二次函數的圖象特點及其應用.doc

二次函數的圖象特點及其應用二次函數的圖象特點及其應用 課題名稱: 二次函數的圖象特點及其應用 課題的研究及意義: 數學是一門很有用的學科。古往今來，人類社會都是在不斷了解和探究數學的過程中得到發(fā)展進步的。數學對推動人類文明起了舉足輕重的作用。 數學是人們用來解決實際問題的，其實數學問題就產生在生活中。比如說，上街買東西自然要用到加減法，修房造屋總要畫圖紙。類似這樣的問題數不勝數，這些知識就從生活中產生，最后被人們歸納成數學知識，解決了更多的實際問題?，F在，就讓我們一起領略數學中二次函數的無窮魅力 課題研究內容: 1.發(fā)展史:函數就是在某變化過程中有兩個變量X和Y，變量Y隨著變量X一起變化，而且依賴于X。如果變量X取某個特定的值，Y依確定的關系取相應的值，那么稱Y是X的函數。這一要領是由法國數學家黎曼在19世紀提出來的，但是最早產生于德國的數學家菜布尼茨。他和牛頓是微積分的發(fā)明者。17世紀末，在他的文章中，首先使用了 “function 一詞。翻譯成漢語的意思就是 “ 函數。不過，它和我們今天使用的函數一詞的內涵并不一樣，它表示 ” 冪 ” 、 “ 坐標 ” 、 “ 切線長 ” 等概念。 直到18世紀，法國數學家達朗貝爾在進行研究中，給函數重新下了一個定義，他認為，所謂變量的函數，就是指由這些變量和常量所組成的解析表達式，即用解析式表達函數關系。后來瑞士的數學家歐拉又把函數的定義作了進一步的規(guī)范，他認為函數是能描畫出的一條曲線。我們常見到的一次函數的圖像、二次函數的圖像、正比例函數的圖像、反比例的圖像等都是用圖像法表示函數關系的。如果用達朗貝爾和歐拉的方法來表達函數關系，各自有它們的優(yōu)點，但是如果作為函數的定義，還有欠缺。因為這兩種方法都還停留在表面現象上，而沒有提示出函數的本質來。 19世紀中期，法國數學家黎緊吸收了萊布尼茨、達朗貝爾和歐拉的成果，第一次準確地提出了函數的定義：如果某一個量依賴于另一個量，使后一個量變化時，前一個量也隨著變化，那么就把前一個量叫做后一個量的函數。黎曼定義的最大特點在于它突出了就是之間的依賴、變化的關系，反映了函數概念的本質屬性。 2. 定義:表達式如y=ax2+bx+c (a0,且a,b,c是常數)的函數,我們把y叫做x的一元二次函數. 二次函數有三種表達式: (1)一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a0） (2)頂點式：y=a(x-h)2+k 拋物線的頂點P（h，k）對于二次函數y=ax2+bx+c 其頂點坐標為 (-b/2a,(4ac-b2)/4a) (3)交點式：y=a(x-x?)(x-x ?) 僅限于與x軸有交點A（x?，0）和 B（x?，0）的拋物線 其中x1，2= -bb24ac 3.圖象特征:一條拋物線,對稱軸是 x=-b/2a,頂點為 (-b/2a,(4ac-b2)/4a) 當a0開口向上,在對稱軸的左側y隨x的增大而減小, 在對稱軸的右側y隨x的增大而增大 當a0開口向下, 在對稱軸的左側y隨x的增大而增大,在對稱軸的右側y隨x的增大而減小. 4借助二次函數的圖象和性質解決有關生活實際問題的基本方法： 數學模型 轉化 實際問題（二次函數的圖象和性質） 實際問題（二次函數的圖象和性質） 回歸 數學模型 轉化關鍵點：正確建立直角坐標系 1）能夠將實際距離（準確的）轉化為點的坐標； 2）選擇運算簡便的方法。 5.應用: 二次函數如空氣般,無時無刻不縈繞于我們身邊.只是它太平凡,太普通.而使我們似乎覺察不到它在我們身旁.我們無時無刻不在利用二次函數解決難題. (1)商業(yè):然而有誰理解二次函數的奧妙.二次函數在生活中有許多應用.比如在商場上,二次函數就為必不可少的工具.在實際生活和經濟活動中，很多問題都與二次函數密切相關。 在生活中，很多盈利問題都與二次函數有關，尤其是圖象。利用二次函數我們可以解決許多盈利問題。如商業(yè)利潤與廣告投資的關系等等. 例如:某企業(yè)信息部進行市場調查發(fā)現:信息一:如果單獨投資A種產品,則所獲利潤y（A）與投資金額x之間存在正比例關系：y(A)=kx,并且當投資5萬元時，可獲利潤2萬元并且當投資2萬元時，可獲利潤2。4萬元；當投資4萬元時；可獲利潤3。2萬元。而該企業(yè)要對A。B兩種產品進行10萬元投資，怎樣才可獲得最大利潤。假如你無法熟練掌握二次函數，那么你將會失去了商機，用最少投入，獲得最大產出，這就是效率。假如，你是該企業(yè)成員，該如何設計投資方案呢？ 設：能獲得最大利潤為y，則=y(A)+y(B)投資產品x萬元，則產品（10-x)萬元。則y=2/5(10-x)-0.4x2+1.6x=-0.4(x-3/2)2+4.9由二次函數的知識，我們能很明白，當B投資3/2萬元，A投資8。5萬元時，就能獲得最大利潤。假如你體會并能掌握二次函數的魄力，解決諸如此類的商業(yè)問題，就是小菜一碟。然而，這不過是二次函數被利用于商業(yè)競爭的一小部分，二次函數的魄力又何僅限于此呢？ (2)建筑:二次函數在建筑中的運用十分廣泛。 如某建筑的屋頂設計成橫截面為拋物線型(曲線AOB)的薄殼屋頂。施工前要先制造建筑模板，怎樣畫出模板的輪廓線呢?為了畫出符合要求的模板，通常要先建立適當的直角坐標系，再寫出函數關系式，然后根據這個關系式進行計算，放樣畫圖。 再如人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，噴水口A距地面2m，噴水水流的最高點P到水槍AB所在直線的距離為1m，且水流的著地點C距離水槍底部B的距離為5/2m,那么，水流的最高點距離地面是多少米？水流沿拋物線落下，容易聯想到二次函數的圖象，從而用有關二次函數的知識解決問題。 二次函數與拱橋問題也有密切聯系。也可由二次函數求出橋的高低與游船通行的關系。 。 (4)戰(zhàn)爭:戰(zhàn)爭中也不乏運用二次函數的例子。 如某防空部隊進行射擊訓練時，若導彈運行軌道為一拋物線，可求該拋物線的解析式，再運用函數知識預知導彈能否命中目標。 （5）體育：二次函數也與體育息息相關。 先就籃球來說說： 拋物線是指投籃出手后，球在空中飛行的弧形軌跡，以距離投籃為例，可歸納為低，中高三種弧線。 1。球的飛行路線最短，力量容易控制，但由于飛行路線低平，籃圈暴露在求下面的面積很小，不易投中。 2。中弧線：球飛行弧線的最高點大致在籃板的上沿，在一條水平線上球籃的大部分暴露在球的下面，這是一種比較適宜的拋物線。 3。高弧線：球接近于垂直下落，籃圈幾乎全暴露在球的下面，球容易入籃。但球的飛行路線太平，不宜控制，實際會降低命中率。 上述投籃的拋物線，只是原地投籃的一種規(guī)律，拋物線的高低還與出手力量有關。在實際應用中，應根據不同的距離，隊員的高低，跳投時跳起的高度，不同的投籃方式及防守，干擾等采用不同的拋物線投籃。 生活中也不乏用二次函數的知識來計算體育成績的例子 如一名運動員推鉛球，鉛球在點A處出手時球距離地面約為1 m，鉛球落地在點B處，鉛球運行中在運動員前4m處到達最高點C，最高點高為3m。已知鉛球經過的路線是拋物線，你能算出該運動員的成績嗎？ 再如一位運動員在距籃下4m處起跳投籃，球運行的路線是拋物線，當球運行的水平距離是2.5m時，球達到最大高度3.5m ,已知籃筐中心到地面的距離3.05m , 問球出手時離地面多高時才能中？以上二問題都可先建立坐標系，再運用二次函數相關知識得出結論。類似的還有跳遠，足球射門，羽毛球等體育運動。 總結: 數學的魄力，在于其古老與神奇，總是與美聯系在一起，只要懷有一顆欣賞之心，就會在生活的每一個角落捕捉到其“魅影”拋物線。這種魄力是獨特的，內在的，正如英國著名哲學家，數學家羅素所說：“數學，如果正確看它，不但擁有真理，而且也具有至高無上的美，正像雕刻的美，是一種冷而嚴肅的美。這種美不是投合我們天性的微弱的方面，這種美沒有繪