y nu n 2 0 9 1 0 05 1 1 0 1y ny nu nyy nn 1 1 1 1 1 11 1 11 11 1 0 9 1 0 051 1 0 9 0 90 051 0 950 9 10 9 1 0 950 90 950 9 0 9 1 10 9 1 0 Re 0 9 Re 1 0 nnn Y zzY zyz z Y zY z z z z Y z zz zz F zY z zzz zzzz n y ns F zs F z 45 0 90 5 n u n 最后得 0 45 0 90 5 1 n u nn 2 18 若若 1 x n 2 x n是因果穩(wěn)定序列 求 是因果穩(wěn)定序列 求證證 1211 111 222 jjjj X eXedXedXed 證明 由于 的傅氏變換 故和分別表示和 2121 nxnxeXeX jj deeXeXnxnx njjj 2 1 2121 令 n 0 得 deXeXnxnx jj n 2 1 21021 1 由于 21 nxnx和 是實(shí)穩(wěn)定因果序列 故 0 0 21 0 021021 xxmnxmxnxnx n m nn 2 又 deXdeeXnxx j n jnj n 2 1 2 1 0 101011 3 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 16 deXdeeXnxx j n jnj n 2 1 2 1 0 202022 4 聯(lián)合 2 3 4 代入 1 式 得 02121 2 1 n jj nxnxdeXeX 0 0 21 xx 2 1 2 1 11 deXdeX jj 證畢 2 19 求下列序列的頻求下列序列的頻譜譜 j X e 1 0 nn 0 0 jnnjj eenn X e 2 an eu n ja njannjanj e eeenue X e 1 1 0 3 0 cos an eu nn 原式 0 5 njan enue 0 njan enue 0 5 0 00 1 5 0 1 5 0 jaja j ee X e 2 20 令令 x n是 是一一因果序列 因果序列 又設(shè)又設(shè) 0 x n 試 試證明在證明在 z 處處 X z 沒(méi)沒(méi)有有極點(diǎn)極點(diǎn)和和零點(diǎn)零點(diǎn) 證明 n n znxzX n n znx 0 0 x n 0 得到的系統(tǒng)函數(shù)為一右邊序列 1 2 n h nu n 當(dāng)收斂域?yàn)?1 2 z 2 51 2 1 1 2 n c h nIZT H zH z zdz j 式中 12 1515 22 zz 令 1 12 n n z F zH z z zzzz 當(dāng) n 0 時(shí) 12 Re Re h ns F z zs F z z 12 12 1212 nn z zz z zz zzzz zzzzzzzz 12 1221 11515 225 nn nn zz zzzz 因?yàn)?h n 是因果序列 0 0 nh n 11515 225 nn h nu n 3 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 20 0 11515 225 nn nn h n 系統(tǒng)不穩(wěn)定 如果要求系統(tǒng)穩(wěn)定 收斂域需選包含單位圓在內(nèi)的收斂域 即 21 zzz 1 12 n n z F zH z z zzzz n 0 時(shí) c 內(nèi)只有極點(diǎn) z2 只需求 z2 點(diǎn)的留數(shù) 2 115 Re 25 n h ns F z z n 0 時(shí) c 內(nèi)只有兩個(gè)極點(diǎn) z2 和 z 0 因?yàn)?z 0 是一個(gè) n 階極點(diǎn) 改成求圓外極點(diǎn)留數(shù) 圓外極點(diǎn)只有一個(gè) 即 z1 那么 1 115 Re 25 n h ns F zz 最后得到 115115 1 2255 nn h nu nun 2 24 設(shè)設(shè)線性時(shí)線性時(shí)不不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為 11 1 1 1 a z H z az a 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù) 1 求求證證 j H e 常常數(shù)數(shù) 2 參參數(shù)數(shù) a 如如何何取取值值 才能才能試系統(tǒng)因果穩(wěn)定 試系統(tǒng)因果穩(wěn)定 畫畫出出零極點(diǎn)零極點(diǎn)分分布布圖及圖及收斂域收斂域 解 1 zz az az za zH 1 1 11 1 1 極點(diǎn) a 零點(diǎn) 1 a 設(shè) a 0 6 則可以畫出極零點(diǎn)分布圖如下 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 21 由圖可知 AC AB zz az zHeH j j ez ez j 1 因?yàn)?1OAOB OCOAa 角 公用 所以 1AB AOBAOC ACa 三角形相似于三角形 常數(shù) aAC AB eH j 1 得證 2 由 a 為極點(diǎn) 故只有當(dāng)1 a時(shí)系統(tǒng)因果穩(wěn)定 設(shè) a 0 6 則極零點(diǎn)分布和收斂域圖如下 2 25 研究研究如圖如圖 P2 4 所示方所示方框框圖圖組成組成的系統(tǒng) 其中的系統(tǒng) 其中 2 j ax g xe 稱稱為線性為線性調(diào)調(diào)頻信號(hào) 試頻信號(hào) 試證證 明 明 輸出是輸入函數(shù)的傅氏變換輸出是輸入函數(shù)的傅氏變換 標(biāo)尺 標(biāo)尺有變有變化 化 當(dāng)當(dāng)輸入為輸入為門門函數(shù)時(shí) 輸出是函數(shù)時(shí) 輸出是sinc函數(shù) 函數(shù) 解 由題目框圖得輸出信號(hào)為 xgxgxgxfxF 222 axjaxjaxj eeexf h x g x f x F ax g x g x 圖圖 P2 4 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 22 222 axjxajaj edeef deef xajxaj 222 def xaj2 令 x2則 2 x 所以 2 j Ffed 顯然輸出是輸入函數(shù)的傅氏變換 當(dāng)輸入為門函數(shù)時(shí) 由以上結(jié)論有輸出是其傅氏變換 2 x SincExF 顯然得證 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 1 第三章第三章 習(xí)題習(xí)題 3 1 求如下周期序列的求如下周期序列的DFS 1 x n的周期為 的周期為4 且有 且有 4 2 3 4 5 x n R n 2 x n的周期為 的周期為6 且有 且有 6 2 3 4 5 2 9 x n R n 3 x n的周期為 的周期為8 且有 且有 4 2 3 4 5 2 3 4 5 x n R n 解 4 6 8 1 14 22 2 22 2 25 3 4641 26 9282 9 26 9282 3 4641 3 28 0 44 0 4 0 44 0 X k R kjj X k R kjjjj X k R kjj 3 2 已知已知 x n的周期為 的周期為4且有且有 4 1 2 3 4 x n R n 另 另 1 4 x nx n 求 求 1 DFS x n 2 1 DFS x n 解 4 1 4 14 1 10 22 2 22 2 4 k X k R kjj x nx n X kWX kX k 3 3 已知已知 x n的周期為 的周期為N 且 且 X kDFS x n 現(xiàn)令 現(xiàn)令 1 XkX kl 求證 求證 11 nl N x nIDFS XkWx n 解 1 11 1 0 111 00 1 11 N nk N k nlNNlN nkn k lnk N NNN kk lk nl N x nIDFS XkXk W N W X kl WX k WX k W NNN Wx n 3 4 若若 x n的 的DFS為為 X k 求證 求證 1 mo jIX kDFS x n 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 2 2 如果如果 x n 為實(shí)序列 則為實(shí)序列 則 X kXk 解 1 0 11 00 1 2 1 22 2 o N nk oNm n NN nknk NN nn xnx nxn X kXk DFS x nx nxnWjIX k x n x nx n Xkx n Wx n WX k 1 為實(shí)序列 3 5 若若 11 x nIDFS Xk 22 x nIDFS Xk 且 且 1 312 0 1 N l XkXl Xkl N 求證 求證 3312 x nIDFS Xkx n x n 解 1 333 0 11 12 00 11 12 00 1 12 0 12 1 11 11 1 N nk N k NN nk N kl NN nk N lk N nl N l x nIDFS XkXk W N X l Xkl W NN X lXkl W NN X l Wx n N x n x n 3 6 若若 x n的周期為 的周期為N 其 其DFS為為 X k 現(xiàn)令該序列通過(guò)一線性移不變系統(tǒng) 系統(tǒng)的傳遞 現(xiàn)令該序列通過(guò)一線性移不變系統(tǒng) 系統(tǒng)的傳遞 函數(shù)為函數(shù)為H z 輸出為 輸出為 y n 求證 求證 1 y n為周期序列且周期為為周期序列且周期為N 2 1 0 1 N knk NN k y nH WX k W N 解 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 3 11 00 m mm NN nknk NN nmmn kmkm NN mm y nh m x nm y nNh m x nNmh m x nmy n Y kh m x nm Wh mx nmW h mWX kh m WX kH W 1 0 1 k N N knk NN k X k y nH WX k W N 3 7 已知已知 x n 的周期為的周期為N 其 其DFS為為 X k 現(xiàn)令 現(xiàn)令 21 1 2 0 0 21 N nk N n Xkx n WkN 試?yán)迷嚴(yán)?X k 表示表示 1 Xk 解 1 0 21121 1222 00 21 222 1 2 0 1 1 0 1 2 1 1 1 N nk N n NNN nknknk NNN nnn N kkkN NNN N knk N n X kx n W X kx n Wx n Wx n W xxWxWx NW x n W 當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí) 11 2 12 00 1 1 2 2 2 k NN n knk NN nn k X kx n Wx n WX 當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí) 1 0X k 3 8 已知已知 x n 的周期為的周期為N 其 其DFS為為 X k 現(xiàn)令 現(xiàn)令 1 1 0 0 1 MN nk MN n Xkx n WkMN M為正整數(shù)且不為零為正整數(shù)且不為零 試?yán)迷嚴(yán)?X k表示 表示 1 Xk 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 4 解 1 1 0 1211 0 1 111 1 1 000 11 00 0 1 1 0 1 1 MN nk MN n NNMN nknknk MNMNMN nn NnMN MMM nNknNknNNk MNMNMN nnn MM nNkknNk MNMNMN nn Xkx n W x n Wx n Wx n W xWxWx NW xWxWWx N 1 1 0 11 00 M NknNk MNMN n NM nknk MNM nn WW x n WW 當(dāng) k lM 其中 l 為正整數(shù) 時(shí) 1 0 1 1 0 M nk M n k N nM N n WM k XkMx n WM X M 1 0 1 0 0 M nk M n klMl W Xk 當(dāng)其中 為正整數(shù) 時(shí) 3 9 求如下有限長(zhǎng)序列的求如下有限長(zhǎng)序列的N點(diǎn)點(diǎn)DFT 1 x n n 2 x n n n0 0 n0 N 3 x n an n 0 1 N 1 解 1 11 00 1 01 NN nknk NN nn X kx n Wn WkN 2 0 11 0 00 01 NN n knknk NNN nn X kx n WX knn WWkN 3 111 000 1 1 01 11 NNN nknnkkn NNN nnn kNN N kk NN X kx n Wa WaW aWa kN aWaW 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 5 3 10 有限長(zhǎng)序列有限長(zhǎng)序列x n 的波形由圖的波形由圖P3 1給出 試畫出有限長(zhǎng)序列給出 試畫出有限長(zhǎng)序列x1 n 和和x2 n 的波形 其中 的波形 其中 x1 n x n 2 4 x2 n x 2 n 4 解 3 11 圖圖P3 2具體給出了的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的波形 求其具體給出了的兩個(gè)有限長(zhǎng)序列的波形 求其6點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果 點(diǎn)循環(huán)卷積結(jié)果 圖 P3 2 解 12 5 6 1 2 3 4 x nx n 3 12 若若 x n的長(zhǎng)度為 的長(zhǎng)度為N 且且 X kDFT x n 求證 求證 0 1 2 3 n 圖 P3 1 x n 0 1 2 3 4 5 n x1 n 0 1 2 n x1 n 1 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 6 1 om XkDFT jIx n 2 如果如果 x n為實(shí)序列 則 為實(shí)序列 則 NX kXk 解 1 1 2 oNN x nx nxn 1 0 1 22 N nk oNNNm n X kXk DFT x nx nxnWjIX k 2 因?yàn)?x n 為實(shí)數(shù) 所以 11 00 NN nknk NNN nn x nx n Xkx n Wx n WX k 3 13 已知已知 x n的長(zhǎng)度為 的長(zhǎng)度為N 且且 X kDFT x n 求證 求證 1 若若 1 x nx Nn 則 則 0 0X 2 若若N為偶數(shù)且為偶數(shù)且 1 x nx Nn 則 則 0 2 N X 解 1 因?yàn)?1 x nx Nn 當(dāng) N 為偶數(shù)時(shí) 令 N 2M 則 0 1 1 2 1 xx Nxx Nx Mx M 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 N N n N n Xx n W x nxxx Mx Mx N 當(dāng) N 為奇數(shù)時(shí) 令 N 2M 1 則 0 1 1 2 2 1 0 xx Nxx Nx Mx Mx M 1 0 0 1 0 0 0 1 2 1 1 0 N N n N n Xx n W x nxxx Mx Mx Mx N 2 因?yàn)?1 x nx Nn 且 N 為偶數(shù) 所以 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 7 NN 0 1 1 2 1 22 xx Nxx Nxx nN 11 2 00 NN 1 1 2 22 N 2 NN 0 1 1 2 1 22 0 NN jn N nn jj j Njj N Xx n Wx n e xx Nexex Nexexe 3 14 若若 x n的長(zhǎng)度為 的長(zhǎng)度為N 且 且 X kDFT x n 求證 求證 1 0 1 N XkDFT X nNxkkN 解 1 0 1111 1 0000 N nk N n NNNN mnnkm k n NNN nmmn X kx n W X kDFT X nx m WWx mW 當(dāng) k 0 時(shí) 11 1 00 0 0 NN mn N mn Xx mWNx 當(dāng) 0 k N 1 時(shí) 如果 n N k 則 1 0 1 0 1 m k NN m k n N N m k n N W W W 如果 n N k 則 1 0 N m k n N n WN 所以 1 X kNx Nk 總上得 1 0 1 N XkNxkkN 3 15 已知序列已知序列 n x na u n 0a1 現(xiàn)令 現(xiàn)令 0 1 K N z X kX zkN W 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 8 求有限長(zhǎng)序列求有限長(zhǎng)序列 IDFT X k 解 0 n nnn nnn k N k N az X zx n za u n z zza W X k Wa 1 0 1 0 1 0 11 00 11 00 1 1 11 1 111 11 1 N nk N n k N nk N N k n N N nk N k n N NNkNNkNN nknk NN NN kk nn NN NN mmknkN NN nm nN N IDFT X kX k W N W W NWa W NaW a Wa W WW NaWNaW a WWa IDFT X k N IDFT DFT a Rna IDFT nN N X k a Rna IDFT X k 所以 1 n N N a Rn IDFT X k a 3 16 已知已知 x n的長(zhǎng)度為的長(zhǎng)度為N 且 且 X kDFT x n 現(xiàn)令 現(xiàn)令 0 21 N y nx nnN 求求y n 的的2N點(diǎn)點(diǎn)DFT 解 21 2 0 21121 222 00 111 222 000 1 1 N nk N n NNN nknknk NNNNNN nnn N NNN nkn N kknk NNN nnn Y kDFT y ny n W x nWx nWx nW x n Wx n Wx n W 所以 2 k 0 21 2 0k k X Y kkN 為偶數(shù) 為奇數(shù) 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 9 3 17 已知序列已知序列 x n的長(zhǎng)度為 的長(zhǎng)度為8 其 其8點(diǎn)點(diǎn)DFT結(jié)果如圖結(jié)果如圖P3 3 a 所示 就下述各序列而言 分別所示 就下述各序列而言 分別 確定在圖確定在圖P3 3 b 至圖至圖P3 3 f 中 哪張圖能反映其中 哪張圖能反映其16點(diǎn)點(diǎn)DFT結(jié)果 結(jié)果 1 0152 0 n x n y nn n 為偶數(shù)為偶數(shù) 為奇數(shù)為奇數(shù) 2 8 015y nx nn 3 4 16 0152 0 n n xW n y nn n 為偶數(shù)為偶數(shù) 為奇數(shù)為奇數(shù) 圖圖P3 3 a 圖圖P3 3 b 圖圖P3 3 c 圖圖P3 3 d 圖圖P3 3 e 圖圖P3 3 f 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 10 解 1 157 1688 00 nknk nn Y kDFT y ny n Wx n WXk 故選圖 P3 3 c 2 根據(jù)題 3 16 解 有 2 k 0 21 2 0 k X Y kkN 為偶數(shù) 其它 故選圖 P3 3 b 3 4 16 0152 0 n n xW n y nn n 為偶數(shù) 為奇數(shù) 1577 4 4 168888 000 4 nknnkkn nnn Y kDFT y ny n Wx n W Wx n WXk 故選圖 P3 3 f 3 18 現(xiàn)有一序列現(xiàn)有一序列 x n 12 NnN 12 NN 時(shí)時(shí) 如 如何何利用利用N 點(diǎn)點(diǎn) FFT 求出求出 X k 2 當(dāng)當(dāng)N M 時(shí)時(shí) 如 如何何利用利用 N 點(diǎn)點(diǎn) FFT 求出求出 X k 解 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答2005 16 1 令 1 01 0 1 x nnN x n MnN 則 11 1 00 k N MN nnknk NN z W nnn X kx n zx n Wx n W 從而只需得出 x1 n 的 N 點(diǎn) FFT 即可求出 X k 2 設(shè) M lN r 其中 r l 為正整數(shù) 0 r N 1 0 12111 0 1 1111 0000 1 k N M nnk N z W nn NNlNlNr nknknknk NNNN nn NnlNn lN NNNN nknknknk NNNN nnnn X kx n zx n W x n Wx n Wx n Wx n W x n Wx nN Wx nlN Wx nlN W x n 1 00 Nl nk N nm mNW 3 31 已知有限長(zhǎng)序列已知有限長(zhǎng)序列 x n 的的 Z 變換為變換為X z 問(wèn)問(wèn) 1 能能否否利用利用 CZT k X z 其中 其中 k k za k0 1 N1 a a1 RR 2 能能否否利用利用 CZT 求求 k X z 其中 其中 0 k zak k0 1 N1 a a RR 解 1 因?yàn)?00 00 jjkk k zAeWe 又令 0000 1 1 0 0 AW a 則 k k za 所以可用 CZT 求 k X z 2 不可 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 1 第四章第四章 習(xí)題習(xí)題 4 1 根據(jù)給定的模擬濾波器的幅度響應(yīng)平方 確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)根據(jù)給定的模擬濾波器的幅度響應(yīng)平方 確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H s 1 2 6 1 164 H j 2 22 2 22 16 25 49 36 H j 解 1 由于 2 jHa是非負(fù)有理函數(shù) 它在 j軸上的零點(diǎn)是偶次的 所以滿足幅度平 方函數(shù)的條件 先求 23 2 1 1 64 22 Hs HsHj aaa s s 其極點(diǎn)為 1 2 s 我們選出左半平面極點(diǎn) 1 2 s 為 sHa的極點(diǎn) 并設(shè)增益常數(shù)為 0 K 則得 sHa為 0 3 1 2 K Hs a s 按著 a Hs和 a Hj 的低頻特性或高頻特性的對(duì)比可以確定增益常數(shù) 在這里我們采用 低頻特性 即由 00 asa HsHj 的條件可得增益常數(shù) 0 K為 0 1 8 K 最后得到 sHa為 3 1 8 1 2 Hs a s 2 由于 2 jHa是非負(fù)有理函數(shù) 它在 j軸上的零點(diǎn)是偶次的 所以滿足幅度平方 函數(shù)的條件 先求 36 49 25 16 22 2 22 2 ss s s j a Hs a Hs a H 其極點(diǎn)為 6 7 ss 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 2 其零點(diǎn)為 5 js 皆為二階 位于虛軸上 如果沒(méi)有特殊要求 可以選擇取 aa Hs Hs 以虛軸為對(duì)稱軸的對(duì)稱零點(diǎn)的任意一 半 應(yīng)是共軛對(duì) 作為 Ha s 的零點(diǎn) 但如果要求是最小相位延時(shí)濾波器 則應(yīng)取左半平 面零點(diǎn)作為 Ha s 的零點(diǎn) j 虛軸上的零點(diǎn)或極點(diǎn)一定是二階的 其中一半 應(yīng)為共軛對(duì) 屬于 Ha s 我們選出左半平面極點(diǎn) 7 6 ss 及一對(duì)虛軸零點(diǎn)5js 為 sHa的零 極 點(diǎn) 并設(shè)增益常數(shù)為 0 K 則得 sHa為 6 7 25 2 0 ss sK sHa 按著 a Hs和 a Hj 的低頻特性或高頻特性的對(duì)比可以確定增益常數(shù) 在這里我們采用 低頻特性 即由 00 asa HsHj 的條件可得增益常數(shù) 0 K為 4 0 K 最后得到 sHa為 4213 1004 6 7 25 4 2 22 ss s ss s sHa 4 2 設(shè)計(jì)一個(gè)模擬巴特沃斯低通濾波器 給定的技術(shù)要求為 設(shè)計(jì)一個(gè)模擬巴特沃斯低通濾波器 給定的技術(shù)要求為 通帶最高頻率通帶最高頻率 fp 500Hz 通帶衰減要不大于 通帶衰減要不大于 3dB 阻帶起始頻率阻帶起始頻率 fs 1kHz 阻帶內(nèi)衰減要不小于 阻帶內(nèi)衰減要不小于 40dB 解 21000 22000 pp ss f f 由給定的參數(shù)可以得到此濾波器的頻率相應(yīng)形式為 2 2222 11 1 1 1000 NN p H j 由式 4 8 得 為 0 1 0 1 3 1011011 p A 由式 4 9 得濾波器得階數(shù)為 數(shù)字信號(hào)處理 習(xí)題解答 2005 3 0 1 2 0 1 40 101 lg lg 101 6 64 2lg2 2lg s A s p N 取整后 得 N 7 由式 4 13 得 H p H p 的極點(diǎn)為 21 22 1 k 0 1 6 k jj N k N pee 3579 2 14214214214214 01234 1113 214214 56 jjjjj jj pepepepepe p