自考高等數(shù)學(xué)極限與連續(xù).pdf

第二章極限與連續(xù) 一 考核內(nèi)容 1 會(huì)求數(shù)列的極限 2 知道數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的概念 會(huì)求等比級(jí)數(shù)的和 3 知道函數(shù)極限的概念和四則運(yùn)算法則 會(huì)求函數(shù)的極限 4 知道無(wú)窮小量的概念 性質(zhì) 會(huì)比較無(wú)窮小量 知道無(wú)窮大量的概念 5 掌握兩個(gè)重要極限 6 知道函數(shù)連續(xù)性的概念 會(huì)求間斷點(diǎn) 知道閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 二 基本概念 主要公式 典型例題 一 數(shù)列極限的概念 定義一 一列有順序的數(shù) 叫數(shù)列 簡(jiǎn)記作 其中 叫第一項(xiàng) 叫第二項(xiàng) 叫第 n 項(xiàng) 定義二 當(dāng) n 無(wú)限變大時(shí) 如果數(shù)列的第 n 項(xiàng) 與一個(gè)常數(shù) a 無(wú)限接近 就說(shuō)常 數(shù) a 是數(shù)列的極限 并且說(shuō)數(shù)列收斂 也可以說(shuō)數(shù)列收斂于常數(shù) a 記作 當(dāng) n 時(shí) 或 如果不存在這樣的常數(shù) a 就說(shuō)數(shù)列發(fā)散 定義三 當(dāng) n 無(wú)限變大時(shí) 如果數(shù)列的第 n 項(xiàng)的絕對(duì)值無(wú)限變大 就說(shuō)數(shù) 列無(wú)限變大 記作 當(dāng) n 時(shí) 或記作 由于這時(shí)數(shù)列的極限不是常數(shù) 所以數(shù)列無(wú)限變大是發(fā)散的 典型例題 討論下列數(shù)列的斂散性 若收斂 請(qǐng)求出它的極限 解 當(dāng) n 無(wú)限變大時(shí) 觀察下表 n1234567 1 21 4 1 81 16 1 321 64 1 128 可見(jiàn) n 時(shí) 與數(shù) 0 無(wú)接近 即 解 數(shù)列d 的第 n 項(xiàng) 在 1 與 1 之間跳動(dòng) 故 不與任何常數(shù)接近 故數(shù)列 沒(méi)有極限 它是發(fā)散的 由 3 與 6 可知 等比數(shù)列 有下面結(jié)果 二 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 定義一 數(shù)列的和叫數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 符號(hào)叫數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的前 n 項(xiàng) 和 例如 叫前 5 項(xiàng)和 定義二 若 n 時(shí) 級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和 的極限若為常數(shù) S 即 就說(shuō)級(jí)數(shù)的和是 S 并且說(shuō)級(jí)數(shù)收斂 或者說(shuō)級(jí)數(shù)收斂于 S 否則 就說(shuō)級(jí)數(shù)是發(fā)散的 典型例題 例一 討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 如例一 討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 參見(jiàn)教材 55 頁(yè)面 例二 討論數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 例三 討論等比級(jí)數(shù)的斂散性 解 時(shí) 時(shí) 的在 0 與 1 間跳躍 不存在 總結(jié)上面結(jié)果有下面公式 例四 求下列等比級(jí)數(shù)的和 根據(jù)等比級(jí)數(shù)求和公式有 下面為第二節(jié) 三 函數(shù)的極限 定義一 當(dāng) x 與數(shù) a 無(wú)限接近時(shí) 如果函數(shù) f x 的值與常數(shù) A 無(wú)限接近 就說(shuō) x 與數(shù) a 無(wú)限接近時(shí) f x 的極限是常數(shù) A 記作 典型例題 求下列函數(shù)的極限 定義二 若當(dāng) x a 且與數(shù) a 無(wú)限接近時(shí) 記作 函數(shù) f x 與常數(shù) A 無(wú) 限接近 就說(shuō)函數(shù) f x 的左極限是數(shù) A 記作 若當(dāng) x a 且與數(shù) a 無(wú)限接近時(shí) 記作 函數(shù) f x 與常數(shù) A 無(wú)限接近 就說(shuō)函數(shù) f x 的右極限是數(shù) A 記作 顯然 下面定理是成立的 定理 典型例題 定義三 1 若 x0 且 x 無(wú)限變大時(shí) 記作 函數(shù) f x 與常數(shù) A 無(wú)限接近 就說(shuō)時(shí) 函數(shù) f x 的極限是常數(shù) A 記作 3 當(dāng) x 的絕對(duì)值 x 無(wú)限變大時(shí) 記作 函數(shù) f x 與常數(shù) A 無(wú)限接近 就說(shuō)時(shí) f x 的極限是常數(shù) A 記作 顯然 下面的結(jié)論是正確的 典型例題 例一 求下列極限 例二 求極限 四 極限的四則運(yùn)算法則 關(guān)于極限的運(yùn)算 我們不加證明地介紹下面的定理 若在 x 的同一變化過(guò)程中 則有下面結(jié)果 典型例題 例一 求下列極限 下面的結(jié)果 學(xué)員可以當(dāng)作公式加以應(yīng)用 例三 直接利用上面的公式求極限 解 0 3 例四 求極限 下面為第三節(jié) 五 無(wú)窮大量 無(wú)窮小量 定義一 若變量 u 的絕對(duì)值 無(wú)限變大 就說(shuō)變量 u 是無(wú)窮大量 記作 定義二 若變量 u 的極限為 0 就說(shuō)變量 u 是無(wú)窮小量 記作 性質(zhì)一 若 u 是無(wú)窮大量 則 1 u 是無(wú)窮小量 若 u 是無(wú)窮小量 則 1 u 是無(wú)窮大量 性質(zhì)二 1 無(wú)窮小量乘無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量 2 有界變量乘無(wú)窮小量是無(wú)窮小量 典型例題 例一 當(dāng)時(shí) 下列變量中哪個(gè)是無(wú)窮大量 哪個(gè)是無(wú)窮小量 例二 求下列極限 定義三 若 0 0 即 與 都是無(wú)窮小量 1 若 就說(shuō) 是 的高階無(wú)窮小 記作 o 2 若 就說(shuō) 是 的同階無(wú)窮小 記作 O 3 若 就說(shuō) 與 等價(jià) 記作 4 若 就說(shuō) 是 的低階無(wú)窮小 典型例題 例一 當(dāng) x 0 時(shí) 請(qǐng)將下列無(wú)窮小量與 x 進(jìn)行比較 下面的結(jié)果是重要的結(jié)果 請(qǐng)學(xué)員熟記 x0 時(shí) 下面的無(wú)窮小量都是等價(jià)的 在求極限時(shí) 下面的定理常常能將問(wèn)題變得簡(jiǎn)單 定理 等價(jià)代換定理 若 u 0 0 且 u 則有 1 2 證 1 2 等價(jià)代換定理的好處是可以用一個(gè)簡(jiǎn)單的無(wú)窮小量 去替換等價(jià)的復(fù)雜的無(wú)窮小 量 學(xué)員特別要注意的是只有乘除法才能等價(jià)替換 加減法不能等價(jià)替換 典型例題 求下列極限 例二 用等價(jià)無(wú)窮小替換計(jì)算 注意 下面的計(jì)算有錯(cuò)誤 錯(cuò)誤的原因在第一個(gè)等式不成立 因?yàn)槲覀兯娴募訙p法不能等價(jià)替換 六 兩個(gè)重要的極限 下面我們不加證明地給出兩個(gè)重要極限 讀者可以利用它們作為公式求其它的極限 上面的結(jié)果叫第一個(gè)重要極限 實(shí)際上在介紹等價(jià)替換時(shí)就有上面的結(jié)果 典型例題 計(jì)算 上面的公式叫第二個(gè)重要極限 在利用上面的公式求其它極限時(shí)常常需要利用下 面的公式進(jìn)行代數(shù)化簡(jiǎn) 典型題一 求下列極限 注意 要將這種極限與相區(qū)別 例二 求下列極限 例三 驗(yàn)證 七 函數(shù)的連續(xù)性 否則 就說(shuō) f x 在處間斷 即處的間斷 否則 就說(shuō) f x 在處間斷 典型例題 例一討論下列函數(shù)在分段點(diǎn)的連續(xù)性 解 用定義一 f 0 0 f x 在 x 0 連續(xù) 解 在 x 0 點(diǎn)處 f 0 1 f x 在點(diǎn) x 0 處連續(xù) 在 x 2 處 f x 在點(diǎn) x 2 處不連續(xù) 例三 已知 在點(diǎn) x 0 連續(xù) 求 a b 對(duì)于初等函數(shù) 有下面的結(jié)論 定理 1 一切初等函數(shù)在它有意義的區(qū)間上處處連續(xù) 2 一切初等函數(shù) 在它的無(wú)意義點(diǎn)上一定間斷 典型例題 例一 求函數(shù)的間斷點(diǎn)和連續(xù)區(qū)間 解 f x 是初等函數(shù) 它在 1 1 1 1 上處處有 意義 f x 在 1 1 1 1 上處處連續(xù) f x 在 x 1 x 1 上無(wú)意義 所以 f x 在 x 1 x 1 處間斷 關(guān)于間斷點(diǎn) 本教程有三種類型 1 若則間斷點(diǎn) x a 叫可去間斷點(diǎn) 2 若 則間斷點(diǎn) x a 叫無(wú)窮間斷點(diǎn) 3 若 則間斷點(diǎn) x a 叫跳躍間斷點(diǎn) 例二 求下列函數(shù)的間斷點(diǎn) 并指出其類型 解 f x 在 2 處無(wú)意義 所以 x 2 是 f x 的間斷點(diǎn) 解 f x 在 x 2 處無(wú)意義 所以 x 2 是 f x 的間斷點(diǎn) 解 f x 在 x 2 處無(wú)意義 所以 x 2 是 f x 的間斷點(diǎn) 解 f x 在 x 0 處無(wú)意義 x 0 是 f x 的間斷點(diǎn) 由于 所以 x 0 是 f x 的無(wú)窮間斷點(diǎn) 八 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間上處處連續(xù)的函數(shù)有兩條重要性質(zhì) 我們用定理的形式介紹一下 定理 最大值最小值定理 如果函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a b 上處處連續(xù) 則函數(shù) f x 在閉區(qū)間 a b 上一定 有最大值 M 和最小值 m 推論 若 f x 在閉區(qū)間 a b 上連續(xù) 則 f x 在閉區(qū)間 a b 上有界 且 注意上面結(jié)論的兩個(gè)條件缺一不可 例在開(kāi)區(qū)間 0 1 上處處連續(xù) 因?yàn)?它在此區(qū)間上沒(méi)有無(wú)意義的點(diǎn) x 0 時(shí) 無(wú)限變大 所以它沒(méi)有最大值 而 0 x 1 時(shí) f x 也取不到最小值 1 定理 零值定理 如果 f x 在閉區(qū)間 a b 上處處連續(xù) 而且 f x 在端點(diǎn)的函數(shù)值 f a f b 異號(hào) 則在 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) a c b 能使 f c 0 或者說(shuō)在 a b 內(nèi)至少存在一點(diǎn) a c b 使 x c 是方程 f x 0 的根 零值定理的正確性是明顯的 我們用下圖說(shuō)明 由于 f a f b 的異號(hào) 所以曲線 y f x 在 x a 與 x b 處的幾何點(diǎn) A 與 B 分別在 x 軸的兩側(cè) 由于 y f x 的圖形連續(xù) 所以它與 x 必相交 交點(diǎn) x c 處的 y 0 即 f c 0 典型例題 證明方程在 1 2 內(nèi)至少有一根 證 即需證明方程在 1 2 內(nèi)至少有一根 令 f x 至少在 1 2 上有意義 f x 至少在 1 2 上連續(xù) f 1 2 0 與 f 2 30 0 異號(hào) f x 滿足零值定理的兩個(gè)條件 在 1 2 內(nèi)至少有一點(diǎn) 1 c 2 使 f c 0 即 x c 是方程 f x 0 的根 x c 是方程的根 三 同步練習(xí)題 一 填空 二 計(jì)算下列極限 三 證明題 19 證明方程 20 若 f x 在 a b 上連續(xù)且 f a a f b b 證明方程 f x x 在 a b 內(nèi)至少有一個(gè)根 三 同步練習(xí)題 一 填空 二 計(jì)算下列極限 另 三 證明題 19 證明方程 在 0 1 內(nèi)至少有一根 證明 令f x f x 在 0 1 上連續(xù) f 0 1 0 f 1 1 0 f 0 與f 1 異號(hào) 由零值定理 存在 0 c 1 使f c 0 即 x c 是方程f x 0 的根 即 x c 是