【志鴻全優(yōu)設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué) 第二章2.4.2 拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)講解與例題 新人教A版選修21.doc

2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問(wèn)題導(dǎo)學(xué)一、拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用活動(dòng)與探究1已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)f在x軸正半軸上若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)p到a，f兩點(diǎn)距離之和的最小值為4，且a為拋物線內(nèi)一點(diǎn)，求拋物線方程遷移與應(yīng)用1拋物線y22px(p0)上一點(diǎn)m的縱坐標(biāo)為4，該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為6，則拋物線方程為_(kāi)2已知圓x2y26x70與拋物線y22px(p0)的準(zhǔn)線相切，則p_注意拋物線各元素間的關(guān)系：拋物線的焦點(diǎn)始終在對(duì)稱軸上，拋物線的頂點(diǎn)就是拋物線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線始終與對(duì)稱軸垂直，拋物線的準(zhǔn)線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)和焦點(diǎn)關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對(duì)稱二、拋物線的焦點(diǎn)弦活動(dòng)與探究2已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y26x的焦點(diǎn)f，且與拋物線相交于a，b兩點(diǎn)(1)若直線l的傾斜角為60，求|ab|的值；(2)若|ab|9，求線段ab的中點(diǎn)m到準(zhǔn)線的距離遷移與應(yīng)用1過(guò)拋物線y22px的焦點(diǎn)f的直線與拋物線交于a，b兩點(diǎn)，若a，b在準(zhǔn)線上的射影為a1，b1，則a1fb1等于()a45 b90 c60 d1202過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)f作一條直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，求的值已知過(guò)拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，則弦ab稱為焦點(diǎn)弦設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有下列性質(zhì)：|ab|x1x2p或|ab|(為ab的傾斜角)，y1y2p2，x1x2等三、直線與拋物線的位置關(guān)系活動(dòng)與探究3已知拋物線y26x的弦ab經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(4,2)，且oaob(o為坐標(biāo)原點(diǎn))，求弦ab的長(zhǎng)遷移與應(yīng)用1直線ykx2與拋物線y28x交于a，b兩點(diǎn)，且ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k的值為()a1 b2 c2或1 d42過(guò)點(diǎn)q(4,1)作拋物線y28x的弦ab，若ab恰被q平分，求ab所在的直線方程1直線與拋物線位置關(guān)系的判定：直線方程與拋物線方程聯(lián)立得方程ax2bxc0，當(dāng)a0時(shí)，直線是拋物線的對(duì)稱軸或是和對(duì)稱軸平行的直線，此時(shí)直線與拋物線相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)，兩者位置關(guān)系的判定和橢圓、雙曲線相同，用判別式法即可，即相交：兩個(gè)不同交點(diǎn)a0且0；相切a0且0；相離a0且02凡涉及拋物線的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)問(wèn)題，要注意“點(diǎn)差法”的運(yùn)用，體現(xiàn)“設(shè)而不求”的優(yōu)越性答案：課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)【預(yù)習(xí)導(dǎo)引】1xyx0y0x軸y軸(0,0)預(yù)習(xí)交流1提示：拋物線與雙曲線的一支不相同雙曲線的一支有漸近線，離心率e1；拋物線沒(méi)有漸近線，它的離心率是唯一的，e12x0x1x2p2p預(yù)習(xí)交流2提示：拋物線方程化為y2x，2p，故其通徑長(zhǎng)為預(yù)習(xí)交流3提示：不正確，若直線與拋物線相切，則它們只有一個(gè)公共點(diǎn)，但當(dāng)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線不一定與拋物線相切，還可能是相交，這時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合這一點(diǎn)與圓、橢圓是不同的，要注意區(qū)別課堂合作探究【問(wèn)題導(dǎo)學(xué)】活動(dòng)與探究1思路分析：先根據(jù)題目條件設(shè)出拋物線方程，再結(jié)合圖形，探討拋物線上的動(dòng)點(diǎn)p滿足到a，f兩點(diǎn)距離之和取最小值時(shí)的條件，進(jìn)而列出等量關(guān)系解：設(shè)所求的拋物線方程為y22px(p0)，其焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線l：x如圖所示，若a點(diǎn)在“拋物線所包含的區(qū)域之內(nèi)”，過(guò)點(diǎn)p作準(zhǔn)線的垂線，垂足為h，由拋物線定義可知|pf|ph|當(dāng)h，p，a在同一條直線上時(shí)，|pa|pf|取最小值|ah|24，解得p4，故所求的拋物線方程為y28x遷移與應(yīng)用1y216x或y28x解析：由于拋物線的準(zhǔn)線方程是x，而點(diǎn)m到準(zhǔn)線的距離為6，所以m點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，于是m，代入方程得322p，解得p8或p4，故方程為y216x或y28x22解析：圓x2y26x70的圓心為(3,0)，半徑為4，拋物線y22px的準(zhǔn)線為x由4，得p2或14(舍)活動(dòng)與探究2思路分析：(1)由傾斜角可知斜率，從而得到l的方程，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合拋物線定義可求得|ab|的值；(2)由|ab|9求得弦ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求得m到準(zhǔn)線的距離解：(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60，所以其斜率ktan 60又f，所以直線l的方程為y聯(lián)立消去y得x25x0設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x25，而|ab|af|bf|x1x2x1x2p，所以|ab|538(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由拋物線定義知|ab|af|bf|x1x2px1x23，所以x1x26，于是線段ab的中點(diǎn)m的橫坐標(biāo)是3又準(zhǔn)線方程是x，所以m到準(zhǔn)線的距離為3遷移與應(yīng)用1b解析：如圖，由拋物線定義知|aa1|af|，|bb1|bf|，所以aa1fafa1又aa1fa1fo，所以afa1a1fo同理bfb1b1fo于是afa1bfb1a1fob1foa1fb1故a1fb1902解：已知拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)對(duì)于直線ab，分兩種情況考慮：(1)若直線ab的傾斜角為90，則有|af|bf|p，所以；(2)若直線ab的傾斜角不等于90，設(shè)直線ab的方程為，與拋物線方程聯(lián)立并消去y，整理得k2x2(k22)px0，由韋達(dá)定理得，x1x2，x1x2另一方面，由拋物線定義得|af|x1，|bf|x2于是活動(dòng)與探究3思路分析：要求弦ab的長(zhǎng)，只需求出a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)為此，設(shè)出a，b兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用oaob以及a，b，p三點(diǎn)共線的條件求解解：a，b兩點(diǎn)在拋物線y26x上，可設(shè)a，boaob，0由，得y1y20y1y20，y1y236點(diǎn)a，b與點(diǎn)p(4,2)在一條直線上，化簡(jiǎn)得，即y1y22(y1y2)24將代入，得y1y26由和，得y133，y233，從而點(diǎn)a的坐標(biāo)為(93，33)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為(93，33)|ab|6遷移與應(yīng)用1b解析：直線ykx2與拋物線y28x交于兩點(diǎn)，k0由消去y，得k2x24kx8x40，x1x2而ab中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，4，解得k1或k2而當(dāng)k1時(shí)，方程k2x24kx8x40只有一個(gè)解，即a，b兩點(diǎn)重合，k12解：方法1：顯然ab不垂直于x軸，故可設(shè)弦ab所在的直線方程為y1k(x4)，聯(lián)立方程組消去x，整理得ky28y32k80此方程的兩根是弦ab的端點(diǎn)a，b的縱坐標(biāo)，由韋達(dá)定理得y1y2又q點(diǎn)是弦ab的中點(diǎn)，y1y22k4故弦ab所在的直線方程為y14(x4)，即4xy150方法2：設(shè)弦ab的端點(diǎn)a，b的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)則有，兩式相減得(y1y2)(y1y2)8(x1x2)由于q點(diǎn)是弦ab的中點(diǎn)，y1y22，于是4，即直線ab的斜率k4，故弦ab所在的直線方程為y14(x4)，即4xy150當(dāng)堂檢測(cè)1設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線為l，p為拋物線上一點(diǎn)，pal，a為垂足，如果直線af的斜率為，那么|pf|()a b8c d16答案：b解析：如圖，直線af的方程為，與準(zhǔn)線方程x2聯(lián)立得a(2，)設(shè)p(x0，)，代入拋物線y28x，得8x048，x06|pf|x0282直線ykx2與拋物線y28x只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的值為()a1 b1或3c0 d0或1答案：d解析：聯(lián)立得(kx2)28x0整理得k2x2(4k8)x40當(dāng)k0時(shí)，方程變?yōu)?x40，只有一解，這時(shí)直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k0時(shí)，由0得(4k8)216k20，解得k1綜上，k0或13過(guò)拋物線x22py(p0)的焦點(diǎn)作斜率為1的直線與該拋物線交于a，b兩點(diǎn)，a，b在x軸上的正射影分別為d，c若梯形abcd的面積為，則p_答案：2解析：如圖，拋物線焦點(diǎn)為，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線ab：yx，即yx聯(lián)立x22py，得消去y得x22pxp20，x1(1)p，x2(1)p|ad|bc|y1y2x1x22pp3p，|cd|x1x2|由s梯形abcd(|ad|bc|)|cd|，解得p24，p2p0，p24已知p，q為拋物線x22y上兩點(diǎn)，點(diǎn)p，q的橫坐標(biāo)分別為4，2，過(guò)p，q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)a，則點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為_(kāi)答案：4解析：由已知可設(shè)p(4，y1)，q(2，y2)，點(diǎn)p，q在拋物線x22y上，p(4,8)，q(2,2)又拋物線可化為，yx，過(guò)點(diǎn)p的切線斜率為過(guò)點(diǎn)p的切線為y84(x4)，即y4x8又過(guò)點(diǎn)q的切線斜率為，過(guò)點(diǎn)q的切線為y22(x2)，即y2x2聯(lián)立得x1，y4，點(diǎn)a的縱坐標(biāo)為45已知拋物線c：y22px(p0)過(guò)點(diǎn)a(1，2)(1)求拋物線c的方程，并求其準(zhǔn)線方程；答案：解：將(1，2)代入y22px，得(2)22p1，p2故所求的拋物線c的方程為y24x，其準(zhǔn)線方程為x1(2)是否存在平行于oa(o為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l，使得直線l與