（江蘇專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 橢圓教師用書 文 蘇教版.doc

9.5 橢圓1.橢圓的概念平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的和等于常數(shù)(大于f1f2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.集合pm|mf1mf22a，f1f22c，其中a0，c0，且a，c為常數(shù)：(1)若ac，則集合p為橢圓；(2)若ac，則集合p為線段；(3)若ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍axabybbxbaya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)a1(a,0)，a2(a,0) b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)b1(b,0)，b2(b,0)軸長(zhǎng)軸a1a2的長(zhǎng)為2a；短軸b1b2的長(zhǎng)為2b焦距f1f22c離心率e(0,1)a，b，c的關(guān)系a2b2c2【知識(shí)拓展】點(diǎn)p(x0，y0)和橢圓的關(guān)系(1)點(diǎn)p(x0，y0)在橢圓內(nèi)1.【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.()(2)橢圓上一點(diǎn)p與兩焦點(diǎn)f1，f2構(gòu)成pf1f2的周長(zhǎng)為2a2c(其中a為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，c為橢圓的半焦距).()(3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.()(4)方程mx2ny21(m0，n0，mn)表示的曲線是橢圓.()(5)1(ab)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.()(6)1(ab0)與1(ab0)的焦距相等.()1.(教材改編)橢圓1的焦距為4，則m_.答案4或8解析由題意知或解得m4或m8.2.(2016蘇州檢測(cè))在平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)p到定點(diǎn)f(1,0)的距離與p到定直線x4的距離的比值為.則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為_(kāi).答案1解析設(shè)點(diǎn)p(x，y)，由題意知，化簡(jiǎn)得3x24y212，所以動(dòng)點(diǎn)p的軌跡c的方程為1.3.(2016全國(guó)乙卷改編)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為_(kāi).答案解析如圖，由題意得，bfa，ofc，obb，od2bb.在rtfob中，ofobbfod，即cbab，解得a2c，故橢圓離心率e.4.已知中心在原點(diǎn)的橢圓c的右焦點(diǎn)為f(1,0)，離心率等于，則c的方程是_.答案1解析由題意知c1，e，所以a2，b2a2c23.故所求橢圓方程為1.5.(教材改編)已知點(diǎn)p是橢圓1上y軸右側(cè)的一點(diǎn)，且以點(diǎn)p及焦點(diǎn)f1，f2為頂點(diǎn)的三角形的面積等于1，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為_(kāi).答案或解析設(shè)p(x，y)，由題意知c2a2b2541，所以c1，則f1(1,0)，f2(1,0)，由題意可得點(diǎn)p到x軸的距離為1，所以y1，把y1代入1，得x，又x0，所以x，所以p點(diǎn)坐標(biāo)為或.題型一橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1利用定義求軌跡例1(2016徐州模擬)如圖所示，一圓形紙片的圓心為o，f是圓內(nèi)一定點(diǎn)，m是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使m與f重合，然后抹平紙片，折痕為cd，設(shè)cd與om交于點(diǎn)p，則點(diǎn)p的軌跡是_.答案橢圓解析由條件知pmpf，popfpopmomrof.p點(diǎn)的軌跡是以o，f為焦點(diǎn)的橢圓.命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求橢圓方程例2(1)已知橢圓以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，并且過(guò)點(diǎn)p(3,0)，則橢圓的方程為_(kāi).(2)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)p1(，1)，p2(，)，則橢圓的方程為_(kāi).答案(1)y21或1(2)1 解析(1)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為1(ab0).橢圓過(guò)p(3,0)，1，即a3，又2a32b，b1，橢圓方程為y21.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為1(ab0).橢圓過(guò)點(diǎn)p(3,0)，1，即b3.又2a32b，a9，橢圓方程為1.所求橢圓的方程為y21或1.(2)設(shè)橢圓方程為mx2ny21(m0，n0且mn).橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)p1，p2，點(diǎn)p1，p2的坐標(biāo)適合橢圓方程.即兩式聯(lián)立，解得所求橢圓方程為1.命題點(diǎn)3利用定義解決“焦點(diǎn)三角形”問(wèn)題例3已知f1，f2是橢圓c：1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓c上的一點(diǎn)，且.若pf1f2的面積為9，則b_.答案3解析設(shè)pf1r1，pf2r2，則因?yàn)?r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，又因?yàn)樗詁3.引申探究1.在例3中，若增加條件“pf1f2的周長(zhǎng)為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程.解由原題得b2a2c29，又2a2c18，所以ac1，解得a5，故橢圓方程為1.2.在例3中，若將條件“”“pf1f2的面積為9”分別改為“f1pf260”“”，結(jié)果如何？解pf1pf22a，又f1pf260，所以pfpf2pf1pf2cos 60f1f，即(pf1pf2)23pf1pf24c2，所以3pf1pf24a24c24b2，所以pf1pf2b2，又因?yàn)閎2b23，所以b3.思維升華(1)求橢圓的方程多采用定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形狀時(shí)，一定要注意常數(shù)2af1f2這一條件.(2)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過(guò)程是先定形，再定量，即首先確定焦點(diǎn)所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組.如果焦點(diǎn)位置不確定，要考慮是否有兩解，有時(shí)為了解題方便，也可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m0，n0，mn)的形式.(3)當(dāng)p在橢圓上時(shí)，與橢圓的兩焦點(diǎn)f1，f2組成的三角形通常稱為“焦點(diǎn)三角形”，利用定義可求其周長(zhǎng)；利用定義和余弦定理可求pf1pf2；通過(guò)整體代入可求其面積等.(1)(2016鹽城模擬)已知兩圓c1：(x4)2y2169，c2：(x4)2y29，動(dòng)圓在圓c1內(nèi)部且和圓c1相內(nèi)切，和圓c2相外切，則動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為_(kāi).(2)(2016鎮(zhèn)江模擬)設(shè)f1、f2分別是橢圓y21的左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)p，使()0(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，則f1pf2的面積是_.答案(1)1(2)1解析(1)設(shè)圓m的半徑為r，則mc1mc2(13r)(3r)168c1c2，所以m的軌跡是以c1，c2為焦點(diǎn)的橢圓，且2a16,2c8，故所求的軌跡方程為1.(2)()()0，pf1pf2，f1pf290.設(shè)pf1m，pf2n，則mn4，m2n212,2mn4，題型二橢圓的幾何性質(zhì)例4(1)已知點(diǎn)f1，f2是橢圓x22y22的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)p是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么|的最小值是_.(2)(2016全國(guó)丙卷改編)已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f是橢圓c：1(ab0)的左焦點(diǎn)，a，b分別為橢圓c的左，右頂點(diǎn).p為c上一點(diǎn)，且pfx軸.過(guò)點(diǎn)a的直線l與線段pf交于點(diǎn)m，與y軸交于點(diǎn)e.若直線bm經(jīng)過(guò)oe的中點(diǎn)，則c的離心率為_(kāi).答案(1)2(2)解析(1)設(shè)p(x0，y0)，則(1x0，y0)，(1x0，y0)，(2x0，2y0)，|22.點(diǎn)p在橢圓上，0y1，當(dāng)y1時(shí)，|取最小值2.(2)設(shè)m(c，m)，則e，oe的中點(diǎn)為d，則d，又b，d，m三點(diǎn)共線，所以，a3c，e.思維升華(1)利用橢圓幾何性質(zhì)的注意點(diǎn)及技巧注意橢圓幾何性質(zhì)中的不等關(guān)系在求與橢圓有關(guān)的一些量的范圍，或者最大值、最小值時(shí)，經(jīng)常用到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中x，y的范圍，離心率的范圍等不等關(guān)系.利用橢圓幾何性質(zhì)的技巧求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，當(dāng)涉及頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)，要理清它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.(2)求橢圓的離心率問(wèn)題的一般思路求橢圓的離心率或其范圍時(shí)，一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a，b，c的等式或不等式，利用a2b2c2消去b，即可求得離心率或離心率的范圍.(2016江蘇)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，f是橢圓1(ab0)的右焦點(diǎn)，直線y與橢圓交于b，c兩點(diǎn)，且bfc90，則該橢圓的離心率是_.答案解析聯(lián)立方程組解得b，c兩點(diǎn)坐標(biāo)為b，c，又f(c,0)，則，又由bfc90，可得0，代入坐標(biāo)可得c2a20，又因?yàn)閎2a2c2.代入式可化簡(jiǎn)為，則橢圓離心率為e.題型三直線與橢圓例5(2016天津)設(shè)橢圓1(a)的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a.已知，其中o為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)a的直線l與橢圓交于點(diǎn)b(b不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點(diǎn)m，與y軸交于點(diǎn)h.若bfhf，且moamao，求直線l的斜率.解(1)設(shè)f(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以橢圓的方程為1.(2)設(shè)直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為yk(x2).設(shè)b(xb，yb)，由方程組消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120，解得x2或x.由題意，得xb，從而yb.由(1)知，f(1,0)，設(shè)h(0，yh)，有(1，yh)，.由bfhf，得0，所以0，解得yh.因此直線mh的方程為yx.設(shè)m(xm，ym)，由方程組消去y，解得xm.在mao中，moamaomamo，即(xm2)2yxy，化簡(jiǎn)得xm1，即1，解得k或k.所以直線l的斜率為或.思維升華(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問(wèn)題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡(jiǎn)，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問(wèn)題.涉及弦中點(diǎn)的問(wèn)題時(shí)用“點(diǎn)差法”解決，往往會(huì)更簡(jiǎn)單.(2)設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(k為直線斜率).提醒：利用公式計(jì)算直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)是在方程有解的情況下進(jìn)行的，不要忽略判別式.如圖，已知橢圓o：y21的右焦點(diǎn)為f，b，c分別為橢圓o的上，下頂點(diǎn)，p是直線l：y2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與y軸交點(diǎn)除外)，直線pc交橢圓o于另一點(diǎn)m.(1)當(dāng)直線pm過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)f時(shí)，求fbm的面積；(2)記直線bm，bp的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值；求的取值范圍.(1)解由題意知b(0,1)，c(0，1)，焦點(diǎn)f(，0)，當(dāng)直線pm過(guò)橢圓o的右焦點(diǎn)f時(shí)，直線pm的方程為1，即yx1.聯(lián)立解得或(舍去)，即點(diǎn)m的坐標(biāo)為(，).連結(jié)bf，則直線bf的方程為1，即xy0.又bfa2，點(diǎn)m到直線bf的距離為d，故fbm的面積為smbfbfd2.(2)方法一證明設(shè)p(m，2)，且m0，則直線pm的斜率為k，則直線pm的方程為yx1.聯(lián)立消去y，得(1)x2x0，解得點(diǎn)m的坐標(biāo)為(，)，所以k1m，k2，所以k1k2m為定值.解由知，(m,3)，(m，2)(，)，所以(m,3)(，).令m24t4，則t7.因?yàn)閥t7在t(4，)上單調(diào)遞增，所以t7479，故的取值范圍為(9，).方法二證明設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(x0，y0)(x00)，則直線pm的方程為yx1，令y2，得點(diǎn)p的坐標(biāo)為(，2)，所以k1，k2，所以k1k2為定值.解由知，(，3)，(x0，y02)，所以(x0)3(y02)3(y02)3(y02).令ty01(0,2)，則t7.因?yàn)閥t7在t(0,2)上單調(diào)遞減，所以t7279，故的取值范圍為(9，).8.高考中求橢圓的離心率問(wèn)題考點(diǎn)分析離心率是橢圓的重要幾何性質(zhì)，是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，這類問(wèn)題一般有兩類：一類是根據(jù)一定的條件求橢圓的離心率；另一類是根據(jù)一定的條件求離心率的取值范圍，無(wú)論是哪類問(wèn)題，其難點(diǎn)都是建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的關(guān)系式，這是化解有關(guān)橢圓的離心率問(wèn)題難點(diǎn)的根本方法.典例1(2015福建改編)已知橢圓e：1(ab0)的右焦點(diǎn)為f，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為m，直線l：3x4y0交橢圓e于a，b兩點(diǎn).若afbf4，點(diǎn)m到直線l的距離不小于，則橢圓e的離心率的取值范圍是_.解析左焦點(diǎn)f0，連結(jié)f0a，f0b，則四邊形afbf0為平行四邊形.afbf4，afaf04，a2.設(shè)m(0，b)，則，1b2.離心率e .答案典例2(14分)(2016浙江)如圖，設(shè)橢圓y21(a1).(1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a，k表示)；(2)若任意以點(diǎn)a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.規(guī)范解答解(1)設(shè)直線ykx1被橢圓截得的線段為am，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2，因此am|x1x2|.6分(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)p，q，滿足apaq.記直線ap，aq的斜率分別為k1，k2，且k1，k20，k1k2.8分由(1)知ap，aq，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由k1k2，k1，k20，得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因?yàn)槭疥P(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1，所以a.12分因此，任意以點(diǎn)a(0,1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1a，由e，得00)的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，過(guò)f2的直線l交c于a、b兩點(diǎn)，若af1b的周長(zhǎng)為4，則橢圓c的方程為_(kāi).答案1解析af1b的周長(zhǎng)af1bf1af2bf24a，4a4，故a，即3m()2，m1.橢圓的方程為1.2.(2016蘇北四市一模)已知橢圓1(ab0)，點(diǎn)a、b1、b2、f依次為其左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn).若直線ab2與直線b1f的交點(diǎn)恰在直線x上，則橢圓的離心率為_(kāi).答案解析由題意知直線ab2：1，直線b1f：1，聯(lián)立解得x，若交點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上，則，即2c2aca20，所以2e2e10，解得e.3.若對(duì)任意kr，直線ykx10與橢圓1恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_.答案1,2)(2，)解析聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去y得(2k2m)x24kx22m0，因?yàn)橹本€與橢圓恒有公共點(diǎn)，所以16k24(2k2m)(22m)0，即2k2m10恒成立，因?yàn)閗r，所以k20，則m10，所以m1，又m2，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是1,2)(2，).4.(2016南昌模擬)已知橢圓：x21，過(guò)點(diǎn)p(，)的直線與橢圓相交于a，b兩點(diǎn)，且弦ab被點(diǎn)p平分，則直線ab的方程為_(kāi).答案9xy50解析設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，因?yàn)閍，b在橢圓x21上，所以兩式相減，得xx0，即(x1x2)(x1x2)0，又弦ab被點(diǎn)p(，)平分，所以x1x21，y1y21，將其代入上式，得x1x20，得9，即直線ab的斜率為9，所以直線ab的方程為y9(x)，即9xy50.5.(2016宿遷模擬)已知f1、f2是橢圓y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，p為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，則使pf1pf2取得最大值的點(diǎn)p為_(kāi).答案(0,1)或(0，1)解析由橢圓定義得pf1pf22a4，pf1pf2()24，當(dāng)且僅當(dāng)pf1pf22，即p(0，1)或(0,1)時(shí)，pf1pf2取得最大值.6.已知兩定點(diǎn)a(2,0)和b(2,0)，動(dòng)點(diǎn)p(x，y)在直線l：yx3上移動(dòng)，橢圓c以a，b為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)p，則橢圓c的離心率的最大值為_(kāi).答案解析由題意知，橢圓c的離心率e，求e的最大值，即求a的最小值.由于a，b兩點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，所以papb2a，即在直線l上找一點(diǎn)p，使papb的值最小，設(shè)點(diǎn)a(2,0)關(guān)于直線l：yx3的對(duì)稱點(diǎn)為q(x0，y0)，則解得即q(3,1)，則papbqb，即2a，a，e.7.若橢圓1(a0，b0)的焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)點(diǎn)(2,1)作圓x2y24的切線，切點(diǎn)分別為a，b，直線ab恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，則橢圓方程為_(kāi).答案1解析設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(m，n)，則1，即m2n2n2m0.m2n24，2mn40，即直線ab的方程為2xy40.直線ab恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，2c40，b40，解得c2，b4，a2b2c220，橢圓方程為1.8.已知p為橢圓1上的一點(diǎn)，m，n分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點(diǎn)，則pmpn的最小值為_(kāi).答案7解析由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)f1，f2分別是兩圓的圓心，且pf1pf210，從而pmpn的最小值為pf1pf2127.9.(2017連云港質(zhì)檢)橢圓y21的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)p為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，若f1pf2為鈍角，則點(diǎn)p的橫坐標(biāo)的取值范圍是_.答案(，)解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x，y)，則(x，y)，(x，y).f1pf2為鈍角，0，即x23y20，y21，代入，得x2310，x22，x2.解得xb0)的離心率等于，其焦點(diǎn)分別為a，b，c為橢圓上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則在abc中，_.答案3解析在abc中，由正弦定理得，因?yàn)辄c(diǎn)c在橢圓上，所以由橢圓定義知cacb2a，而ab2c，所以3.11.(2016南京模擬)如圖，橢圓c：1(ab0)的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)分別為a，b，且abbf.(1)求橢圓c的離心率；(2)若斜率為2的直線l過(guò)點(diǎn)(0,2)，且l交橢圓c于p，q兩點(diǎn)，opoq，求直線l的方程及橢圓c的方程.解(1)由已知abbf，即a，4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e.(2)由(1)知a24b2，橢圓c：1.設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，直線l的方程為y22(x0)，即2xy20.由消去y，得x24(2x2)24b20，即17x232x164b20.3221617(b24)0，解得b.x1x2，x1x2.opoq，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0，5x1x24(x1x2)40