(絕密試題)彈性力學與有限元分析試題及其答案.pdf

1 2012 年度彈性力學與有限元分析復習題及其答案 絕密試題 2012 年度彈性力學與有限元分析復習題及其答案 絕密試題 一 填空題一 填空題 1 彈性力學研究彈性體由于受外力作用 邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力 形變和位移 2 在彈性力學中規(guī)定 線應變以伸長時為正 縮短時為負 與正應力的正負號規(guī)定相 適應 3 在彈性力學中規(guī)定 切應變以直角變小時為正 變大時為負 與切應力的正負號規(guī) 定相適應 4 物體受外力以后 其內部將發(fā)生內力 它的集度稱為應力 與物體的形變和材料強 度直接有關的 是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量 也就是正應力 和切應力 應力及其分量的量綱是 L 1MT 2 5 彈性力學的基本假定為連續(xù)性 完全彈性 均勻性 各向同性 6 平面問題分為平面應力問題和平面應變問題 7 已知一點處的應力分量100 x MPa 50 y MPa 5010 xy MPa 則主應力 1 150MPa 2 0MPa 1 6135 8 已知一點處的應力分量 200 x MPa 0 y MPa 400 xy MPa 則主應力 1 512 MPa 2 312 MPa 1 37 57 9 已知一點處的應力分量 2000 x MPa 1000 y MPa 400 xy MPa 則主應力 1 1052 MPa 2 2052 MPa 1 82 32 10 在彈性力學里分析問題 要考慮靜力學 幾何學和物理學三方面條件 分別建立三 套方程 11 表示應力分量與體力分量之間關系的方程為平衡微分方程 12 邊界條件表示邊界上位移與約束 或應力與面力之間的關系式 分為位移邊界條件 應力邊界條件和混合邊界條件 13 按應力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法 14 有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結構 然后再用結構力學位移法進行求解 其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分 15 每個單元的位移一般總是包含著兩部分 一部分是由本單元的形變引起的 另一部 分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的 16 每個單元的應變一般總是包含著兩部分 一部分是與該單元中各點的位置坐標有關 的 是各點不相同的 即所謂變量應變 另一部分是與位置坐標無關的 是各點相 同的 即所謂常量應變 17 為了能從有限單元法得出正確的解答 位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量 應變 還應當盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性 18 為了使得單元內部的位移保持連續(xù) 必須把位移模式取為坐標的單值連續(xù)函數(shù) 為 2 了使得相鄰單元的位移保持連續(xù) 就不僅要使它們在公共結點處具有相同的位移時 也能在整個公共邊界上具有相同的位移 19 在有限單元法中 單元的形函數(shù) Ni在 i 結點 Ni 1 在其他結點 Ni 0 及 Ni 1 20 為了提高有限單元法分析的精度 一般可以采用兩種方法 一是將單元的尺寸減小 以便較好地反映位移和應力變化情況 二是采用包含更高次項的位移模式 使位移 和應力的精度提高 二 判斷題二 判斷題 請在正確命題后的括號內打 在錯誤命題后的括號內打 1 連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿 不留下任何空隙 2 均勻性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質所填滿 不留下任何空隙 3 連續(xù)性假定是指整個物體是由同一材料組成的 4 平面應力問題與平面應變問題的物理方程是完全相同的 5 如果某一問題中 0 zyzxz 只存在平面應力分量 x y xy 且它們不沿 z 方向變化 僅為 x y 的函數(shù) 此問題是平面應力問題 6 如果某一問題中 0 zyzxz 只存在平面應變分量 x y xy 且它們不沿 z 方向變化 僅為 x y 的函數(shù) 此問題是平面應變問題 7 表示應力分量與面力分量之間關系的方程為平衡微分方程 8 表示位移分量與應力分量之間關系的方程為物理方程 9 當物體的形變分量完全確定時 位移分量卻不能完全確定 10 當物體的位移分量完全確定時 形變分量即完全確定 11 按應力求解平面問題時常采用位移法和應力法 12 按應力求解平面問題 最后可以歸納為求解一個應力函數(shù) 13 在有限單元法中 結點力是指單元對結點的作用力 14 在有限單元法中 結點力是指結點對單元的作用力 15 在平面三結點三角形單元的公共邊界上應變和應力均有突變 三 簡答題三 簡答題 1 簡述材料力學和彈性力學在研究對象 研究方法方面的異同點 在研究對象方面 材料力學基本上只研究桿狀構件 也就是長度遠大于高度和寬度 的構件 而彈性力學除了對桿狀構件作進一步的 較精確的分析外 還對非桿狀結構 例如板和殼 以及擋土墻 堤壩 地基等實體結構加以研究 在研究方法方面 材料力學研究桿狀構件 除了從靜力學 幾何學 物理學三方面 進行分析以外 大都引用了一些關于構件的形變狀態(tài)或應力分布的假定 這就大簡化了 數(shù)學推演 但是 得出的解答往往是近似的 彈性力學研究桿狀構件 一般都不必引用 3 那些假定 因而得出的結果就比較精確 并且可以用來校核材料力學里得出的近似解答 2 簡述彈性力學的研究方法 答答 在彈性體區(qū)域內部 考慮靜力學 幾何學和物理學三方面條件 分別建立三套方程 即根據微分體的平衡條件 建立平衡微分方程 根據微分線段上形變與位移之間的幾何 關系 建立幾何方程 根據應力與形變之間的物理關系 建立物理方程 此外 在彈性 體的邊界上還要建立邊界條件 在給定面力的邊界上 根據邊界上微分體的平衡條件 建立應力邊界條件 在給定約束的邊界上 根據邊界上的約束條件建立位移邊界條件 求解彈性力學問題 即在邊界條件下根據平衡微分方程 幾何方程 物理方程求解應力 分量 形變分量和位移分量 3 彈性力學中應力如何表示 正負如何規(guī)定 答答 彈性力學中正應力用 表示 并加上一個下標字母 表明這個正應力的作用面與作 用方向 切應力用 表示 并加上兩個下標字母 前一個字母表明作用面垂直于哪一個 坐標軸 后一個字母表明作用方向沿著哪一個坐標軸 并規(guī)定作用在正面上的應力以沿 坐標軸正方向為正 沿坐標軸負方向為負 相反 作用在負面上的應力以沿坐標軸負方 向為正 沿坐標軸正方向為負 4 簡述平面應力問題與平面應變問題的區(qū)別 答答 平面應力問題是指很薄的等厚度薄板 只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變 化的面力 同時 體力也平行于板面并且不沿厚度變化 對應的應力分量只有 x y xy 而平面應變問題是指很長的柱形體 在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變 化的面力 同時體力也平行于橫截面并且不沿長度變化 對應的位移分量只有 u 和 v 5 簡述圣維南原理 如果把物體的一小部分邊界上的面力 變換為分布不同但靜力等效的面力 主矢 量相同 對于同一點的主矩也相同 那么 近處的應力分布將有顯著的改變 但是遠 處所受的影響可以不計 6 簡述按應力求解平面問題時的逆解法 答答 所謂逆解法 就是先設定各種形式的 滿足相容方程的應力函數(shù) 并由應力分量與 應力函數(shù)之間的關系求得應力分量 然后再根據應力邊界條件和彈性體的邊界形狀 看 這些應力分量對應于邊界上什么樣的面力 從而可以得知所選取的應力函數(shù)可以解決的 問題 7 以三節(jié)點三角形單元為例 簡述有限單元法求解離散化結構的具體步驟 1 取三角形單元的結點位移為基本未知量 2 應用插值公式 由單元的結點位移求出單元的位移函數(shù) 3 應用幾何方程 由單元的位移函數(shù)求出單元的應變 4 應用物理方程 由單元的應變求出單元的應力 5 應用虛功方程 由單元的應力出單元的結點力 4 6 應用虛功方程 將單元中的各種外力荷載向結點移置 求出單元的結點荷載 7 列出各結點的平衡方程 組成整個結構的平衡方程組 8 為了保證有限單元法解答的收斂性 位移模式應滿足哪些條件 答答 為了保證有限單元法解答的收斂性 位移模式應滿足下列條件 1 位移模式必須 能反映單元的剛體位移 2 位移模式必須能反映單元的常量應變 3 位移模式應盡 可能反映位移的連續(xù)性 9 在有限單元法中 為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移 每個單元的位移一般總是包含著兩部分 一部分是由本單元的形變引起的 另一部 分是本單元的形變無關的 即剛體位移 它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的 甚至在彈性體的某些部位 例如在靠近懸臂梁的自由端處 單元的形變很小 單元的位 移主要是由于其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移 因此 為了正確反映單元的位移形 態(tài) 位移模式必須能反映該單元的剛體位移 10 在有限單元法中 為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應變 答答 每個單元的應變一般總是包含著兩部分 一部分是與該單元中各點的位置坐標有關 的 是各點不相同的 即所謂變量應變 另一部分是與位置坐標無關的 是各點相同的 即所謂常量應變 而且 當單元的尺寸較小時 單元中各點的應變趨于相等 也就是單 元的應變趨于均勻 因而常量應變就成為應變的主要部分 因此 為了正確反映單元的 形變狀態(tài) 位移模式必須能反映該單元的常量應變 11 在平面三結點三角形單元中 能否選取如下的位移模式并說明理由 1 yxyxu 3 2 21 2 654 yxyxv 2 2 32 2 1 yxyxyxu 2 65 2 4 yxyxyxv 答答 1 不能采用 因為位移模式沒有反映全部的剛體位移和常量應變項 對坐標 x y 不對等 在單元邊界上的連續(xù)性條件也未能完全滿足 2 不能采用 因為 位移模式沒有反映剛體位移和常量應變項 在單元邊界上 的連續(xù)性條件也不滿足 四 分析計算題四 分析計算題 1 試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件 并考慮下列平面問題的 應力分量是否可能在彈性體中存在 1 ByAx x DyCx y FyEx xy 2 22 yxA x 22 yxB y Cxy xy 其中 A B C D E F 為常數(shù) 解解 應力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件 1 在區(qū)域內的平衡微分方程 5 0 0 xy yx xyy yx x 2 在區(qū)域內的相容方程 0 2 2 2 2 yx yx 3 在邊界上的應力 邊界條件 sflm sfml y s xyy x s yxx 4 對于多連體的位移單值條件 1 此組應力分量滿足相容方程 為了滿足平衡微分方程 必須 A F D E 此 外還應滿足應力邊界條件 2 為了滿足相容方程 其系數(shù)必須滿足 A B 0 為了滿足平衡微分方程 其系 數(shù)必須滿足 A B C 2 上兩式是矛盾的 因此 此組應力分量不可能存在 2 已知應力分量 3 1 2 xCQxy x 2 22 3 xyC y yxCyC xy 2 3 3 2 體力不計 Q 為 常數(shù) 試利用平衡微分方程求系數(shù) C1 C2 C3 解解 將所給應力分量代入平衡微分方程 0 0 xy yx xyy yx x 得 023 033 32 2 3 2 2 2 1 2 xyCxyC xCyCxCQy 即 023 033 32 2 2 2 31 xyCC yCQxCC 由 x y 的任意性 得 023 03 03 32 2 31 CC CQ CC 由此解得 6 1 Q C 3 2 Q C 2 3 Q C 3 已知應力分量q x q y 0 xy 判斷該應力分量是否滿足平衡微分方程和 相容方程 解解 將已知應力分量q x q y 0 xy 代入平衡微分方程 6 0 0 Y xy X yx xyy yx x 可知 已知應力分量q x q y 0 xy 一般不滿足平衡微分方程 只有體力忽略 不計時才滿足 按應力求解平面應力問題的相容方程 yxxy xy xyyx 2 2 2 2 2 1 2 將已知應力分量q x q y 0 xy 代入上式 可知滿足相容方程 按應力求解平面應變問題的相容方程 yxxy xy xyyx 2 2 2 2 2 1 2 1 1 將已知應力分量q x q y 0 xy 代入上式 可知滿足相容方程 4 試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件 并考慮下列平面問題的應變分量是否 可能存在 1 Axy x 3 By y 2 DyC xy 2 2 Ay x yBx y 2 Cxy xy 3 0 x 0 y Cxy xy 其中 A B C D 為常數(shù) 解解 應變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調條件 即 yxxy xyy x 2 2 2 2 2 將以上應變分量代入上面的形變協(xié)調方程 可知 1 相容 2 CByA 22 1 分 這組應力分量若存在 則須滿足 B 0 2A C 3 0 C 這組應力分量若存在 則須滿足 C 0 則0 x 0 y 0 xy 1 分 5 證明應力函數(shù) 2 by 能滿足相容方程 并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解 決什么問題 體力不計 0 b l 2l 2 h 2 h 2 x O 7 解解 將應力函數(shù) 2 by 代入相容方程 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 可知 所給應力函數(shù) 2 by 能滿足相容方程 由于不計體力 對應的應力分量為 b y x 2 2 2 0 2 2 x y 0 2 yx xy 對于圖示的矩形板和坐標系 當板內發(fā)生上述應力時 根據邊界條件 上下左右四 個邊上的面力分別為 上邊 2 h y 0 l 1 m 0 2 h y xyx f 0 2 h y yy f 下邊 2 h y 0 l 1 m 0 2 hy xyx f 0 2 hy yy f 左邊 2 l x 1 l 0 m bf l x xx 2 2 0 2 l x xyy f 右邊 2 l x 1 l 0 m bf l x xx 2 2 0 2 l x xyy f 可見 上下兩邊沒有面力 而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力 2b 因此 應力函數(shù) 2 by 能解決矩形板在 x 方向受均布拉力 b 0 和均布壓力 b 0 的問題 6 證明應力函數(shù)axy 能滿足相容方程 并考察在如圖所示的矩形板和坐標系中能解 決什么問題 體力不計 0 a l 2l 2 h 2 h 2 y x O 8 O x y b q g 解解 將應力函數(shù)axy 代入相容方程 02 4 4 22 4 4 4 yyxx 可知 所給應力函數(shù)axy 能滿足相容方程 由于不計體力 對應的應力分量為 0 2 2 y x 0 2 2 x y a yx xy 2 對于圖示的矩形板和坐標系 當板內發(fā)生上述應力時 根據邊界條件 上下左右四 個邊上的面力分別為 上邊 2 h y 0 l 1 m af h y xyx 2 0 2 h y yy f 下邊 2 h y 0 l 1 m af h y xyx 2 0 2 hy yy f 左邊 2 l x 1 l 0 m 0 2 l x xx f af l x xyy 2 右邊 2 l x 1 l 0 m 0 2 l x xx f af l x xyy 2 可見 在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力 a 而在上下兩邊分別受有向右 和向左的均布面力 a 因此 應力函數(shù) axy 能解決矩形板受均布剪力的問題 7 如圖所示的矩形截面的長堅柱 密度為 在一邊側面上受均布剪力 試求應力分 量 解解 根據結構的特點和受力情況 可以假定縱向纖維互不擠壓 即設0 x 由此可知 0 2 2 y x 將上式對 y 積分兩次 可得如下應力函數(shù)表達式 21 xfyxfyx 將上式代入應力函數(shù)所應滿足的相容方程則可得 0 4 2 4 4 1 4 dx xfd dx xfd y 9 這是 y 的線性方程 但相容方程要求它有無數(shù)多的解 全柱內的 y 值都應該滿足它 可見它的系數(shù)和自由項都應該等于零 即 0 4 1 4 dx xfd 0 4 2 4 dx xfd 這兩個方程要求 ICxBxAxxf 23 1 KJxExDxxf 23 2 代入應力函數(shù)表達式 并略去對應力分量無影響的一次項和常數(shù)項后 便得 2323 ExDxCxBxAxy 對應應力分量為 0 2 2 y x gyEDxBAxy x y 26 26 2 2 CBxAx yx xy 23 2 2 以上常數(shù)可以根據邊界條件確定 左邊 0 x 1 l 0 m 沿 y 方向無面力 所以有 0 0 C xxy 右邊 bx 1 l 0 m 沿 y 方向的面力為 q 所以有 qBbAb bxxy 23 2 上邊 0 y 0 l 1 m 沒有水平面力 這就要求 xy 在這部分邊界上合成的主 矢量和主矩均為零 即 0 0 0 dx y b xy 將 xy 的表達式代入 并考慮到 C 0 則有 0 23 23 0 23 0 2 BbAbBxAxdxBxAx b b 而00 0 0 dx y b xy 自然滿足 又由于在這部分邊界上沒有垂直面力 這就要求 y 在這部 分邊界上合成的主矢量和主矩均為零 即 0 0 0 dx y b y 0 0 0 xdx y b y 將 y 的表達式代入 則有 02323 26 2 0 2 0 EbDbExDxdxEDx b b 10 022 26 23 0 23 0 EbDbExDxxdxEDx b b 由此可得 2 b q A b q B 0 C 0 D 0 E 應力分量為 0 x gy b x b y q y 312 23b x b x q xy 雖然上述結果并不嚴格滿足上端面處 y 0 的邊界條件 但按照圣維南原理 在稍遠 離 y 0 處這一結果應是適用的 8 證明 如果體力分量雖然不是常量 但卻是有勢的力 即體力分量可以表示為 x V fx y V fy 其中 V 是勢函數(shù) 則應力分量亦可用應力函數(shù)表示為 V y x 2 2 V x y 2 2 yx xy 2 試導出相應的相容方程 證明證明 在體力為有勢力的情況下 按應力求解應力邊界問題時 應力分量 x y xy 應當滿足平衡微分方程 0 0 y V xy x V yx xyy yx x 1 分 還應滿足相容方程 y f x f yx y x yx 1 2 2 2 2 對于平面應力問題 y f x f yx y x yx 1 1 2 2 2 2 對于平面應變問題 并在邊界上滿足應力邊界條件 1 分 對于多連體 有時還必須考慮位移單值條件 首先考察平衡微分方程 將其改寫為 0 0 x V y y V x xy y yx x 這是一個齊次微分方程組 為了求得通解 將其中第一個方程改寫為 yxx y V x 11 根據微分方程理論 一定存在某一函數(shù) A x y 使得 y A V x x A yx 同樣 將第二個方程改寫為 yxy x V y 1 分 可見也一定存在某一函數(shù) B x y 使得 x B V y y B yx 由此得 y B x A 因而又一定存在某一函數(shù) yx 使得 y A x B 代入以上各式 得應力分量 V y x 2 2 V x y 2 2 yx xy 2 為了使上述應力分量能同量滿足相容方程 應力函數(shù) yx 必須滿足一定的方程 將上述應力分量代入平面應力問題的相容方程 得 V yx V x V yyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 V yx V yxxyyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 簡寫為 V 24 1 將上述應力分量代入平面應變問題的相容方程 得 V yx V x V yyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 V yx V yxxyyx 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 簡寫為 12 V 24 1 21 9 如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用 而梁的密度為 試用純三次的應力函數(shù)求 解 解解 純三次的應力函數(shù)為 3223 dycxyybxax 相應的應力分量表達式為 dycxxf y xx 62 2 2 gybyaxyf x yy 26 2 2 cybx yx xy 22 2 這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的 現(xiàn)在來考察 如果適當選擇各個系數(shù) 是否能滿足應力邊界條件 上邊 0 y 0 l 1 m 沒有水平面力 所以有 02 0 bx yxy 對上端面的任意 x 值都應成立 可見 0 b 同時 該邊界上沒有豎直面力 所以有 06 0 ax yy 對上端面的任意 x 值都應成立 可見 0 a 因此 應力分量可以簡化為 dycx x 62 gy y cy xy 2 斜面 tanxy sin 2 cos l coscos m 沒有面力 所以有 0 0 tan tan xy xyy xy yxx lm ml 由第一個方程 得 0sintan6sin4costan2sintan62 dxcxcxdxcx O x y g 13 對斜面的任意 x 值都應成立 這就要求 0tan64 dc 由第二個方程 得 0sinsintan2costansintan2 gxcxgxcx 對斜面的任意 x 值都應成立 這就要求 0tan2 gc 1 分 由此解得 cot 2 1 gc 1 分 2 cot 3 1 gd 從而應力分量為 2 cot2cotgygx x gy y cotgy xy 設三角形懸臂梁的長為 l 高為 h 則 l h tan 根據力的平衡 固定端對梁的約束 反力沿 x 方向的分量為 0 沿 y 方向的分量為glh 2 1 因此 所求 x 在這部分邊界上 合成的主矢應為零 xy 應當合成為反力glh 2 1 0cotcotcot2cot 22 0 2 0 ghglhdygygldy h lx h x glhghdygydy hh lx xy 2 1 cot 2 1 cot 2 00 可見 所求應力分量滿足梁固定端的邊界條件 10 設有楔形體如圖所示 左面鉛直 右面與鉛直面成角 下端作為無限長 承受重 力及液體壓力 楔形體的密度為 1 液體的密度為 2 試求應力分量 解解 采用半逆解法 首先應用量綱分析方法來