2勾股定理直角三角形三邊的關(guān)系精品教案.doc

第十四章 勾股定理14.1.1 直角三角形三邊的關(guān)系（1）教學(xué)目標(biāo)：1.探索并掌握勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方. 2會(huì)應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：探索勾股定理的證明過(guò)程教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)過(guò)程：一。探索勾股定理試一試測(cè)量你的兩塊直角三角尺的三邊的長(zhǎng)度，并將各邊的長(zhǎng)度填入下表：三角尺直角邊a直角邊b斜邊c關(guān)系12根據(jù)已經(jīng)得到的數(shù)據(jù)，請(qǐng)猜想三邊的長(zhǎng)度a、 b、 c之間的關(guān)系由圖14.1.1得出等腰直角三角形的三邊關(guān)系圖14.1.1是正方形瓷磚拼成的地面，觀察圖中用陰影畫出的三個(gè)正方形，很顯然，兩個(gè)小正方形P、 Q的面積之和等于大正方形R的面積即AC，圖14.1.1這說(shuō)明，在等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方那么在一般的直角三角形中，兩直角邊的平方和是否等于斜邊的平方呢?試一試觀察圖14.1.2，如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面積 平方厘米；正方形Q的面積 平方厘米；（每一小方格表示1平方厘米）圖14.1.2正方形R的面積 平方厘米我們發(fā)現(xiàn)，正方形P、 Q、 R的面積之間的關(guān)系是 由此，我們得出直角三角形的三邊的長(zhǎng)度之間存在關(guān)系 由圖14.1.2得出一般直角三角形的三邊關(guān)系.若C=90,則勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABC中，C=90, 則(a、b 表示兩直角邊，c表示斜邊)變式：2介紹勾股定理的歷史背景。二例題分析：例1.RtABC中，AB=c,BC=a,AC=b,B=90（1） 已知a=8,b=10,求c. (c=6)（2） 已知a=5,c=12,求b (b=13)注意：“B為直角”這個(gè)條件。三、引申提高：例2如圖14.1.4，將長(zhǎng)為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，長(zhǎng)為2.16米，求梯子上端A到墻的底邊的垂直距離（精確到0.01米） 解 如圖14.1.4，在Rt中， .米，.米， 根據(jù)勾股定理可得 .（米） 答： 梯子上端A到墻的底邊的垂直距離 約為4.96米四鞏固練習(xí)： 1書本P51.1.2五課時(shí)小結(jié)：1. 勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方2. 已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)或知道兩邊關(guān)系和第三邊的長(zhǎng)，可以利用勾股定理求出三角形未知邊長(zhǎng)，并可運(yùn)用面積關(guān)系式求斜邊上的高。六課堂作業(yè)：P55 2.3 14.1.1 直角三角形三邊的關(guān)系（2）教學(xué)目標(biāo)：1.用拼圖的方法說(shuō)明勾股定理的結(jié)論正確。2會(huì)應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造直角三角形求解。教學(xué)過(guò)程：一 復(fù)習(xí)引入：1. 勾股定理的內(nèi)容是什么？2.一直角三角形中有兩條邊的長(zhǎng)為1和2，求第三邊。二 體驗(yàn)勾股定理的幾種探求方法：試一試剪四個(gè)與圖14.1.5完全相同的直角三角形，然后將它們拼成如圖14.1.6所示的圖形大正方形的面積可以表示為 ，又可以表示為 對(duì)比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結(jié)論 圖14.1.5 圖14.1.6用上面得到的完全相同的四個(gè)直角三角形，還可以拼成如圖14.1.7所示的圖形，與上面的方法類似，也能說(shuō)明勾股定理是正確的由下面幾種拼圖方法，試一試，能否得出的結(jié)論。（1） （2） （3） （4） （5）探究點(diǎn)拔：1.將這四個(gè)全等的直角三角形拼成圖（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面積等于各部分面積的和可以得出。2.將兩個(gè)直角三角形拼成圖（4）中的梯形，由梯形面積等于三個(gè)直角三角形面積的和可以得到。3.通過(guò)剪接的方法構(gòu)成如圖（5）的正方形，可以證得。三應(yīng)用：例1. 如圖,為了求出湖兩岸的AB兩點(diǎn)之間的距離，一個(gè)觀測(cè)者在點(diǎn)C設(shè)樁，使ABC恰好為Rt，通過(guò)測(cè)量，得到AC長(zhǎng)160米，BC長(zhǎng)128米，問(wèn)從A點(diǎn)穿過(guò)湖到點(diǎn)B有多遠(yuǎn)？解：RtABC中，AC=100，BC=128，根據(jù)勾股定理得: (米)答：從A點(diǎn)穿過(guò)湖到點(diǎn)B有96米。說(shuō)明：運(yùn)用勾股定理的前提是三角形必須是直角三角形。若已知條件中沒(méi)有直角三角形時(shí)，應(yīng)構(gòu)造直角三角形后方可運(yùn)用勾股定理。例2 .在一棵樹的10米高處有兩只猴子，其中一只爬下樹走向離樹20米的池塘，而另一只爬到樹頂后直撲池塘。如果兩只猴子經(jīng)過(guò)的距離相等，問(wèn)這棵樹有多高？解：設(shè).RtABC中， 四引申提高：例3有一個(gè)棱長(zhǎng)為1米且封閉的正方形盒子（如圖），一只螞蟻從頂點(diǎn)A向頂點(diǎn)B爬行，問(wèn)這只螞蟻爬行的最短路程為多少米？分析：最短路程為展開圖中的米五 小結(jié)：1.說(shuō)明勾股定理成立時(shí)要有一定的拼圖能力。2.構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，運(yùn)用勾股定理建立方程求解。六課堂作業(yè)：書P53 1.2 14.1.2直角三角形的判定教學(xué)目標(biāo)：1.掌握直角三角形的判別條件。 2.熟記一些勾股數(shù)。能對(duì)直角三角形的判別條件進(jìn)行一些綜合應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn) ：直角三角形的判別條件及其應(yīng)用；它可用邊的關(guān)系來(lái)判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。教學(xué)難點(diǎn) ：直角三角形的判別條件判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形及綜合應(yīng)用直角三角形的知識(shí)解題。教學(xué)過(guò)程：一 .復(fù)習(xí)引入：1、 復(fù)習(xí)直角三角形的性質(zhì)：角的性質(zhì)、邊的性質(zhì)。2、 我們是否可以不用角，而用三角形三邊的關(guān)系來(lái)判定它是否為直角三角形呢？二、 講述新課：1、 古代埃及人作直角：古埃及人曾用下面的方法得到直角：他們用13個(gè)等距的結(jié)把一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子，就會(huì)得到一個(gè)直角三角形。其直角在第4個(gè)結(jié)處。他們真的能夠得到直角三角形嗎？2、做一做下面的三組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c：5，12，13； 7，24，25； 8，15，17。（1）這三組數(shù)都滿足 嗎？（2）分別以這三組樹為三邊長(zhǎng)作出三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形嗎？3、從做一做中，你能猜想到什么結(jié)論？勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形.例1 設(shè)三角形三邊長(zhǎng)分別為下列各組數(shù)，試判斷各三角形是否是直角三角形：（1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9解 因?yàn)?25，所以根據(jù)前面的判定方法可知，以（1）、（2）兩組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形，而以組（3）的數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形不是直角三角形4、勾股數(shù)：能夠成為直角三角形三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（或勾股弦數(shù)）。請(qǐng)你與你的同伴合作，看看可以找出多少組勾股數(shù)。練習(xí)：在一根長(zhǎng)為180個(gè)單位的繩子上，分別標(biāo)出A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)，它們將繩子分為長(zhǎng)為60個(gè)單位、45個(gè)單位和75個(gè)單位的三段線段。自己握住繩子的兩個(gè)端點(diǎn)（A點(diǎn)和D點(diǎn)），兩名同伴分別握住B點(diǎn)和C點(diǎn)，一起將繩子拉直，會(huì)得到一根什么形狀？為什么？記住常用的勾股數(shù)能成為直角三角形三邊的三個(gè)正整數(shù)叫做勾股數(shù)，32+42=52 3、4、5是一組勾股數(shù)同理 6、8、10是一組勾股數(shù)，5、12、13也是一組勾股數(shù)；此外，還可用下面的方法產(chǎn)生無(wú)數(shù)組勾股數(shù)：由例2a=n2-1b=2nc=n2+1n=2a=3b=4c=5n=3a=8b=6c=10n=4a=15b=8c=17三、 隨堂練習(xí)：1、P54練習(xí)1.2題四、 小結(jié)：（1） 只要有兩邊的平方和等到于第三邊的平方，這樣的三角形是直角三角形，簡(jiǎn)記為：a2+b2=c2C=900（2） 應(yīng)用勾股定理的逆定理時(shí)，先計(jì)算較小兩邊的平方和再把它和最大邊的平方比較；（3） 常用的勾股數(shù)有3、4、5、；6、8、10；5、12、13等。（4） 判定一個(gè)直角三角形，我們除了可根據(jù)定義去證明它有一個(gè)直角外，還可以采用今天的勾股定理的逆定理，即去證明三角形兩條較短邊的平方和等于較長(zhǎng)邊的平方，這是代數(shù)方法在幾何中的應(yīng)用；（5） 在定理中出現(xiàn)的a、b、c并不是固定的，要理解其實(shí)質(zhì)；五、布置作業(yè)：P55 5.6勾股定理的應(yīng)用（一）一、教學(xué)目標(biāo)1、會(huì)用勾股定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。2、樹立數(shù)形結(jié)合的思想。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1、重點(diǎn)：勾股定理的應(yīng)用。2、難點(diǎn)：實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。3、難點(diǎn)的突破方法：數(shù)形結(jié)合，從實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾何圖形，讓學(xué)生畫好圖后標(biāo)圖；在實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，注意勾股定理的使用條件，教師要向?qū)W生交代清楚，解釋明白；優(yōu)化訓(xùn)練，在不條件、不同環(huán)境中反復(fù)運(yùn)用定理，使學(xué)生達(dá)到熟練使用，靈活運(yùn)用的程度；讓學(xué)生深入探討，積極參與到課堂中，發(fā)揮學(xué)生的積極性和主動(dòng)性。勾股定理能解決直角三角形的許多問(wèn)題，因此在現(xiàn)實(shí)生活和數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用三.舉例例1如圖14.2.1，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程圖14.2.1分析 螞蟻實(shí)際上是在圓柱的半個(gè)側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個(gè)側(cè)面展開（如圖14.2.2），得到矩形 D，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開圖矩形對(duì)角線AC之長(zhǎng)（精確到.cm）圖14.2.2解 如圖14.2.2，在Rt中，底面周長(zhǎng)的一半cm， AC229（cm）（勾股定理）答： 最短路程約為cm例2一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖14.2.3的某工廠，問(wèn)這輛卡車能否通過(guò)該工廠的廠門?圖14.2.3分析由于廠門寬度足夠，所以卡車能否通過(guò)，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH如圖.所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H解 在RtOCD中，由勾股定理得.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過(guò)廠門四.隨堂練習(xí)：1、P54練習(xí)1.2題五、作業(yè)1課本P1415 1.4 1、2、3。勾股定理的應(yīng)用（二）一、教學(xué)目標(biāo)1、會(huì)用勾股定理解決較綜合的問(wèn)題。2、樹立數(shù)形結(jié)合的思想。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)1、重點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。2、 難點(diǎn)：勾股定理的綜合應(yīng)用。教學(xué)過(guò)程：一.舉例例3如圖14.2.5，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，請(qǐng)?jiān)诮o定網(wǎng)格中按下列要求畫出圖形：（1） 從點(diǎn)A出發(fā)畫一條線段，使它的另一個(gè)端點(diǎn)在格點(diǎn)（即小正方形的頂點(diǎn)）上，且長(zhǎng)度為22；（2） 畫出所有的以（1）中的為邊的等腰三角形， 使另一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，且另兩邊的長(zhǎng)度都是無(wú)理數(shù)分析只需利用勾股定理看哪一個(gè)矩形的對(duì)角線滿足要求 圖14.2.5 圖14.2.6解（1） 圖14.2.6中長(zhǎng)度為22（2） 圖14.2.6中、 D就是所要畫的等腰三角形例4如圖14.2.7，已知CDm， ADm， ADC， BCm， m求圖中陰影部分的面積圖14.2.7解 在RtADC中，AC（勾股定理）， ACm ， ACB為直角三角形（如果三角形的三邊長(zhǎng)a、 b、 c有關(guān)系： abc，那么這個(gè)三角形是直角三角形）， S陰影部分ACBACD1/21/2（m）二、隨堂練習(xí)三作業(yè)回顧與思考教學(xué)目標(biāo)1知識(shí)目標(biāo)：掌握直角三角形的邊、角之間分別存在著的關(guān)系，熟練地運(yùn)用直角三角形的勾股定理和其他性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題。2能力目標(biāo)：正確使用勾股定理的逆定理，準(zhǔn)確地判斷三角形的形狀。3德育目標(biāo)：熟悉勾股定理的歷史，進(jìn)一步了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的偉大成就，激發(fā)學(xué)生的愛(ài)國(guó)熱情，培養(yǎng)探索知識(shí)的良好習(xí)慣。教學(xué)重點(diǎn)：掌握勾股定理及其逆定理。教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確應(yīng)用勾股定理及其逆定理。教具準(zhǔn)備：投影儀，膠片，彩色水筆，三角板等教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式教育教學(xué)過(guò)程 一、回顧與思考 1直角三角形的邊存在著什么關(guān)系？ 2直角三角形的角存在著什么關(guān)系？ 3直角三角形還有哪些性質(zhì)？4如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形？ 5你知道勾股定理的歷史嗎？三、 講例BDCAO問(wèn)題：如圖，一個(gè)3m長(zhǎng)的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)AO的距離為2.5m，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m嗎？（留幾分鐘的時(shí)間給學(xué)生思考）分析：1、求梯子的底端B距墻角O多少米？ 2、如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m至C，請(qǐng)同學(xué)們猜一猜：（1）底端也將滑動(dòng)0.5米嗎？（2）能否求出OD的長(zhǎng)？解：根據(jù)勾股定理，在RtOAB中，AB=3m，OA=2.5m，OB2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。BOAOB1.658m；在RtOCD中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD2=CD2-OC2= 32-22=5。OD2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.6580.58m如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.58m。 例2 議一議P19 拼圖與勾股定理 觀察圖 2 驗(yàn)證：c2a2b2證明：大正方形面積可表示為c2，也可以表示為ab4（ba）2 所以c2ab4（ba）2 2abb22aba2 a2b2 故c2a2十b2例3. 一個(gè)零件的形狀如圖，按規(guī)定這個(gè)零件中A與BDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD4，AB3，DB5，DC12，BC13，這個(gè)零件符合要求嗎？ 分析：要檢驗(yàn)這個(gè)零件是否符合要求，只要判斷ABC和DBC是否為直角三角形，這樣勾股定理的逆定理即可派上用場(chǎng)了。DBA34512C13 解：在ABC中，AB2AD2324291625BD2 所以ABC為直角三角形，A90 在DBC中，BD2DC25212225144169132BC2 所以DBC是直角三角形，CDB90 因此這個(gè)零件符合要求。四