數學復習應試筆記.doc

2011年高考數學復習“應試筆記”2011年高考數學解題高分策略難點突破與培優(yōu)提高 目 錄一. 選擇題,填空題A. 14解題常用經典再現(xiàn)A1.集合性質與運算A2.命題的否定與否命題A3.復數運算A4.冪函數的的性質及圖像變化規(guī)律A5.統(tǒng)計A6.回歸直線方程A7.線性回歸方程B. 59，中檔題B1.線性規(guī)劃B 2.三角變換B 3.三角形中的三角變換B 4.三角恒等與不等式B5.概率的計算公式B6. 排列、組合B7.最值定理B8.求函數值域的常用方法B9.函數值域的題型B10.應用基本不等式求最值的“八種變形技巧” B11.“單調性”補了“基本不等式”的漏洞B12.理解幾組概念B13. 了解幾個定理C. 912思維拓展題C1.線段的定比分點公式C2. 抽象函數C3.函數圖像的對稱性C4.幾個函數方程的周期(約定)C5.對稱性與周期性的關系C6.函數圖象的對稱軸和對稱中心舉例C7.函數周期性、對稱性與奇偶性的關系C8.關于奇偶性與單調性的關系C9.原函數與反函數C 10.幾何體中數量運算導出結論C11.圓錐曲線幾何性質C12.函數圖像變換C13. 借助圖象比較大小C14.常用的近似計算公式（當充分小時）C15.大小比較常用方法C16.不定項填空題易誤知識點拾遺C17關于空間問題與平面問題的類比D. 1314，把關題D1.熟知幾個重要函數D2.幾個重要圖像D3.函數的零點處理D4.比例的幾個性質D5.三角形幾個性質D6.含絕對值不等式D7.重要不等式D8.三角函數最值題型及解題捷徑D9.數論中的一些淺顯結論二、解答題第十五題（三角基礎題）15.1、正弦定理1. 知識工具：2.三種題型15.2、余弦定理1.知識工具：2.三種題型15.3、正余弦定理實際應用15.4、常見結論第十六題（立幾基礎題）16.1、位置關系證明（主要方法）：16.2、求解空間角、距離和體積16.3、重要定理16.4重要性質第十七題（解幾綜合題）17.1、圓錐曲線中的精要結論17.2、兩個常見的曲線系方程17.3、圓1、圓系方程2、點與圓的位置關系：3、直線與圓的位置關系4、兩圓位置關系的判定方法:5、圓的切線方程及切線長公式17.4、解析幾何與向量綜合時可能出現(xiàn)的向量內容17.5、解題規(guī)律盤點1、 點2、直線3、角4、直線與圓錐曲線(1)直線與圓錐曲線問題解法(2)直線與圓錐曲線相交的弦長公式 :(3)拋物線的切線方程5、幾何定值、極值問題6、求軌跡方程的常用方法：7、定義解題第十八題（數列綜合題）18.1、判定數列是基本數列的方法18.2、數列求和的常用方法18.3、數列通項求解思路由非遞推關系求通項由遞推式求數列通項雙數列型18.4、數列中蘊含的幾種數學思想18.5、攻克數列不等式證明問題的若干策略第十九題（實際應用題）19.1、解應用題的一般思路19.2、解應用題的一般程序19.3、中學數學中常見應用問題與數學模型第二十題（函數綜合題）20.1、不等式證明常用方法：20.2、三個“二次”20.3、閉區(qū)間上的二次函數的最值20.4、一元二次方程的實根分布20.5、定區(qū)間上含參數的二次不等式恒成立的條件依據20.6、恒成立問題的基本類型及處理思路20.7、定區(qū)間上含參數的不等式恒成立(或有解)的條件依據20.8、高中數學函數知識點梳理一.填空題A. 解題常用經典再現(xiàn)A1.集合性質與運算1、性質：任何一個集合是它本身的子集，記為；空集是任何集合的子集，記為；空集是任何非空集合的真子集；如果，同時，那么A = B如果【注意】：Z= 整數（） Z =全體整數 （）已知集合S 中A的補集是一個有限集，則集合A也是有限集（） 空集的補集是全集若集合A=集合B，則CBA = ， CAB = CS（CAB）= D （ 注 ：CAB = ）2、若=，則的子集有個，真子集有個，非空真子集有個.3、4、 De Morgan公式:；.【提醒】：數軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具.在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特殊情況，補集思想常運用于解決否定型或正面較復雜的有關問題。A2.命題的否定與否命題*1.命題的否定與它的否命題的區(qū)別：命題的否定是,否命題是.命題“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.*2.?？寄Ｊ剑?全稱命題p：；全稱命題p的否定p：.特稱命題p：；特稱命題p的否定p：.A3.復數運算*1.運算律：； ； .【提示】注意復數、向量、導數、三角等運算率的適用范圍.*2.模的性質：； ； .*3.重要結論：； ； ，；性質：T=4；.【拓展】：或.A4.冪函數的的性質及圖像變化規(guī)律：(1)所有的冪函數在都有定義，并且圖像都過點；(2)時，冪函數的圖像通過原點，并且在區(qū)間上是增函數特別地，當時，冪函數的圖像下凸；當時，冪函數的圖像上凸；(3)時，冪函數的圖像在區(qū)間上是減函數在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖像在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖像在軸上方無限地逼近軸正半軸【說明】：對于冪函數我們只要求掌握的這5類，它們的圖像都經過一個定點(0,0)和(0,1)，并且時圖像都經過(1,1)，把握好冪函數在第一象限內的圖像就可以了.A5.統(tǒng)計1.抽樣方法：(1)簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機樣數表法)常常用于總體個數較少時，它的主要特征是從總體中逐個抽取.(2)分層抽樣，主要特征分層按比例抽樣，主要使用于總體中有明顯差異.共同點：每個個體被抽到的概率都相等（）.2.總體分布的估計就是用總體中樣本的頻率作為總體的概率.總體估計掌握：一“表”(頻率分布表)；兩“圖”(頻率分布直方圖和莖葉圖). 頻率分布直方圖用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律的直方圖稱為頻率分布直方圖。頻率分布直方圖就是以圖形面積的形式反映了數據落在各個小組內的頻率大小.頻率=.小長方形面積=組距=頻率. 所有小長方形面積的和=各組頻率和=1.【提醒】：直方圖的縱軸(小矩形的高)一般是頻率除以組距的商(而不是頻率)，橫軸一般是數據的大小，小矩形的面積表示頻率.莖葉圖當數據是兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數，即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊像植物莖上長出來的葉子，這種表示數據的圖叫做莖葉圖。3.用樣本的算術平均數作為對總體期望值的估計；樣本平均數： 4.用樣本方差的大小估計總體數據波動性的好差(方差大波動差).(1)一組數據樣本方差 ；樣本標準差= (2)兩組數據與,其中,.則,它們的方差為,標準差為若的平均數為，方差為，則的平均數為，方差為.樣本數據做如此變換：，則，.A6.回歸直線方程 ，其中 A7.線性回歸方程必過定點,其中,.B、(59，中檔題，易丟分，防漏/多解)B1.線性規(guī)劃1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域：（1）當時，若表示直線的右邊，若則表示直線的左邊.（2）當時，若表示直線的上方，若則表示直線的下方.2、設曲線（），則或所表示的平面區(qū)域：兩直線和所成的對頂角區(qū)域（上下或左右兩部分）.3、點與曲線的位置關系：若曲線為封閉曲線（圓、橢圓、曲線等），則，稱點在曲線外部；若為開放曲線（拋物線、雙曲線等），則，稱點亦在曲線“外部”.4、已知直線，目標函數.當時，將直線向上平移，則的值越來越大；直線向下平移，則的值越來越小；當時，將直線向上平移，則的值越來越小；直線向下平移，則的值越來越大；5、明確線性規(guī)劃中的幾個目標函數（方程）的幾何意義：（1），若，直線在y軸上的截距越大，z越大，若，直線在y軸上的截距越大，z越小.（2）表示過兩點的直線的斜率，特別表示過原點和的直線的斜率.（3）表示圓心固定，半徑變化的動圓，也可以認為是二元方程的覆蓋問題.（4）表示到點的距離.（5）；（6）；（7）；【點撥】：通過構造距離函數、斜率函數、截距函數、單位圓x2+y2=1上的點及余弦定理進行轉化達到解題目的。B 2.三角變換：三角函數式的恒等變形或用三角式來代換代數式稱為三角變換三角恒等變形是以同角三角公式，誘導公式，和、差、倍、半角公式，和差化積和積化和差公式，萬能公式為基礎三角代換是以三角函數的值域為根據，進行恰如其分的代換，使代數式轉化為三角式，然后再使用上述諸公式進行恒等變形，使問題得以解決三角變換是指角(“配”與“湊”)、函數名(切割化弦)、次數(降與升) 、系數(常值“1”) 和 運算結構(和與積)的變換，其核心是“角的變換”.角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標角的變換、角與其倍角的變換、兩角與其和差角的變換.變換化簡技巧：角的拆變，公式變用，切割化弦，倍角降次，“1”的變幻，設元轉化，引入輔角，平方消元等.具體地：（1）角的“配”與“湊”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，還應注意一些配湊變形技巧，如下：，； ，；，；等.（2）“降冪”與“升冪”（次的變化）利用二倍角公式和二倍角公式的等價變形，可以進行“升”與“降”的變換，即“二次”與“一次”的互化.（3）切割化弦（名的變化） 利用同角三角函數的基本關系，將不同名的三角函數化成同名的三角函數，以便于解題.經常用的手段是“切化弦”和“弦化切”. （4）常值變換常值可作特殊角的三角函數值來代換.此外，對常值 “1”可作如下代換：等.（5）引入輔助角 一般的，期中. 特別的，;，等.（6）特殊結構的構造構造對偶式，可以回避復雜三角代換，化繁為簡.舉例：，可以通過兩式和，作進一步化簡. （7）整體代換舉例： ，可求出整體值，作為代換之用.B 3.三角形中的三角變換三角形中的三角變換，除了應用公式和變換方法外，還要注意三角形自身的特點(1)角的變換因為在中，（三內角和定理），所以任意兩角和：與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形：三內角都是銳角；三內角的余弦值為正值；任兩角和都是鈍角；任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.即，；. (2)三角形邊、角關系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理 面積公式：.其中為三角形內切圓半徑，為周長之半(3)對任意，；在非直角中，(4)在中，熟記并會證明：*1.成等差數列的充分必要條件是*2.是正三角形的充分必要條件是成等差數列且成等比數列 *3.三邊成等差數列；.*4.三邊成等比數列,. (5)銳角中, ，；.【思考】：鈍角中的類比結論(6)兩內角與其正弦值：在中，(7)若，則.(8).B 4.三角恒等與不等式組一組二 組三 常見三角不等式(1)若，則；(2) 若，則；(3) ；(4)在上是減函數；B5.概率的計算公式：古典概型：；等可能事件的概率計算公式：；互斥事件的概率計算公式：P(A+B)P(A)+P(B)；對立事件的概率計算公式是：P()=1P(A)；獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式是：P(AB)P(A)P(B)；獨立事件重復試驗的概率計算公式是：(是二項展開式(1P)+Pn的第(k+1)項).幾何概型：若記事件A=任取一個樣本點，它落在區(qū)域，則A的概率定義為注意：探求一個事件發(fā)生的概率，常應用等價轉化思想和分解(分類或分步)轉化思想處理：把所求的事件轉化為等可能事件的概率(常常采用排列組合的知識)；轉化為若干個互斥事件中有一個發(fā)生的概率；利用對立事件的概率，轉化為相互獨立事件同時發(fā)生的概率；看作某一事件在n次實驗中恰有k次發(fā)生的概率，但要注意公式的使用條件. 事件互斥是事件獨立的必要非充分條件，反之，事件對立是事件互斥的充分非必要條件. 【說明】：條件概率：稱為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率。注意：；P(BC|A)=P(B|A)+P(C|A)。B6. 排列、組合（1）解決有限制條件的(有序排列，無序組合)問題方法是：直接法：間接法：即排除不符合要求的情形一般先從特殊元素和特殊位置入手.（2）解排列組合問題的方法有：特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置）。間接法（對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉）)。相鄰問題捆綁法（把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列）。不相鄰(相間)問題插空法（某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制元條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間）。多排問題單排法。多元問題分類法。有序問題組合法。選取問題先選后排法。至多至少問題間接法。相同元素分組可采用隔板法。涂色問題先分步考慮至某一步時再分類.（3）分組問題：要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成組問題別忘除以.B7.最值定理，若積，則當時和有最小值；，若和，則當是積有最大值.【推廣】：已知，則有.（1）若積是定值，則當最大時，最大；當最小時，最小.（2）若和是定值，則當最大時，最小；當最小時，最大.已知，若，則有：，若則有：B8.求函數值域的常用方法：配方法：轉化為二次函數問題，利用二次函數的特征來求解；【點撥】：二次函數在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意開口方向和對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系.逆求法：通過反解，用來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍，型如的函數值域；換元法：化繁為間，構造中間函數，把一個較復雜的函數變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?，其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，通過代換構造容易求值域的簡單函數，再求其值域；三角有界法：直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，如轉化為只含正弦、余弦的函數，再運用其有界性來求值域；不等式法：利用基本不等式求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，型如，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項、添項和兩邊平方等技巧；單調性法：根據函數的單調性求值域，常結合導數法綜合求解；數形結合法：函數解析式具有明顯的某種幾何意義，可根據函數的幾何意義，如斜率、距離、絕對值等，利用數與形相互配合的方法來求值域；分離常數法：對于分子、分母同次的分式形式的函數求值域問題，把函數分離成一個常數和一個分式和的形式，進而可利用函數單調性確定其值域判別式法：對于形如（,不同時為）的函數常采用此法【說明】：對分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：1.型，可直接用不等式性質；2.型，先化簡，再用均值不等式；3.型，通常用判別式法；4.型，可用判別式法或均值不等式法；導數法：一般適用于高次多項式函數求值域.B9.函數值域的題型(一) 常規(guī)函數求值域：畫圖像，定區(qū)間，截段.常規(guī)函數有：一次函數，二次函數，反比例函數，指數對數函數，三角函數，對號函數.(二) 非常規(guī)函數求值域：想法設法變形成常規(guī)函數求值域.解題步驟：(1)換元變形；(2)求變形完的常規(guī)函數的自變量取值范圍；(3)畫圖像，定區(qū)間，截段。(三) 分式函數求值域 ：四種題型(1) ：則且.(2)：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x的范圍解不等式求y的范圍.(3)： ，則且.(4)求的值域，當時，用判別式法求值域。，值域.(四) 不可變形的雜函數求值域： 利用函數的單調性畫出函數趨勢圖像，定區(qū)間，截段.判斷單調性的方法：選擇填空題首選復合函數法，其次求導數；大題首選求導數，其次用定義。詳情見單調性部分知識講解.(五) 原函數反函數對應求值域：原函數的定義域等于反函數值域，原函數值域等于反函數定義域.(六) 已知值域求系數：利用求值域的前五種方法寫求值域的過程，將求出的以字母形式表示的值域與已知值域對照求字母取值或范圍.B10.應用基本不等式求最值的“八種變形技巧”：湊系數（乘、除變量系數）.例1.當 時，求函的數最大值.湊項（加、減常數項）：例2.已知 ，求函數的最大值.調整分子：例3.求函數的值域；變用公式：基本不等式有幾個常用變形： , ，.前兩個變形很直接，后兩個變形則不易想到，應重視；例4.求函數的最大值；連用公式：例5.已知，求的最小值；對數變換：例6.已知，且，求的最大值；三角變換：例7.已知，且，求的最大值；常數代換（逆用條件）：例8.已知，且，求的最小值.B11.“單調性”補了“基本不等式”的漏洞：平方和為定值若（為定值，），可設，其中.在上是增函數，在上是減函數；在上是增函數，在上是減函數；.令，其中.由，得，從而在上是減函數.和為定值若（為定值，），則在上是增函數，在上是減函數；.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數.在上是減函數，在上是增函數；積為定值若（為定值，），則.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是增函數；.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數；在上是減函數，在上是增函數.倒數和為定值若（為定值，），則成等差數列且均不為零，可設公差為，其中，則得.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是增函數，在上減函數；.當時，在上是減函數，在上是增函數；當時，在上是減函數，在上是增函數；.令，其中且，從而在上是增函數，在上是減函數.B12.理解幾組概念*1. 廣義判別式設是關于實數的一個解析式， 都是與有關或無關的實數且，則是方程有實根的必要條件，稱“”為廣義判別式. *2. 解決數學問題的兩類方法：一是從具體條件入手,運用有關性質,數據,進行計算推導,從而使數學問題得以解決；二是從整體上考查命題結構,找出某些本質屬性,進行恰當的核算,從而使問題容易解決,這一方法稱為定性核算法.*3. 二元函數設有兩個獨立的變量與在其給定的變域中中，任取一組數值時，第三個變量就以某一確定的法則有唯一確定的值與其對應，那末變量稱為變量與的二元函數.記作：. 其中與稱為自變量，函數也叫做因變量，自變量與的變域稱為函數的定義域. 把自變量、及因變量當作空間點的直角坐標，先在平面內作出函數的定義域；再過域中得任一點作垂直于平面的有向線段，使其值為與對應的函數值； 當點在中變動時，對應的點的軌跡就是函數的幾何圖形.它通常是一張曲面，其定義域就是此曲面在平面上的投影.*4. 格點在直角坐標系中，各個坐標都是整數的點叫做格點（又稱整數點）.在數論中，有所謂格點估計問題.在直角坐標系中，如果一個多邊形的所有頂點都在格點上，這樣的多邊形叫做格點多邊形.特別是凸的格點多邊形，它是運籌學中的一個基本概念.*5. 間斷點我們通常把間斷點分成兩類：如果是函數的間斷點，且其左、右極限都存在，我們把稱為函數的第一類間斷點；不是第一類間斷點的任何間斷點，稱為第二類間斷點.*6. 拐點連續(xù)函數上，上凹弧與下凹弧的分界點稱為此曲線上的拐點.如果在區(qū)間內具有二階導數，我們可按下列步驟來判定的拐點.(1)求； (2)令，解出此方程在區(qū)間內實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根，檢查在左、右兩側鄰近的符號，若符號相反，則此點是拐點，若相同，則不是拐點.*7.駐點曲線在它的極值點處的切線都平行于軸，即.這說明，可導函數的極值點一定是它的駐點(又稱穩(wěn)定點、臨界點)；但是，反之，可導函數的駐點，卻不一定是它的極值點.*8. 凹凸性定義在上的函數，如果滿足：對任意的都有，則稱是上的凸函數.定義在上的函數如果滿足：對任意的都有，則稱上的凹函數.【注】：一次函數的圖像（直線）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等號成立）.若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的下方，則稱這段弧是凹的；若曲線弧上每一點的切線都位于曲線的上方，則稱這段弧是凸的.連續(xù)曲線凹與凸部分的分界點稱為曲線的拐點.B13. 了解幾個定理*1. 拉格朗日中值定理: 如果函數在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，那末在內至少有一點，使成立.這個定理的特殊情形，即：的情形.描述如下： 若在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內可導，且，那么在內至少有一點，使成立.*2. 零點定理：設函數在閉區(qū)間上連續(xù)，且那么在開區(qū)間內至少有函數的一個零點，即至少有一點（）使*3. 介值定理：設函數在閉區(qū)間上連續(xù)，且在這區(qū)間的端點取不同函數值，那么對于之間任意的一個數，在開區(qū)間內至少有一點，使得（）*4. 夾逼定理：設當時，有，且，則必有 【注】：表示以為的極限，則就無限趨近于零（為最小整數）C、思維拓展題，稍有難度，要在方法切入上著力C1.線段的定比分點公式設，是線段的分點，是實數，且（或=），則（）推廣1：當時，得線段的中點公式：推廣2：則（對應終點向量）三角形重心坐標公式：ABC的頂點，重心坐標：注意：在ABC中，若0為重心，則，這是充要條件【公式理解】： *1.是關鍵() (內分) 0 (外分) 0 (-1) (外分) 0 (-10)若P與P1重合，=0 P與P2重合，不存在 P離P2 P1無窮遠，=*2.中點公式是定比分點公式的特例；*3.始點終點很重要，如若P分的定比=，則P分的定比=2；*4.知三求一；*5.利用有界性可求一些分式函數取值范圍；*6.則是三點共線的充要條件.C 2. 抽象函數抽象函數通常是指沒有給出函數的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函數問題.求解抽象函數問題的常用方法是：(1)借助模型函數探究抽象函數：正比例函數型：.指數函數型：.對數函數型：.冪函數型：,.三角函數型：,.,.（2）利用函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）進行演繹探究：（3）利用一些方法（如賦值法（令0或1，求出或、令或等）、遞推法、反證法等）進行邏輯探究。C 3.函數圖像的對稱性(1)一個函數圖像自身的對稱性性質1：對于函數，若存在常數使得函數定義域內的任意，都有的圖像關于直線對稱. 【注】：亦然.【特例】，當時，的圖像關于直線對稱. 【注】：亦然.性質2：對于函數，若存在常數使得函數定義域內的任意，都有的圖像關于點對稱. 【特例】：當時，的圖像關于點對稱.【注】：亦然.事實上，上述結論是廣義奇(偶)函數的性質.性質3：設函數，如果對于定義域內任意的，都有，則的圖像關于直線對稱.(這實際上是偶函數的一般情形)廣義偶函數.性質4：設函數，如果對于定義域內任意的，都有，則的圖像關于點對稱.(實際上是奇函數的一般情形)廣義奇函數.【小結】函數對稱性的充要條件函數關系式()對稱性函數圖像是奇函數函數圖像是偶函數或函數圖像關于直線對稱或函數圖像關于點對稱【注】：這里代數關系式中兩個“”（對應法則）內的“”（變量）前的正負號相異，如果把兩個“”放在“”的兩邊，則“”前的正負號也相異.因為對稱性關乎翻轉.(2)兩個函數圖像之間的對稱性1.函數與的圖像關于直線對稱.2.函數與的圖像關于直線對稱.3.函數與的圖像關于原點對稱.4.函數與它的反函數的圖像關于直線對稱.5.函數與的圖像關于直線對稱.特別地，函數與的圖像關于直線對稱.C4.幾個函數方程的周期(約定)(1)若，或，則的周期；(2)若，或，或 ，或，或，或，或，或，或，則的周期；(3)若，則的周期；(4)若，或，或，或，或，或且，則的周期；(5)若，則的周期；(6)若，則的周期.【說明】函數滿足對定義域內任一實數（其中為常數）,都有等式成立.上述結論可以通過反復運用已知條件來證明.C5.對稱性與周期性的關系定理1：若定義在上的函數的圖像關于直線和對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.推論1：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.定理2：若定義在上的函數的圖像關于點和直線對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.推論2：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.定理3：若定義在上的函數的圖像關于點和對稱，則是周期函數，且是它的一個周期.推論3：若函數滿足及，則是以為周期的周期函數.C6.函數圖象的對稱軸和對稱中心舉例 函 數 滿 足 的 條 件對稱軸(中心)滿足的函數的圖像或 滿足的函數的圖像或滿足的函數的圖像 滿足的函數的圖像滿足的函數的圖像(偶函數)滿足的函數的圖像(奇函數)滿足與的兩個函數的圖像 滿足與的兩個函數的圖像滿足與的兩個函數的圖像C7.函數周期性、對稱性與奇偶性的關系1、定義在上的函數,若同時關于直線和對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，則函數是以為周期的周期函數，且是偶函數.2、定義在上的函數,若同時關于直線和點對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，則函數是以為周期的周期函數，且是奇函數.3、定義在上的函數,若同時關于點和直線對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，則函數是以為周期的周期函數，且是偶函數.4、定義在上的函數,若同時關于點和點對稱,即對于任意的實數,函數同時滿足，則函數是以為周期的周期函數，且是奇函數.5、若偶函數關于直線對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.6、若偶函數關于點對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.7、若奇函數關于直線對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.8、若奇函數關于點對稱，即對于任意的實數,函數滿足，則是以為周期的周期函數.【拓展】：1、若函數為偶函數，則函數的圖像關于直線對稱.2、若函數為奇函數，則函數的圖像關于點對稱.3、定義在上的函數滿足，且方程恰有個實根，則這個實根的和為.4、定義在上的函數滿足，則函數的圖像關于點對稱. C8.關于奇偶性與單調性的關系. 如果奇函數在區(qū)間上是遞增的,那么函數在區(qū)間上也是遞增的; 如果偶函數在區(qū)間上是遞增的,那么函數在區(qū)間上是遞減的;【思考】：結論推導C9.原函數與反函數原函數，對應的反函數為 (1) 原函數與反函數互為反函數，反函數的定義域和值域分別是原函數的值域和定義域. 【理解】：設的定義域為，值域為，那么，對應的反函數定義域為，值域為.一般地，如果函數有反函數，且，那么這就是說點（）在函數圖像上，那么點（）在函數的圖像上與互為反函數.即，函數的反函數是，函數的反函數是.函數的圖像與其反函數的圖像相同.(2)性質： 原函數的圖像與其反函數的圖像關于直線對稱.在定義域上,只有單調函數才有反函數，并且單調函數必有反函數.【注意】：*1.對連續(xù)函數而言，只有單調函數才有反函數，單調函數必有反函數，但并非反函數存在時一定是單調的且非連續(xù)的非單調函數也可能有反函數；*2.周期函數不存在反函數，定義域為非單元素集的偶函數也不存在反函數；互為反函數的兩個函數在各自的定義域具有相同的單調性；設函數y = f（x）定義域，值域分別為X、Y如果y = f（x）在X上是增（減）函數，那么反函數在Y上一定是增（減）函數，即互為反函數的兩個函數增減性相同【注意】函數的圖像與其反函數的圖像的交點位置.當它們是遞增時，交點在直線上；當它們遞減時，交點可以不在直線上，并且交點個數不定.如果一個函數有反函數且為奇函數，那么它的反函數也為奇函數；設的定義域為，值域為，則有，；【注意】：，如的反函數；若函數存在反函數，則其反函數為，并不是，而函數是的反函數；C 10.幾何體中數量運算導出結論數量運算結論涉及到幾何體的棱、側面、對角面、截面等數量關系及幾何性質.1.在長方體中：體對角線長為，外接球直徑；棱長總和為；全(表)面積為，體積；體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=1，sin2+sin2+sin2=2.體對角線與過同一頂點的三側面所成的角分別為則有cos2+cos2+cos2=2，sin2+sin2+sin2=1.2.在正三棱錐中：側棱長相等(側棱與底面所成角相等)頂點在底上射影為底面外心；側棱兩兩垂直(兩對對棱垂直)頂點在底上射影為底面垂心；斜高長相等(側面與底面所成角相等)且頂點在底上在底面內頂點在底上射影為底面內心.3.在正四面體中：設棱長為，則正四面體中的一些數量關系：全面積；體積；對棱間的距離；相鄰面所成二面角；外接球半徑；內切球半徑；正四面體內任一點到各面距離之和為定值.CBAA4.在立方體中：設正方體的棱長為，則體對角線長為，全面積為，體積，內切球半徑為,外接球半徑為,與十二條棱均相切的球半徑為,則,且【點撥】：立方體承載著諸多幾何體的位置關系特征，只要作適當變形，如切割、組合、扭轉等處理，便可產生新幾何體.貌似新面孔，但其本原沒變.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球體等問題時，如果一般識圖角度受阻，不妨嘗試根據幾何體的結構特征，構造相應的“正方體”，將問題化歸到基本幾何體中，會有意想不到的效果.5.在球體中：球是一種常見的簡單幾何體球的位置由球心確定，球的大小僅取決于半徑的大小球包括球面及球面圍成的空間區(qū)域內的所有的點球面是到球心的距離等于定長(半徑) 的點的集合球的截面是圓面，其中過球心的截面叫做大圓面球面上兩點間的距離，是過這兩點的大圓在這兩點間的劣弧長，計算球面距離的關鍵是“根據已知經緯度等條件，先尋求球面上兩點間的弦長”，因為此弦長既是球面上兩點間的弦長，又是大圓上兩點間的弦長球心和截面圓的距離與球的半徑及截面圓半徑之間的關系是.掌握球面上兩點、間的距離求法： 計算線段的長；計算球心角的弧度數；用弧長公式計算劣弧的長.【注】：“經度是小小半徑所成角，緯度是大小半徑的夾角”. 【補充】：一、四面體1對照平面幾何中的三角形，我們不難得到立體幾何中的四面體的類似性質：四面體的六條棱的垂直平分面交于一點，這一點叫做此四面體的外接球的球心；四面體的四個面組成六個二面角的角平分面交于一點，這一點叫做此四面體的內接球的球心；四面體的四個面的重心與相對頂點的連接交于一點，這一點叫做此四面體的重心，且重心將每條連線分為31；12個面角之和為720，每個三面角中任兩個之和大于另一個面角，且三個面角之和為1802直角四面體：有一個三面角的三個面角均為直角的四面體稱為直角四面體，相當于平面幾何的直角三角形（在直角四面體中，記V、l、S、R、r、h分別表示其體積、六條棱長之和、表面積、外接球半徑、內切球半徑及側面上的高），則有空間勾股定理：S2ABC+S2BCD+S2ABD=S2ACD3等腰四面體：對棱都相等的四面體稱為等腰四面體，好象平面幾何中的等腰三角形根據定義不難證明以長方體的一個頂點的三條面對角線的端點為頂點的四面體是等腰四面體，反之也可以將一個等腰四面體拼補成一個長方體（在等腰四面體ABCD中，記BC = AD =a，AC = BD = b，AB = CD = c，體積為V，外接球半徑為R，內接球半徑為r，高為h），則有等腰四面體的體積可表示為；等腰四面體的外接球半徑可表示為；等腰四面體的四條頂點和對面重心的連線段的長相等，且可表示為；h = 4r5.空間正余弦定理空間正弦定理：sinABD/sinA-BC-D=sinABC/sinA-BD-C=sinCBD/sinC-BA-D空間余弦定理：cosABD=cosABCcosCBD+sinABCsinCBDcosA-BC-D6.直角四面體的性質：在直角四面體中,兩兩垂直,令,則底面三角形為銳角三角形； 直角頂點在底面的射影為三角形的垂心； ；外接球半徑R=.7. 球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長 (2)球與正方體的組合體:正方體的內切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長 (3)球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內切球的半徑為,外接球的半徑為C11.圓錐曲線幾何性質0e1 e=1如果涉及到其兩“焦點”，優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其“焦點”、“準線”或 “離心率”，優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；此外，如果涉及到焦點三角形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質的應用.橢圓方程的第一定義：雙曲線的第一定義：圓錐曲線第二定義（統(tǒng)一定義）：平面內到定點F和定直線的距離之比為常數的點的軌跡簡言之就是 “（數的統(tǒng)一）”，橢圓，雙曲線，拋物線相對關系（形的統(tǒng)一）如右圖.當時，軌跡為橢圓；當時，軌跡為拋物線；當時，軌跡為雙曲線；當時，軌跡為圓（，當時）圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、圓錐曲線的變化趨勢.其中，橢圓中、雙曲線中.圓錐曲線的焦半徑公式如下圖：特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其“頂點、焦點、準線等相互之間與坐標系無關的幾何性質”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點.C12.函數圖像變換（主要有平移變換、翻折變換、對稱變換和伸縮變換等）.1.平移變換向量平移法則：按平移得，即按平移得，當時，向右平移，時，向左平移.當時，向上平移，時向下平移.對于“從到”是“左加右減，上加下減”，對于平移向量“”是“左負右正，上正下負”.【小結】：“按向量平移”的幾個結論點按向量平移后得到點.函數的圖像按向量平移后得到圖像，則的函數解析式為.圖像按向量平移后得到圖像，若的解析式，則的函數解析式為.曲線：按向量平移后得到圖像，則的方程為.向量按向量平移后得到的向量仍然為.2.翻折變換(1)由得到，就是把的圖像在軸下方的部分作關于軸對稱的圖像，即把軸下方的部分翻到軸上方，而原來軸上方的部分不變.(2)由得到，就是把的圖像在軸右邊的部分作關于軸對稱的圖像，即把軸右邊的部分翻到軸的左邊，而原來軸左邊的部分去掉，右邊的部分不變.3.伸縮變換(1)設點是平面直角坐標系內的任意一點，在變換的作用下，點對應于點，函數在變換下得到(2)將的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮玫郊?.對稱變換(1)函數的圖像可以將函數的圖像關于軸對稱即可得到；(2)函數的圖像可以將函數的圖像關于軸對稱即可得到；(3)函數的圖像可以將函數的圖像關于原點對稱即可得到；(4)函數的圖像可以將函數的圖像關于直線對稱得到.(5)函數的圖像可以將函數的圖像關于直線對稱即可得到； .【注意】：函數圖像平移和伸縮變換應注意的問題(1) 觀察變換前后位置變化：.函數圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點、特殊線也作相應的變換.(2) 觀察變換前后量變化：直線、雙曲線、拋物線通過伸縮變換后仍分別為直線、雙曲線、拋物線，但可以改變直線的傾斜角，雙曲線的離心率、拋物線的開口大小及它們的位置；深刻理解圓錐曲線在形和數上的統(tǒng)一.(2)圖像變換應重視將所研究函數與常見函數（正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、對數函數、指數函數、三角函數、“函數”及函數等）相互轉化. (3)理解等軸雙曲線與反比例函數圖像的本質聯(lián)系.(4)應特別重視“二次三項式”、“二次方程”、“二次函數”、“二次曲線”之間的特別聯(lián)系,理解函數、方程、曲線及不等方程的聯(lián)系.C 13. 借助圖象比較大小C 14.常用的近似計算公式（當充分小時）(1)；.(2)；.(3)；.(4)（為弧度）；（為弧度）；（為弧度）.C 15.大小比較常用方法：作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果； 作商（