高職高等數(shù)學(xué) 第五章 定積分第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì).pdf

沈陽(yáng)工程學(xué)院 第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì)第一節(jié) 定積分的概念與性質(zhì) Concept and Properities of Definite Integral 教學(xué)目的教學(xué)目的 理解定積分的概念 掌握定積分的性質(zhì) 了解定積分的幾何意義 會(huì)用定積分表示 曲邊梯形的面積 課題課題 定積分的定義 定積分的幾何意義 定積分的性質(zhì) 教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 定積分的概念 性質(zhì)和幾何意義 教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn) 定積分的概念 教學(xué)方法教學(xué)方法 精講定積分的定義和幾何意義 練習(xí)用定積分的幾何意義求定積分 教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 一 兩個(gè)引例 引例 一 兩個(gè)引例 引例 1 曲邊梯形的面積 曲邊梯形是指在直角坐標(biāo)系中 由閉區(qū)間 a b上的連續(xù)曲線 0 yf xf x 和直 線 xa xb 及x軸所圍成的平面圖形AabB 如圖 5 1 所示 圖 5 1圖 5 2 怎樣計(jì)算曲邊梯形的面積呢 由于曲邊梯形的高 f x在區(qū)間 a b上是連續(xù)變化的 在 很小一段區(qū)間上它的變化很小 近似于不變 因此 如果把區(qū)間 a b劃分為許多小區(qū)間 那么曲 邊梯形也相應(yīng)地被劃分成許多小曲邊梯形 在每個(gè)小區(qū)間上用其中某一點(diǎn)處的高來(lái)近似代替 同一區(qū)間上小曲邊梯形的變高 那么 每個(gè)小曲邊梯形就可以近似看成小矩形 我們就以所有 這些小矩形的面積之和作為曲邊梯形面積的近似值 并把區(qū)間 a b無(wú)限細(xì)分下去 使每個(gè)小 區(qū)間的長(zhǎng)度都趨于零 這時(shí)所有小矩形面積之和的極限就是曲邊梯形的面積 根據(jù)上面的分析 可按下面四個(gè)步驟計(jì)算曲邊梯形的面積 如圖 5 2 所示 1 分割 在區(qū)間 a b內(nèi)用分點(diǎn) 0121 iin axxxxxxb 把區(qū)間分成n個(gè)小 區(qū)間 011211 iinn x xx xxxxx 這些小區(qū)間的長(zhǎng)度分別記為 1 1 2 iii xxxin 過(guò)每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線 它們把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形 小曲邊梯形的 面積記為 1 2 i A in 2 近似 在每個(gè)小區(qū)間 1 1 2 ii xxin 上任取一點(diǎn) 1 iiii xx 以 i f 為高 i x 為 底作小矩形 用小矩形的面積 ii fx 近似代替第i個(gè)小曲邊梯形的面積 i A 即 1 2 iii Afxin 3 求和 把n個(gè)小矩形的面積加起來(lái) 得和式 沈陽(yáng)工程學(xué)院 1122 1 n nnii i fxfxfxfx 就是曲邊梯形面積的近似值 即 11 nn iii ii AAfx 4 取極限 當(dāng)分點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)限增加 即n 且小區(qū)間長(zhǎng)度的最大值 max i x 趨于 0 時(shí) 如果和式的極限存在 這個(gè)極限值就是曲邊梯形的面積 即 0 1 lim n ii i Afx 引例引例 2 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng) 已知速度 vv t 是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù) 求在時(shí)間間隔 12 T T上質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程S 由于質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng) 速度是變化的 不能用勻速運(yùn)動(dòng)的路程公式Svt 去求路程 我們用下面的四個(gè)步驟去求 1 分割 在時(shí)間間隔 12 T T內(nèi)用分點(diǎn) 1012112 iinn TtttttttT 把 12 T T分成n個(gè)小區(qū)間 011211 iinn t tt ttttt 這些小區(qū)間的長(zhǎng)度分別記為 1 1 2 iii tttin 2 近似 任取 1 iii tt 用 i 點(diǎn)的速度 i v 近似代替質(zhì)點(diǎn)在 1 ii tt 上的速度 因?yàn)闀r(shí)間間隔 1 ii tt 很小 速度的變化不是很大 那么質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔 1 ii tt 上經(jīng)過(guò)的路程 i S 近似為 ii vt 即 1 2 iii Svtin 3 求和 因質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間間隔 12 T T上所經(jīng)過(guò)的路程 1 n i i SS 所以 1 n ii i Svt 4 取極限 設(shè)max i t 當(dāng)0 時(shí) 如果上述和式的極限存在 這個(gè)極限值就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)間 間隔 12 T T上所經(jīng)過(guò)的路程 即 0 1 lim n ii i Svt 二 定積分的定義 定義 二 定積分的定義 定義 設(shè)函數(shù) f x為區(qū)間 a b上的有界函數(shù) 任意取分點(diǎn) 0121 iin axxxxxxb 把區(qū)間 a b分成n個(gè)小區(qū)間 1 1 2 ii xxin 稱(chēng)為子區(qū)間 其長(zhǎng)度記為 沈陽(yáng)工程學(xué)院 1iii xxx 在每個(gè)小區(qū)間 1 ii xx 上任取一點(diǎn) 1 iiii xx 得相應(yīng)的函數(shù)值 i f 作乘積 ii fx 把所有這些乘積加起來(lái) 得和式 1 n ii i fx 令max i x 若0 時(shí) 上述和式的極限存在 則稱(chēng)函數(shù) f x在區(qū)間 a b上可 積 此極限值叫做函數(shù) f x在區(qū)間 a b上的定積分 記作 b a f x dx 即 0 1 lim n b ii a i f x dxfx 其中 f x叫做被積函數(shù) f x dx叫做被積表達(dá)式 x叫做積分變量 區(qū)間 a b叫積分區(qū) 間 a b分別叫積分下限于上限 說(shuō)明 說(shuō)明 1 所謂和式極限存在 即函數(shù)可積 是指不論對(duì)區(qū)間 a b怎樣的分法和 i 怎樣的 取法 極限都存在且相等 2 如果 f x在 a b上連續(xù)或有有限個(gè)第一類(lèi)間斷點(diǎn) 那么定義中的和式極限一定存 在 3 因?yàn)楹褪綐O限是由函數(shù) f x與區(qū)間 a b所確定 所以定積分只與被積函數(shù)和積分 區(qū)間有關(guān)而與積分變量的記號(hào)無(wú)關(guān) 即 bbb aaa f x dxf t dtf u du 4 該定義是在ab 的情況下給出的 但不管ab 還是ab 總有 bb aa f x dxf x dx 特別地 當(dāng)ab 時(shí) 規(guī)定 0 b a f x dx 根據(jù)定積分的定義 上面的兩個(gè)例子都可以表示為定積分 曲邊梯形的面積A是函數(shù) f x在區(qū)間 a b上的定積分 即 b a Af x dx 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程S是速度函數(shù) v t在時(shí)間間隔 12 T T上的定積分 即 2 1 T T Sv t dt 三 定積分的幾何意義三 定積分的幾何意義 當(dāng) 0f x 時(shí) b a f x dx 表示由曲線 yf x 直線 xa xb x 軸所圍成的曲邊 梯形的面積 當(dāng) 0f x 時(shí) 曲邊梯形在x軸的下方 b a f x dxA 即當(dāng) 0f x 時(shí) f x在 a b上的定積分等于曲邊梯形面積的相反數(shù) 因此 在一般情況 下 定積分 b a f x dx 表示幾個(gè)曲邊梯形面積的代數(shù)和 如圖 5 3 所示 沈陽(yáng)工程學(xué)院 圖 5 3 四 定積分的性質(zhì)四 定積分的性質(zhì) 設(shè)函數(shù) f x g x在所討論的區(qū)間上可積 則定積分有如下性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 1 兩個(gè)函數(shù)和的定積分等于它們定積分的和 即 bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx 這個(gè)性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形 性質(zhì)性質(zhì) 2 被積表達(dá)式中的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)前面 即 bb aa kf x dxkf x dx 性質(zhì)性質(zhì) 3 對(duì)任意的c 有 bcb aac f x dxf x dxf x dx 這一性質(zhì)叫做定積分對(duì)積分區(qū)間 a b的可加性 即不論 ca b 還是 ca b 均成立 性質(zhì)性質(zhì) 4 如果在 a b上 1f x 那么 b a f x dxba 性質(zhì)性質(zhì) 5 如果在 a b上有 f xg x 那么 bb aa f xg x dx 特別地 有 bb aa f x dxf x dx 性質(zhì)性質(zhì) 6 估值定理 如果 f x在 a b上的最大值為M 最小值為m 那么 b a m baf x dxM ba 性質(zhì)性質(zhì) 7 積分中值定理 如果 f x在 a b上連續(xù) 那么 a b內(nèi)至少存在一點(diǎn) 使 b a f x dxfba 例 例 1 比較下列各對(duì)積分值的大小 1 1 2 0 x dx 與 1 0 xdx 2 1 010 xdx 與 1 0 5xdx 解解 1 因?yàn)樵?0 1 上 2 xx 所以 11 2 00 x dxxdx 2 因?yàn)樵?0 1 上有105 xx 所以 11 00 105 xx dxdx 例 2 估計(jì)定積分 1 1 x e dx 的值的范圍 解解 設(shè) x f xe 因?yàn)?0 x fxe 所以 f x在 1 1 上單調(diào)減少 從而 沈陽(yáng)工程學(xué)院 1 max f xMee 1 min 1 f xme e 因此 由估值定理有 1 1 2 2 x e dxe e 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 1 用定積分表示由曲線 3 yx 直線1 2xx 及0y 所圍成的曲邊