南京航空航天大學《高等數(shù)學》16極限運算法則.pdf

極限運算法則極限運算法則 求極限方法舉例求極限方法舉例 定理定理 0 lim 3 lim 2 lim 1 lim lim B B A xg xf BAxgxf BAxgxf BxgAxf 其中 則設(shè) 其中 則設(shè) 證證 lim limBxgAxf 0 0 其中其中BxgAxf 由無窮小運算法則由無窮小運算法則 得得 一 極限運算法則一 極限運算法則 BAxgxf 0 1 成立成立 BAxgxf ABBA BA 0 2 成立成立 B A xg xf B A B A BB AB 0 AB 0 0 B 又又 0 0 0 時當時當 xx 2 B B 2 1 2 1 2 BBB 2 1 2 BBB 故 故有界 有界 3 成立成立 推論1推論1 lim lim lim xfcxcf cxf 則為常數(shù)而存在如果 則為常數(shù)而存在如果 常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面 lim lim lim nn xfxf nxf 則是正整數(shù)而存在如果 則是正整數(shù)而存在如果推論2推論2 例1例1 53 1 lim 2 3 2 xx x x 求求 解解 53 lim 2 2 xx x 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3 lim 22 2 2 xxx xx 5232 2 03 53 1 lim 2 3 2 xx x x 53 lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx 3 7 3 12 3 二 求極限方法舉例二 求極限方法舉例 小結(jié) 小結(jié) 則有設(shè)則有設(shè) 1 1 10n nn axaxaxf n n xx n xxxx axaxaxf 1 10 lim lim lim 000 n nn axaxa 1 0100 0 xf 則有且設(shè)則有且設(shè) 0 2 0 xQ xQ xP xf lim lim lim 0 0 0 xQ xP xf xx xx xx 0 0 xQ xP 0 xf 0 0 則商的法則不能應(yīng)用若 則商的法則不能應(yīng)用若 xQ 解解 32 lim 2 1 xx x 0 商的法則不能用商的法則不能用 14 lim 1 x x 又又 03 14 32 lim 2 1 x xx x 0 3 0 由無窮小與無窮大的關(guān)系得由無窮小與無窮大的關(guān)系得 例2例2 32 14 lim 2 1 xx x x 求求 32 14 lim 2 1 xx x x 解解 例3例3 32 1 lim 2 2 1 xx x x 求求 1分母的極限都是零分子時 分母的極限都是零分子時 x 1后再求極限因子先約去不為零的無窮小后再求極限因子先約去不為零的無窮小 x 1 3 1 1 lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 3 1 lim 1 x x x 2 1 0 0 型型 消去零因子法消去零因子法 22 37 lim 1 1 lim 20 x x Nn x x x n x 類似的問題還有類似的問題還有 22 37 lim 2 x x x 3 2 37 22 2 2 lim 37 22 22 22 37 37 lim 2 2 x x x x x x xx xx x x 1 1 1 3 lim 3 1 x x x 1 1 2 lim 1 1 1 lim 1 1 3 lim 2 1 3 1 3 2 1 xx x x xx x xx xxx 例4例4 147 532 lim 23 23 xx xx x 求求 解解 分母的極限都是無窮大分子時分母的極限都是無窮大分子時 x 型型 3 再求極限分出無窮小去除分子分母先用再求極限分出無窮小去除分子分母先用x 3 3 23 23 14 7 53 2 lim 147 532 lim xx xx xx xx xx 7 2 無窮小因子分出法無窮小因子分出法 0 2 0 2 lim lim 2 lim 92 5 lim 2 2 2 2 9 51 9 51 2 x x x x x x x x xx x x 例例 5 92 lim0 92 5 lim 2 lim 5 92 lim 2 2 51 9 2 2 2 x x x x x x xx x x x xx 由上例知 又例 由上例知 又例 小結(jié) 小結(jié) 為非負整數(shù)時有和當為非負整數(shù)時有和當nmba 0 0 00 0 lim 0 0 1 10 1 10 mn mn mn b a bxbxb axaxa n nn m mm x 當 當 當 當 當 當 無窮小分出法 無窮小分出法 以分母中自變量的最高次冪除分 子 以分母中自變量的最高次冪除分 子 分母分母 以分出無窮小以分出無窮小 然后再求極限然后再求極限 例5例5 21 lim 222 n n nn n 求求 解解是無窮小之和 時 是無窮小之和 時 n 2222 21 lim 21 lim n n n n nn nn 2 1 2 1 lim n nn n 1 1 2 1 lim n n 2 1 先變形再求極限先變形再求極限 例6例6 sin lim x x x 求求 解解 1 為無窮小時當為無窮小時當 x x sin 是有界函數(shù)而是有界函數(shù)而x 0 sin lim x x x x x y sin 0 log 1 lim 1 1 sin 0 log 1 sin lim 00 xxx x xx 又又 例7例7 lim 0 1 0 1 0 2 xf xx xx xf x 求設(shè) 求設(shè) y ox 1 xy 1 1 2 xy 解解兩個單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點 兩個單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點 0 x 1 lim lim 00 xxf xx 1 1 lim lim 2 00 xxf xx 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等 1 lim 0 xf x 故故 三 復(fù)合函數(shù)極限運算法則三 復(fù)合函數(shù)極限運算法則 定理定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)u x 在在x0的某個的某個 去心領(lǐng)域去心領(lǐng)域U x0 內(nèi)內(nèi) x a 但是但是 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)f x 當當x x0時的極限也存在時的極限也存在 且且 Aufax auxx lim lim 0 Aufxf auxx lim lim 0 0 0 0 min 0 2 120 auax axaxxx axxUx 即 有 取設(shè) 即 有 取設(shè) Aufau Auf au 0 0 0 lim 恒有 已知證 恒有 已知證 ax xx lim 0 又又 0 0 1 對上面的對上面的 axxx 0 10 恒有恒有 lim 0 證畢由極限定義得 有 證畢由極限定義得 有 Axf AufAxf xx 1 極限的四則運算法則及其推論極限的四則運算法則及其推論 2 極限求法極限求法 a 多項式與分式函數(shù)代入法求極限多項式與分式函數(shù)代入法求極限 b 消去零因子法求極限消去零因子法求極限 c 無窮小因子分出法求極限無窮小因子分出法求極限 d 利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限 e 利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限 三 小結(jié)三 小結(jié) 思考題思考題 在某個過程中 若有極限 無極限 那么是否有極限 為