求解一道2014年高考數(shù)學(xué)壓軸題的心路歷程.pdf

4 8中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2 0 1 4 年第6 期 l 復(fù)習(xí) 考試 k 求解一道2 0 1 4 年高考數(shù)學(xué)壓軸題的心路歷程 湖北省武漢市黃陂六中梅磊 郵編 4 3 0 3 0 0 作為高考數(shù)學(xué)理科壓軸題歷來(lái)都是社會(huì)關(guān) 注的熱點(diǎn) 當(dāng)2 0 1 4 年高考落下帷幕之時(shí) 筆者嘗 試探究今年湖北卷理科壓軸題 在親歷求解這道 題的過(guò)程之中 真切地感悟到命題人用心良苦 愿與大家交流 題目丌為圓周率 e 一2 7 1 8 2 8 為自然 對(duì)數(shù)的底數(shù) 工 求函數(shù) z 一墮的單調(diào)區(qū)問(wèn) 3 7 求e 3 3 e 7 c 3 7 c 3 這6 個(gè)數(shù)中 的最大數(shù)與最小數(shù) 將e 3 3 e 7 c 8 3 7 c 3 這6 個(gè)數(shù)按 從小到大的順序排列 并證明你的結(jié)論 初讀試題 穩(wěn)中求變出新的命題風(fēng)格撲面而 來(lái) 與2 0 1 1 2 0 1 3 年湖北高考理科數(shù)學(xué)壓軸題 相比 雖然第 I 問(wèn)還是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài) 的常見(jiàn)題型 但第 1 1 問(wèn)和第 1 l I 問(wèn)卻一改往年 證明不等式的套路 改為與不等式相關(guān)的求最值 和比較大小 穩(wěn)中求變出新 命題人用心良苦 1 解法探究 解答高考數(shù)學(xué)壓軸題的歷程是富有挑戰(zhàn)性 的 不僅要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)功底 而且需要細(xì)心和 耐心 在細(xì)心中對(duì)題設(shè)條件 有關(guān)提取 在細(xì)心 中對(duì)隱含關(guān)系 有用捕捉 在細(xì)心中對(duì)所求結(jié)論 有效轉(zhuǎn)化 根據(jù)題設(shè)條件擬定解題方向要有耐 心 解題過(guò)程中不斷修正解題方案要有耐心 把 解題過(guò)程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)要有耐心 1 1 在穩(wěn)定中起步 第 I 問(wèn)求函數(shù)廠 z 一些的單調(diào)區(qū)間 正 有一種似曾相識(shí)的感覺(jué) 命題形式和求解方法都 與課本例題完全相同 起步段的解題心情是愉 快的 解函數(shù)廠 z 的定義域?yàn)?0 因?yàn)?廠 z 一墼 所以廠7 z 一上 7 C Z 當(dāng) 廠 z 0 即0 z e 時(shí) 函數(shù)廠 z 單 調(diào)遞增 當(dāng) 廠 z e 時(shí) 函數(shù) z 單調(diào) 遞減 故函數(shù) z 的單調(diào)遞增區(qū)間為 o e 單 調(diào)遞減區(qū)間為 e 感悟作為湖北課改后高考的第三年 今年 理科壓軸題的第 I 問(wèn)比2 0 1 1 2 0 1 3 年湖北高 考理科數(shù)學(xué)壓軸題第 工 問(wèn)求函數(shù)的最值起點(diǎn) 還要低 有著積極的導(dǎo)向作用 這種命題風(fēng)格也 倍受教學(xué)一線的廣大高中數(shù)學(xué)教師的歡迎 1 2 在變化中承接 從第 工 問(wèn)到第 I I 問(wèn)有一個(gè)思維跨越 從 試題的字里行間里好像看不到解題方向 首先搜 索知識(shí)儲(chǔ)備 分析結(jié)論 要 求e 3 3 e 7 c e 3 丌3 這6 個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù) 注意到 這6 個(gè)數(shù)都是指數(shù)形式和冪形式 容易想到要利 用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性 接著打開(kāi)記憶閘 門 聯(lián)想到經(jīng)典試題 1 9 8 3 年高考理科數(shù)學(xué)壓軸 題第 I 問(wèn)如下 已知握 b 為實(shí)數(shù) 并且 e 口 擴(kuò) 第 1 I 問(wèn)與上面的經(jīng)典試題極為相似 解題 方法也應(yīng)該相似 而上面試題就可以利用函數(shù) 廠 z 墮的單調(diào)性來(lái)證明 函數(shù)廠 z 一坐 上Z 的單調(diào)性正是第 I 問(wèn)的終點(diǎn) 也是第 問(wèn)的 起點(diǎn) 這也與以往的解題經(jīng)驗(yàn)相符 承接段的解 題心情是興奮的 解根據(jù)指數(shù)函數(shù)y e x y 一礦在定義域 上單調(diào)遞增 可得e 3 e 丌 7 c 3 根據(jù)冪函數(shù)y z Y z 在定義域上單 調(diào)遞增 可得3 8 7 e 3 萬(wàn)方數(shù)據(jù) 2 0 1 4 年第6 期中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 4 9 從而3 丌 7 3 e 3 e 3 故這6 個(gè)數(shù)的最大數(shù)在兀3 與3 之中 最小 數(shù)在3 與e 3 之中 由e 3 丌及 I 的結(jié)論 得f T r 3 廠 e 即l n T t 掣 l n e 由警 警 得l n 兀3 由掣 些 得l n 3 e l n e 3 所以3 e e 3 綜上 6 個(gè)數(shù)中的最大數(shù)是3 最小數(shù) 是3 8 感悟第 I I 問(wèn)一改往年證明不等式的傳 統(tǒng)模式 改為求最值 而利用函數(shù)的單調(diào)性既可 以證明不等式 也可以求最值 命題人不一味迎 合高中數(shù)學(xué)教學(xué)題型模式 規(guī)避題型套路 拓展 命題空間 穩(wěn)中求變出新 變而不怪 新而不難 可謂用心良苦 在解題過(guò)程中 我們發(fā)現(xiàn) 經(jīng)典的 1 9 8 3 年高考理科數(shù)學(xué)壓軸題就是今年這道壓軸 題的命題之源 1 3 在創(chuàng)新中收官 從第 I I 問(wèn)到第 1 1 1 問(wèn)是一個(gè)自然的拓展 求出了 e 3 3 e 兀 3 7 c 3 這6 個(gè)數(shù)中的 最大數(shù)與最小數(shù) 我們自然想到能否 將e 3 3 8 釅 兀 3 x 兀3 這6 個(gè)數(shù)按從小到大的順序 排列 利用第 1 I 問(wèn)方法 不難得到 3 兀 7 3 3 3 e 3 e 3 且7 r e e 3 e 7 r e e 8 e 3 7 r 3 7 c 7 c 3 不能判斷e 3 與7 c 的大小 嘗試失 敗 嘗試2 分別取對(duì)數(shù) 要比較e 3 與7 c 的大 小 只需比較3 與e l l l r 的大小 于是要找出含有 l 叼的等式或不等式 注意到當(dāng)0 z e 時(shí) 廠 z 廠 e 一 即警 在上式中 令z 1 n 旦 一旦 則 旦 從而1 一l n 丌 7 r 三 e 7 r 1 一土 e l n 丌 e f l 一上1 不能判斷3 與P l n r 的 丌 7 r 大小 嘗試失敗 嘗試3 嘗試2 雖然失敗了 但是找出了構(gòu) 造含有l(wèi) 衄的不等式的一條途經(jīng) 稍作調(diào)整 令z e 2 I n 一芏 則 乒 上 從而2 一I n 丌 7 r e C7 2 一旦 e l n 7 c e 2 一旦1 3 進(jìn)而兀e e 3 7 f 丌 類似可得e 兀3 收官段的解題心情是喜 悅的 解由 1 I 知 3 2 兀e 7 c 3 3 3 e 3 7 r e 故只需比較e 3 與兀8 和e 與兀3 的大小 由 I 知 當(dāng)0 z e 時(shí) z e 一 三 即l n x 1 1e 2 在上式中 令z 一竺 則 I n 乒 從而2 0 1 r e e l n 7 c 2 一旦 由 得 e l n 7 c e 2 一旦 2 7 2 一 篇 2 7 2 o 8 8 司0 2 4 3 即e l n c 3 亦即l n 丁 l n e 3 故e 3 6 3 e 6 一e 兀 即 3 l 眥 7 c 所以e 8 7 c 3 綜上可得6 個(gè)數(shù)從小到大的順序?yàn)? 8 e 3 7 e 7 c 3 3 感悟第 問(wèn)圍繞比較六個(gè)特殊數(shù)的大 小關(guān)系 要求考生借助所給函數(shù)模型的單調(diào)性進(jìn) 行推理判斷 尋找合理簡(jiǎn)潔的比較途徑 在比較 大小的過(guò)程中 體現(xiàn)著算法思想 化歸與轉(zhuǎn)化的 思想和分類與整合的思想 比較方法的多樣性和 選擇性 又包含著對(duì)推理論證能力 運(yùn)算求解能 力和合情探究能力的要求以及思維品質(zhì)的甄別 萬(wàn)方數(shù)據(jù) 5 0中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)2 0 1 4 年第6 期 一道選擇壓軸題的模型分析與拓展 安徽省定遠(yuǎn)縣第一初級(jí)中學(xué)韓敬 郵編 2 3 3 2 0 0 試題如圖1 正方形A B C D 的對(duì)角線B D 的長(zhǎng)為2 2 若直線z 滿足 點(diǎn)D 到直線z 的距 離為 3 A C 兩點(diǎn)到直線z 的距離相等 則符 合題意的直線z 的條數(shù)為 A 1B 2C 3 D 4 這道題是2 0 1 4 安徽省中考選擇題的壓軸 題 既考查了正方形的性質(zhì)與點(diǎn)到直線距離相關(guān) 性質(zhì) 也考查了學(xué)生動(dòng)手操作能力 分析與解決 問(wèn)題的能力 難度不大 小巧新穎 是一道好題 值得研究 本文有別于常規(guī)解法 用模型法對(duì)此 問(wèn)題進(jìn)行分析 探索中也發(fā)4 現(xiàn)了一些結(jié)論 在解答本題前 先探索 雙點(diǎn)到直線的等距離模型 模型1 與已知M N 兩點(diǎn) 距離相等且在直線M N 同 側(cè)的直線有2 條 分別為 圖1 z z 如圖2 顯然M N l z 這是靜態(tài) 的 從動(dòng)的角度來(lái)看 點(diǎn)M N 兩點(diǎn)到某直線的距 離相等 距離的不斷變化 就是直線的平移變化 既能讓優(yōu)秀考生脫穎而出 又不會(huì)讓一般考生望 題生畏 試題在降低起點(diǎn)的同時(shí) 穩(wěn)中求變出 新 立足基礎(chǔ)的同時(shí) 強(qiáng)調(diào)能力立意 突出導(dǎo)向的 同時(shí) 確保甄別功能 再次感悟命題人的良苦 用心 2 解后反思 長(zhǎng)期以來(lái) 高考理科數(shù)學(xué)壓軸題給人的印象 是相當(dāng)難 而2 0 1 4 年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科壓軸 題明顯比往年簡(jiǎn)單 看似意料之外 實(shí)在情理 之中 從壓軸題的功能看 應(yīng)該具有必要的難度和 較強(qiáng)的區(qū)分度 有利于高校選拔優(yōu)秀人才 為此 命題組擔(dān)心的是壓不壓得住的問(wèn)題 而高中師生 考慮的則是做不做的問(wèn)題 命題與應(yīng)試之間的矛 盾凸顯無(wú)疑 在認(rèn)同命題者水平的前提下 值得 引起我們注意和反思的一個(gè)誤區(qū) 就是部分高中 數(shù)學(xué)教師指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)備考的 異化 現(xiàn)象 即明 確告訴學(xué)生不要在壓軸題上浪費(fèi)過(guò)多的時(shí)間 甚 至干脆讓學(xué)生放棄壓軸題 在這種應(yīng)試意識(shí)的影 響下 教師自己也疏于對(duì)壓軸題的研究 不愿意 或舍不得花時(shí)間去領(lǐng)悟壓軸題的味道 從而也就 難以指導(dǎo)學(xué)生去研究壓軸題 挑戰(zhàn)壓軸題 征服 壓軸題 這種消極的影響造成考生對(duì)壓軸題的心 理畏懼是可想而知的 每年總有部分考生因?yàn)闀r(shí) 間關(guān)系無(wú)暇顧及壓軸題 這是正常的 但不少考 生在時(shí)間允許的情況下完全放棄壓軸題 甚至考 后連壓軸題是什么樣的題都不知道 這就不正常 了 如果今年湖北考生完全放棄壓軸題的話 恐 怕是要吃大虧了 2 0 1 4 年高考數(shù)學(xué)湖北卷理科壓軸題發(fā)出的 信號(hào)是強(qiáng)烈的 不要完全放棄壓軸題 而要勇敢 挑戰(zhàn)壓軸題 壓軸題一般都會(huì)設(shè)置層次分明的臺(tái) 階 人口寬 上手易 只是深入難 解到底難 但即 使難 解題所用的方法也是通性通法和常規(guī) 常法 因此 對(duì)于考生而言 只要消除對(duì)壓軸題的 心理障礙 樹(shù)立解答壓軸題信心 冷靜思考 仔細(xì) 分析 努力一把 往往就可以迎刃而解 對(duì)于教師 而言 更