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第12章二叉樹模型介紹 1 2 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價12 2風(fēng)險中性定價12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 3 二項式期權(quán)定價模型 要對期權(quán)進行定價 我們需要知道標的資產(chǎn)價格如何變動簡單但非常有力的一個模型是二項式模型 在每個 很短 的時間間隔期末 股票價格只能有兩個可能的取值 當時間間隔足夠短 這是很好的近似 有利于解釋期權(quán)定價模型背后所包含的原理 可以用于對象美式期權(quán)這樣的衍生證券進行定價 4 把期權(quán)的有效期分為很多很小的時間間隔 并假設(shè)在每一個時間間隔內(nèi)證券價格只有兩種運動的可能 1 從開始的上升到原先的倍 即到達 2 下降到原先的倍 即相應(yīng)地 期權(quán)價值也會有所不同 分別為和 5 相同期限下步長越小 精確度越高 5 二叉樹模型的思想實際上是在用大量離散的小幅度二值運動來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價格運動 6 此時 因為是無風(fēng)險組合 可用無風(fēng)險利率貼現(xiàn) 得 將代入上式就可得到 其中 6 無套利定價法 構(gòu)造投資組合包括份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭當時 股票價格的變動對組合無影響則組合為無風(fēng)險組合 7 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價12 2風(fēng)險中性定價12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 8 假設(shè)一種股票當前價格為 20 三個月后的價格將可能為 22或 18 假設(shè)股票三個月內(nèi)不付紅利 歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價格 21 有效期為三個月后以買入股票的進行估值 9 單步二叉樹模型 10 定價思路 構(gòu)造一個股票和期權(quán)的組合 使得在三個月末該組合的價值是確定的 它的收益率一定等于無風(fēng)險收益率 由此得出該期權(quán)的價格 構(gòu)造組合 該組合包含一個 股股票多頭頭寸和一個看漲期權(quán)的空頭頭寸 11 上升時 股票價格從 20上升到 22 期權(quán)的價值為 l 該證券組合的總價值為22 1 下降時 股票價格從 20下降到 18 期權(quán)的價值為零 該證券組合的總價值為18 如果選取某個 值 以使得該組合的終值對兩個股票價格都是相等的 則該組合就是無風(fēng)險的 22 1 18 0 25 12 一個無風(fēng)險的組合是 多頭 0 25股股票空頭 一個期權(quán)定價 如果股票價格上升到 22 該組合的價值為 22 0 25 1 4 5如果股票價格下跌到 18 該組合的價值為 18 0 25 4 5無論股票價格是上升還是下降 在期權(quán)有效期的末尾 該組合的價值總是 4 5 13 在無套利均衡的情況下 無風(fēng)險證券組合的盈利必定為無風(fēng)險利率 假設(shè)在這種情況下 無風(fēng)險利率為年率12 該組合現(xiàn)在價值一定是 4 5的現(xiàn)值 即 4 5e 0 12 0 25 4 3674股票現(xiàn)在的價格已知為 20 假設(shè)期權(quán)的價格由f來表示 現(xiàn)在該組合的價值 20 0 25 f 5 f 4 3674即f 0 633 14 偏離均衡價格時的套利 如果期權(quán)的價值超過了 0 633 構(gòu)造該組合的成本就有可能低于 4 367 并將獲得超過無風(fēng)險利率的額外收益 如果期權(quán)的價值低于 0 633 那么賣空該證券組合將獲得低于無風(fēng)險利率的資金 15 單步二叉樹的一般結(jié)論 假設(shè) 期權(quán)的期限為T U 1 d 1股票上漲的比率為u 1股票下跌的比率為1 du d 2 16 組合 股股票多頭期權(quán)空頭當股票上升 有效期末組合價值S0u fu當股票下降 有效期末組合價值S0d fd得S0u fu S0d fd 17 T0成本S0 f組合現(xiàn)值得得 18 已知u 1 1 d 0 9 r 0 12 T 0 25 fu 1 fd 0 19 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價12 2風(fēng)險中性定價12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 20 風(fēng)險中性 上述期權(quán)定價是根據(jù)標的股票的價格估計期權(quán)的價值 未來上升和下降的概率已包括在股票價格中 說明 當根據(jù)股票的價格為期權(quán)定價時 不需要股票價格上升和下降的概率 21 E f pfu 1 p fd 期權(quán)的預(yù)期收益根據(jù)p的解釋 p是上升的概率 1 p 下降的概率得 f的價值是其未來預(yù)期收益按照無風(fēng)險利率的貼現(xiàn)值 22 風(fēng)險中性 變量p解釋為股票價格上升的概率 于是變量1 p 就是股票價格下降的概率 在T時刻預(yù)期的股票價格ST E ST pS0u 1 p S0d即E ST pS0 u d S0d 將代入上式 化簡得 E ST S0erT即 平均來說 股票價格以無風(fēng)險利率增長 因此 設(shè)定上升運動的概率等于p就是等價于假設(shè)股票收益等于無風(fēng)險利率 23 風(fēng)險中性的例子 S0 20S0u 22 S0d 18K 21fu 1 fd 0r 0 12 T 0 25 E f pfu 1 p fd 24 12 2 用單步二叉樹圖說明無套利和風(fēng)險中性估值方法如何為歐式期權(quán)估值解 在無套利方法中 我們通過期權(quán)及股票建立無風(fēng)險資產(chǎn)組合 使組合收益率等價于無風(fēng)險利率 從而對期權(quán)估值 在風(fēng)險中性估值方法中 我們選取二叉樹概率 以使股票的期望收益率等價于無風(fēng)險利率 而后通過計算期權(quán)的期望收益并以無風(fēng)險利率貼現(xiàn)得到期權(quán)價值 25 12 4 某個股票現(xiàn)價為 50 已知6個月后將為 45或 55 無風(fēng)險年利率為10 連續(xù)復(fù)利 執(zhí)行價格為 50 6個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少 f 50 26 16所以 f 50 0 5 26 16 1 16 看跌期權(quán)的價值f 0 0 7564 5 0 2436 e 0 1 0 5 1 16 26 12 16 某個股票現(xiàn)價為 50 已知在6個月后 股價將變?yōu)?60或 42 無風(fēng)險年利率為12 連續(xù)復(fù)利 計算執(zhí)行價格為 48 有效期為6個月的歐式看漲期權(quán)的價值為多少 證明無套利原理和風(fēng)險中性估價原理得出相同的答案 27 12 16 28 12 16 29 12 1 股票現(xiàn)價為 40 已知在一個月后股價為 42或 38 無風(fēng)險年利率為8 連續(xù)復(fù)利 執(zhí)行價格為 39的1個月期歐式看漲期權(quán)的價值為多少 解 考慮一資產(chǎn)組合 賣空1份看漲期權(quán) 買入 份股票 若股價為 42 組合價值則為42 3 若股價為 38 組合價值則為38 當42 3 38 即 0 75時 組合價值在任何情況下均為 28 5 其現(xiàn)值為 28 5e 0 08 0 08333 28 31即 f 40 28 31其中f為看漲期權(quán)價格 所以 f 40 0 75 28 31 1 69另解 計算風(fēng)險中性概率p 42p 38 1 p 40erT 40e0 08 0 083334p 40e0 08 0 08333 38P 0 5669 期權(quán)的價值應(yīng)是其預(yù)期收益以無風(fēng)險利率的貼現(xiàn)值 f 3 0 5669 0 0 4331 e 0 08 0 08333 1 69美元 30 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價12 2風(fēng)險中性定價12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 31 兩步二叉樹圖的例子1 條件 開始的股票價格為 20 并在兩步二叉樹圖的每個單步二叉樹圖中 股票價格可以上升10 或者下降10 我們假設(shè)在每個單步二叉樹的步長是三個月 無風(fēng)險利率是年率12 期權(quán)的執(zhí)行價格為 21 32 2020 1 15 33 34 35 36 計算在節(jié)點B的期權(quán)價格 u 1 1 d 0 9 r 0 12 T 0 25 p 0 6523 節(jié)點B的期權(quán)價格為 e 0 12 0 25 0 6523 3 2十0 3477 0 2 0257同理求出節(jié)點C的期權(quán)價格為 0計算節(jié)點A的期權(quán)價格 知道在節(jié)點B的期權(quán)價值為2 0257 以及在節(jié)點C的期權(quán)價值為零 因此 節(jié)點A的期權(quán)價值 e 0 12 0 25 0 6523 2 0257十0 3477 0 1 2823于是期權(quán)的價格為 1 2823 37 二叉樹的一般結(jié)論 無風(fēng)險利率是r 每個單步二叉樹的時間長度 t 38 因為所以將1式 2式 帶入3式 得到 39 p2 2p 1 p 1 p 2是達到最后上 中 下三個節(jié)點的概率 衍生證券的價格等于它在它在風(fēng)險中性世界的預(yù)期收益按無風(fēng)險利率貼現(xiàn)的值 40 12 5 某個股票現(xiàn)價為 100 有連續(xù)2個時間步 每個時間步的步長為6個月 每個單步二叉樹預(yù)期上漲10 或下降10 無風(fēng)險年利率為8 連續(xù)復(fù)利 執(zhí)行價格為 100的一年期歐式看漲期權(quán)的價值為多少 41 42 12 6 考慮習(xí)題12 5中的情況 執(zhí)行價格為 100的一年期歐式看跌期權(quán)的價值為多少 證明歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)的平價關(guān)系 43 12 6 44 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價12 2風(fēng)險中性定價12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 45 看跌期權(quán)的例子P203 兩年歐式看跌期權(quán) K 52 S0 50 t 1 股票價格或者按比例 20 u 1 2 d 0 8 r 0 05 風(fēng)險中性概率p 46 12 9 某個股票現(xiàn)價為 50 已知在兩個月后 股票價格為 53或 48 無風(fēng)險年利率為10 連續(xù)復(fù)利 請用無套利原理說明 執(zhí)行價格為 49的兩個月后到期的歐式看漲期權(quán)的價值為多少 47 12 9 u 1 d 1股票上漲的比率為u 1 0 06股票下跌的比率為1 d 0 04u d 23 50 0 06 2 50 0 04 48 12 10 某個股票現(xiàn)價為 80 已知在4個月后 股票價格為 75或 85 無風(fēng)險年利率為5 連續(xù)復(fù)利 請用無套利原理說明 執(zhí)行價格為 80的4個月后到期的歐式看跌期權(quán)的價值為多少 49 12 10 50 12 12 某個股票現(xiàn)價為 50 有連續(xù)2個時間步 每個時間步的步長為3個月 每個單步二叉樹的股價或者上漲6 或者下跌5 無風(fēng)險年利率為5 連續(xù)復(fù)利 執(zhí)行價格為 51 有效期為6個月的歐式看漲期權(quán)的價值為多少 51 12 13 考慮習(xí)題12 12中的情況 執(zhí)行價格為 51 有效期為6個月的歐式看跌期權(quán)的價值為多少 證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系 如果看跌期權(quán)是美式期權(quán) 在樹圖上的任何節(jié)點 提前執(zhí)行期權(quán)是否會更優(yōu)呢 解 1 如上題u 1 06 d 0 95 p 0 5689計算二叉樹圖的結(jié)果如下 52 如上圖 當?shù)竭_中間的終節(jié)點時 期權(quán)的損益為51 50 35 0 65 當?shù)竭_最低的終節(jié)點時 期權(quán)的損益為51 45 125 5 875 因此 期權(quán)的價值為 3 為確定提前執(zhí)行是否會更優(yōu) 我們要計算比較每一節(jié)點處立即執(zhí)行期權(quán)的損益 在C節(jié)點處 立即執(zhí)行期權(quán)的損益為51 47 5 3 5 大于2 8664 因此 期權(quán)必須在此節(jié)點處被執(zhí)行 在A B節(jié)點處均不執(zhí)行 53 12 17 某個股票現(xiàn)價為 40 有連續(xù)2個時間步 每個時間步的步長為3個月 每個單位二叉樹的股價或者上漲10 或者下跌10 無風(fēng)險年利率為12 連續(xù)復(fù)利 A 執(zhí)行價格為 42的6個月期限的歐式看跌期權(quán)的價值為多少 B 執(zhí)行價格為 42的6個月期限的美式看跌期權(quán)的價值為多少 54 55 12 17 56 12 18 用 試錯法 來估算習(xí)題12 17中的期權(quán)的執(zhí)行價格為多高時 立即執(zhí)行期權(quán)是最佳的 在此C節(jié)點處 立即執(zhí)行期權(quán)的損益為37 36 1 小于1 552 因此美式看跌期權(quán)不會在此節(jié)點處被執(zhí)行 57 2 假設(shè)美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價格為 38 計算股價二叉樹圖的結(jié)果如下 在此C節(jié)點處 立即執(zhí)行期權(quán)的損益為38 36 2 比1 890多0 11收益 因此 美式看跌期權(quán)必須在此節(jié)點處被執(zhí)行 從以上分析可得 當執(zhí)行價格高于或等于 38時 提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)都是更優(yōu)的選擇 58 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價12 2風(fēng)險中性定價12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 59 Dalta 期權(quán)價格變化與股票價格變化之間的比率 60 結(jié)論 隨著時間而變化Delta是為了構(gòu)造一個無風(fēng)險對沖 對每一個賣空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的