【全程復(fù)習(xí)方略】高中數(shù)學(xué) 3.1.4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示課時(shí)作業(yè) 新人教A版選修21 (1).doc

空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示(30分鐘50分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.已知a,b,c是空間的一個(gè)基底,則可以與向量p=a+b,q=a-b構(gòu)成基底的向量是()a.ab.bc.a+2bd.a+2c【解析】選d.能與p,q構(gòu)成基底,則與p,q不共面.因?yàn)閍=p+q2,b=p-q2,a+2b=32p-12q,所以a,b,c都不合題意.因?yàn)閍,b,c為基底,所以a+2c與p,q不共面,可構(gòu)成基底.2.(2014濟(jì)寧高二檢測(cè))設(shè)o-abc是四面體,g1是abc的重心,g是og1上的一點(diǎn),且og=3gg1.若og=xoa+yob+zoc,則(x,y,z)為()a.14,14,14b.34,34,34c.13,13,13d.23,23,23【解析】選a.因?yàn)閛g=34og1=34(oa+ag1)=34oa+342312(ab+ac)=34oa+14(ob-oa)+(oc-oa)=14oa+14ob+14oc,而og=xoa+yob+zoc,所以x=14,y=14,z=14.3.(2014成都高二檢測(cè))若向量ma,mb,mc的起點(diǎn)m和終點(diǎn)a,b,c互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線,則能使向量ma,mb,mc成為空間一個(gè)基底的關(guān)系是()a.om=13oa+13ob+13ocb.ma=mb+mcc.om=oa+ob+ocd.ma=2mb-mc【解析】選c.對(duì)于選項(xiàng)a,由結(jié)論om=xoa+yob+zoc(x+y+z=1)m,a,b,c四點(diǎn)共面知,ma,mb,mc共面;對(duì)于b,d選項(xiàng),易知ma,mb,mc共面,故只有選項(xiàng)c中ma,mb,mc不共面.4.(2014蘭州高二檢測(cè))已知點(diǎn)a在基底a,b,c下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,則點(diǎn)a在基底i,j,k下的坐標(biāo)為()a.(12,14,10)b.(10,12,14)c.(14,10,12)d.(4,2,3)【解析】選a.8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,所以點(diǎn)a在基底i,j,k下的坐標(biāo)為(12,14,10).5.(2014西安高二檢測(cè))已知空間四邊形oabc,m,n分別是oa,bc的中點(diǎn),且oa=a,ob=b,oc=c,用a,b,c表示向量mn為()a.12a+12b+12cb.12a-12b+12cc.-12a+12b+12cd.-12a+12b-12c【解析】選c.如圖所示,連接on,an,則on=12(ob+oc)=12(b+c),an=12(ac+ab)=12(oc-2oa+ob)=12(-2a+b+c)=-a+12b+12c,所以mn=12(on+an)=-12a+12b+12c.【變式訓(xùn)練】如圖所示,空間四邊形oabc中,g是abc的重心,d為bc的中點(diǎn),h為od的中點(diǎn).設(shè)oa=a,ob=b,oc=c,試用向量a,b,c表示向量gh.【解析】gh=oh-og.因?yàn)閛h=12od=12(ob+oc)=12(b+c),og=oa+ag=oa+23ad=oa+23(od-oa)=13oa+2312(ob+oc)=13a+13(b+c),所以gh=12(b+c)-13a-13(b+c)=-13a+16b+16c,即gh=-13a+16b+16c.6.已知e1,e2,e3為空間的一個(gè)基底,若a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3, d=e1+2e2+3e3,d=a+b+c,則,分別為()a.52,-1,-12b.1,2,3c.1,1,1d.1,-1,1【解析】選a.因?yàn)閐=(e1+e2+e3)+(e1+e2-e3)+(e1-e2+e3)=(+)e1+(+-)e2+(-+)e3=e1+2e2+3e3,所以+=1,+-=2,-+=3,解得=52,=-1,=-12.【拓展延伸】用基底表示向量的三個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)若a,b,c不共面,則對(duì)空間任一向量p=xa+yb+zc,(x,y,z)是惟一的.(2)用基底表示向量,可從要表示的向量入手,運(yùn)用向量線性運(yùn)算的法則,結(jié)合圖形逐步向基向量轉(zhuǎn)化.(3)求a在單位正交基底下的坐標(biāo),關(guān)鍵先依據(jù)條件結(jié)合圖形建立空間直角坐標(biāo)系,將a表示為a=xe1+ye2+ze3.二、填空題(每小題4分,共12分)7.(2014南昌高二檢測(cè))設(shè)i,j,k是空間向量的一個(gè)單位正交基底,a=2i-4j+5k,b=i+2j-3k,則向量a,b的坐標(biāo)分別是.【解析】a的坐標(biāo)為(2,-4,5),b的坐標(biāo)為(1,2,-3).答案:(2,-4,5),(1,2,-3)8.如圖,在正方體abcd-a1b1c1d1中,用ac,ab1,ad1作為基向量,則ac1=.【解析】2ac1=2aa1+2ad+2ab=(aa1+ad)+(aa1+ab)+(ad+ab)=ad1+ab1+ac,所以ac1=12(ad1+ab1+ac).答案:12(ad1+ab1+ac)9.(2014長(zhǎng)春高二檢測(cè))如圖所示,直三棱柱abc-a1b1c1中,abac,d,e分別為aa1,b1c的中點(diǎn),若記ab=a,ac=b,aa1=c,則de=(用a,b,c表示).【解析】de=da1+a1e=12aa1+12(a1b1+a1c)=12aa1+12(ab+ac-aa1)=12c+12(a+b-c)=12a+12b.答案:12a+12b【一題多解】在三角形b1dc中,因?yàn)閑為b1c的中點(diǎn),利用平行四邊形法則有de=12(db1+dc),db1=da1+a1b1=12aa1+a1b1=12aa1+ab=12c+a,dc=da+ac=12a1a+ac=-12c+b.所以三、解答題(每小題10分,共20分)10.(2014安慶高二檢測(cè))如圖,在棱長(zhǎng)為2的正方體abcd-a1b1c1d1中,以底面正方形abcd的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)o,分別以射線ob,oc,aa1的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.試寫(xiě)出正方體頂點(diǎn)a1,b1,c1,d1的坐標(biāo).【解析】設(shè)i,j,k分別是與x軸、y軸、z軸的正方向方向相同的單位坐標(biāo)向量.因?yàn)榈酌嬲叫蔚闹行臑閛,邊長(zhǎng)為2,所以ob=2.由于點(diǎn)b在x軸的正半軸上,所以ob=2i,即點(diǎn)b的坐標(biāo)為(2,0,0).同理可得c(0,2,0),d(-2,0,0),a(0,-2,0).又ob1=ob+bb1=2i+2k,所以ob1=(2,0,2).即點(diǎn)b1的坐標(biāo)為(2,0,2).同理可得c1(0,2,2),d1(-2,0,2),a1(0,-2,2).11.如圖所示,在平行六面體abcd-abcd中,ab=a,ad=b,aa=c,p是ca的中點(diǎn),m是cd的中點(diǎn),n是cd的中點(diǎn),點(diǎn)q在ca上,且cqqa=41,用基底a,b,c表示以下向量:(1)ap.(2)am.(3)an.(4)aq.【解題指南】利用空間圖形中的平面圖形如三角形、平行四邊形建立目標(biāo)向量與已知向量間的關(guān)系.【解析】連接ac,ad.(1)ap=12(ac+aa)=12(ab+ad+aa)=12(a+b+c).(2)am=12(ac+ad)=12(ab+2ad+aa)=12(a+2b+c).(3)an=12(ac+ad)=12(ab+ad+aa)+(ad+aa)=12(ab+2ad+2aa)=12a+b+c.(4)aq=ac+cq=ac+45(aa-ac)=15ac+45aa=15ab+15ad+45aa=15a+15b+45c.【變式訓(xùn)練】(2014牡丹江高二檢測(cè))如圖,已知正方體abcd-abcd,點(diǎn)e是上底面abcd的中心,分別取向量ab,ad,aa為基向量,若(1)bd=xad+yab+zaa,試確定x,y,z的值.(2)ae=xad+yab+zaa,試確定x,y,z的值.【解析】(1)因?yàn)閎d=bd+dd=ba+ad+dd=-ab+ad+aa,又bd=xad+yab+zaa,所以x=1,y=-1,z=1.(2)因?yàn)閍e=aa+ae=aa+12ac=aa+12(ab+ad)=aa+12ab+12ad=12ad+12ab+aa,又ae=xad+yab+zaa,所以x=12,y=12,z=1.(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分,共16分)1.(2014南寧高二檢測(cè))有以下命題:如果向量a,b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底,那么a,b的關(guān)系是不共線;o,a,b,c為空間四點(diǎn),且向量oa,ob,oc不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,則點(diǎn)o,a,b,c一定共面;已知向量a,b,c是空間的一個(gè)基底,則向量a+b,a-b,c也是空間的一個(gè)基底.其中正確的命題是()a.b.c.d.【解析】選c.如果向量a,b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底,那么a,b的關(guān)系是共線的;如果a,b有一個(gè)向量為零向量,共線但不能構(gòu)成空間向量的一組基底,所以不正確.o,a,b,c為空間四點(diǎn),且向量oa,ob,oc不構(gòu)成空間的一個(gè)基底,那么點(diǎn)o,a,b,c一定共面,這是正確的.已知向量a,b,c是空間的一個(gè)基底,則向量a+b,a-b,c也是空間的一個(gè)基底;因?yàn)槿齻€(gè)向量非零且不共線,正確.故選c.2.(2014廣州高二檢測(cè))在三棱錐s-abc中,g為abc的重心,則有()a.sg=12(sa+sb+sc)b.sg=13(sa+sb+sc)c.sg=14(sa+sb+sc)d.sg=sa+sb+sc【解析】選b.sg=sa+ag=sa+13(ab+ac)=sa+13(sb-sa)+13(sc-sa) =13(sa+sb+sc).3.如圖,在三棱柱abc-a1b1c1中,m為a1c1的中點(diǎn),若ab=a,aa1=c,bc=b,則下列向量與bm相等的是()a.-12a+12b+cb.12a+12b+cc.-12a-12b+cd.12a-12b+c【解析】選a.bm=bb1+b1m=aa1+12(b1a1+b1c1)=aa1+12(ba+bc)=12(-a+b)+c=-12a+12b+c.4.(2014泰安高二檢測(cè))已知向量a,b,c是空間的一基底,向量a+b,a-b,c是空間的另一基底,一向量p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為(1,2,3),則向量p在基底a+b,a-b,c下的坐標(biāo)為()a.12,32,3b.32,-12,3c.3,-12,32d.-12,32,3【解析】選b.設(shè)p在基底a+b,a-b,c下的坐標(biāo)為(x,y,z),則p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以x+y=1,x-y=2,z=3,解得x=32,y=-12,z=3,故p在基底a+b,a-b,c下的坐標(biāo)為32,-12,3.【舉一反三】若把題目中的“基底a,b,c”與“基底a+b,a-b,c”互換,結(jié)果如何?【解析】設(shè)p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為(x,y,z),由向量p在基底a+b,a-b,c下的坐標(biāo)為(1,2,3),得p=(a+b)+2(a-b)+3c=3a-b+3c=xa+yb+zc,所以x=3,y=-1,z=3,故p在基底a,b,c下的坐標(biāo)為(3,-1,3).二、填空題(每小題5分,共10分)5.(2014福州高二檢測(cè))在平行六面體abcd-a1b1c1d1中,若ac1=xab+2ybc+3zc1c,則x+y+z=.【解析】如圖所示,有ac1=ab+bc+cc1=ab+bc+(-1)c1c.又因?yàn)閍c1=xab+2ybc+3zc1c,所以x=1,2y=1,3z=-1,解得x=1,y=12,z=-13.所以x+y+z=1+12-13=76.答案:766.設(shè)a,b,c是三個(gè)不共面的向量,現(xiàn)從a+b;a-b;a+c;b+c;a+b-c中選出一個(gè),使其與a,b構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底,則可以選擇的向量有 .【解題指南】判斷a,b,c可否作為空間的一個(gè)基底,即判斷a,b,c是否共面,若不共面則可以作為基底,否則不能作為基底,實(shí)際判斷時(shí),假設(shè)a=b+c,運(yùn)用空間向量基本定理建立,的方程組,若有解則共面,否則不共面.【解析】a+b,a-b均與a,b共面.事實(shí)上以a,b為鄰邊作平行四邊形oacb,令oa=a,ob=b,oc=a+b,ba=a-b,而共面向量不可以作為空間向量的基底.答案:三、解答題(每小題12分,共24分)7.已知正方體abcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)e,f分別在線段a1d,ac上,且efa1d,efac,以點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn),da,dc,dd1分別作為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖所示).(1)試求向量ef的坐標(biāo).(2)求證:efbd1.【解題指南】確定此空間向量的單位正交基底,并用單位正交基底表示向量ef,bd1,從而使問(wèn)題得解.【解析】(1)因?yàn)檎襟wabcd-a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1,根據(jù)題意知da,dc,dd1為單位正交基底,設(shè)da=i,dc=j,dd1=k,所以向量ef可用單位正交基底i,j,k表示,因?yàn)閑f=ed+dc+cf,ed與da1共線,cf與ca共線,所以設(shè)ed=da1,cf=ca,則ef=da1+dc+ca=(da+dd1)+dc+(da-dc)=(+)da+(1-)dc+dd1=(+)i+(1-)j+k,因?yàn)閑fa1d,efac,即efa1d,efac,所以efa1d=0,efac=0,又a1d=-i-k,ac=-i+j,所以,整理得-(+)-=0,-(+)+(1-)=0,即2+=0,+2=1,解得=-13,=23,所以ef=13i+13j-13k所以ef的坐標(biāo)是(13,13,-13).(2)因?yàn)閎d1=bd+dd1=-i-j+k,所以ef=-13bd1,即ef與bd1共線,又ef與bd1無(wú)公共點(diǎn),所以efbd1.8.(20