22-2與官科大專家討論全國中學生物理競賽題22-2-自由擺動單擺機械能守恒問題新解.pdf

22 2 自由擺動單擺機械能守恒問題新解 125 2222 2 2 自由擺動自由擺動單擺單擺機械能守恒問題新解機械能守恒問題新解 李學生李學生 1 師教民 師教民 2 1 1 山東大學山東大學 物理學院物理學院 山東山東 濟南濟南 250100 2 2 石家莊廣播電視大學石家莊廣播電視大學 科學技術部科學技術部 河北河北 石家莊石家莊 050081 摘摘 要要 重新解答了自由擺動的單擺機械能守恒問題 得出 了在地面上和相對于地面做勻速運動的小車上觀察 自由擺動的 單擺機械能都守恒的新結論 關鍵詞關鍵詞 單擺 動能 勢能 機械能守恒 中圖分類號中圖分類號 O 313 1 文獻標識碼文獻標識碼 A 將擺錘質量為m 輕質擺線長為L的單擺掛在與地面相固連 的擺架上 將擺錘從單擺靜止時的豎直下垂位置拉至擺角為 0時 自由放手 在忽略各種阻尼時 單擺就做自由擺動 0為最大擺 角 有一小車相對于光滑地面以恒速量值u沿單擺擺動方向運 動 試問在地面上和小車上觀察 單擺的機械能是否守恒 并說 明理由 解解 在地面上觀察在地面上觀察時 以單擺靜止時與擺線重合的向上的直 線為y軸 以單擺靜止時擺錘的位置為坐標原點o 以過點o的 沿小車運動方向的水平向右的直線為x軸 建立平面直角坐標系 如圖 1 所示 與官科大專家討論全國中學生物理競賽題 126 設在地面地面上觀察上觀察時 單擺在 0 時刻從最大擺角 0開始擺 動 在t時刻的擺角 速度 加速度 動能 勢能 機械能分別 為 v a Ek t Ep t E t 在小車上觀察小車上觀察時 單擺t時刻 的速度 加速度 動能 勢能 機械能分別為 v1 a1 E1k t E1p t E1 t 則在地面地面上觀察 即以地面地面為靜止系 時有 v t s d d t L d d 0 t L d d dt v Ld 0 0 mgsin ma gsin a t d dv Ld d v t L d d Ld d v v vdv gLsin d v v 0 dv gL 0 sin d 2 1 v2 gL cos cos 0 v2 2gL cos cos 0 v cos cos2 0 gL o 圖圖 1 1 自由擺動單擺自由擺動單擺機械能守恒問題新解機械能守恒問題新解 光滑水平地面光滑水平地面 小 車 u x y 0 22 2 自由擺動單擺機械能守恒問題新解 127 Ek t 2 1 mv2 mgL cos cos 0 EP t mgy EpJ t mg L Lcos 0 mgL 1 cos EpJ t 0的推導在 勻速圓動物體勻速圓動物體機械能守恒問題新解機械能守恒問題新解 中 E t Ek t EP t mgL cos cos 0 mgL 1 cos mgL cos cos 0 1 cos mgL 1 cos 0 所以在地面上觀察在地面上觀察時 單擺的機械能守恒 守恒值為 mgL 1 cos 0 在小車小車上觀察 即以小車小車為靜止系 時有 直覺判斷直覺判斷法法 這是前言里的低速力學新原理低速力學新原理中的新解法 因為地面地面及單擺都以勻速度量值u相對于小車沿x軸負向運 動 所以在小車上觀察在小車上觀察時 單擺的機械能比在地面上觀察地面上觀察時增 加 2 1 m u 2 2 1 mu2 所以在小車上在小車上觀察觀察時 單擺的機械能為 E1 t E t 2 1 mu2 mgL 1 cos 0 2 1 mu2 常數 所以在小車上在小車上觀察觀察時 單擺的機械能守恒 守恒值為 mgL 1 cos 0 2 1 mu2 數學推導法數學推導法 x1 v x v u vcos u 2 1x v x v 2 u 2 x v 2 u 2u x v y1 v y v 2 1y v 2 y v 2 1 v 2 1x v 2 1y v 2 x v 2 u 2u x v 2 y v 2 v 2 u 2u vcos 與官科大專家討論全國中學生物理競賽題 128 2gL cos cos 0 u2 2u cos cos2 0 gL cos E1k t 2 1 m 2 1 v mgL cos cos 0 2 1 mu2 mu cos cos2 0 gL cos x a1 t x d d 1 v t x d dv 0 x a y a1 t y d d 1 v t y d dv y a a1 a gsin m x a1 m x a m y a1 m y a ma1 ma mgsin mgL 1 cos 0 E1p t s ma 0 1ds t L mam 0 2 1 sincos v u dt mg 0 sin Ld mu L g 0 sincossin 2 v v Ld mgL 0 sind muL L gL g 0 cos cos2 cos 0 v dcos mgLcos 0 mugL 0 cos2cos2 cos 0 cos cos2 cosd 0 gL 22 2 自由擺動單擺機械能守恒問題新解 129 mgL cos cos 0 gL mugL 2 3 0 0 000 coscos cos 3 2 coscoscos d cos cos 0 mgL cos cos 0 gL mugL 2 3 3 2 cos cos 0 2 3 gL mugL 2 cos cos 0 2 1 cos 0 mgL cos cos 0 mu gL2 cos cos 0 2 3 mu gL2 cos cos 0 2 1 cos 0 mgL cos cos 0 mu gL2 0 coscos cos cos 0 cos 0 mgL cos cos 0 mu cos cos2 0 gL cos E1p t mgL 1 cos 0 mgL cos cos 0 mu cos cos2 0 gL cos E1 t E1k t E1p t mgL cos cos 0 2 1 mu2 mu cos cos2 0 gL cos 與官科大專家討論全國中學生物理競賽題 130 mgL 1 cos 0 mgL cos cos 0 mu cos cos2 0 gL cos mgL 1 cos 0 2 1 mu2 常數 所以在小車上在小車上觀察觀察時 單擺的機械能守恒 守恒值為 mgL 1 cos 0 2 1 mu2 參考文獻參考文獻 1 蔡伯濂 關于力學相對性原理與機械能守恒綜述 J 大學物 理 1994 13 1 20 22 2 何紅雨 機械能守恒定律與慣性參照系的選擇 J 廣西物 理 1997 18 3 27 29 3 高炳坤 力學中一個詭秘的錯誤 J 物理與工程 2002 12 2 14 15 30 4 趙 堅 機械能守恒定律理解中一個值得重視的問題 J 物 理通報 2006 25 6 19 21 5 錢廣東 不同慣性系中機械能不一定都守恒 兼談機械能守 恒定律是否服從力學相對性原理 J 物理教學 2006 28 2 42 43 6 白靜江 兩體問題中的功能原理及機械能守恒定律 J 大學 物理 1997 16 3 11 14 22 2 自由擺動單擺機械能守恒問題新解 131 Brand new explanation of mechanical energy conservation of the single pendulum free swinging Li Xue sheng1 Shi Jiao min2 1 1 School of Physics Shandongdong University Jinan 250100 China 2 2 Department of Science and Technology Shijiazhuang Radio and Television University Shijiazhuang 050081 China Abstract It refurbished the issue of mechanical energy conservation of the single pendulum free swinging which straightforwardly led to conclusion no matter we take reference frame of the earth itself or the cart moving in uniform speed to the earth the mechanical energy of the single pendulum free swinging is always conservative Key words the single pen