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拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 一、 教學(xué)內(nèi)容分析 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）第八章圓錐曲線第三節(jié)第一課時(shí)內(nèi)容。本節(jié)在教材中的地位和作用：在初中階段，拋物線為學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)提供直觀的圖象感覺；在高中階段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有著重要的作用。但學(xué)生并不清楚這種曲線的本質(zhì)，隨著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的逐漸完備，尤其是學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的第二定義之后，已具備了探討這個(gè)問題的能力。從本章來講，這一節(jié)放在橢圓和雙曲線之后，一方面是三種圓錐曲線統(tǒng)一定義的需要，拋物線是離心率的特例；另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次強(qiáng)化。本節(jié)對(duì)拋物線定義的研究，與初中階段二次函數(shù)的圖象遙相呼應(yīng)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧之美。教材的這種安排，是為了分散難點(diǎn)，符合認(rèn)知的漸進(jìn)性原則。 二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析 我校是達(dá)州市市級(jí)示范學(xué)校，有優(yōu)越的多媒體設(shè)備，我班學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一般，但他們有強(qiáng)烈的求知欲，具備一定的分析、觀察等能力。在此之前，學(xué)生已經(jīng)熟練掌握二次函數(shù)圖象、橢圓、雙曲線的第二定義與求軌跡方程等內(nèi)容，迫切想了解拋物線的本質(zhì)特征。但是在動(dòng)手操作與合作學(xué)習(xí)等方面，發(fā)展不均衡，有待加強(qiáng)。 三、設(shè)計(jì)思想 為了培養(yǎng)不僅能“學(xué)會(huì)”知識(shí)，而且能“會(huì)學(xué)”知識(shí)的人才以及根據(jù)我校提出的“創(chuàng)設(shè)情景、激發(fā)情感、主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、主動(dòng)發(fā)展”的教學(xué)模式，在課堂設(shè)計(jì)上，教師應(yīng)學(xué)會(huì)如何創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；圍繞教材的重難點(diǎn)，比如本節(jié)的“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)”和“拋物線概念的形成”，教師應(yīng)學(xué)會(huì)如何設(shè)計(jì)不同的活動(dòng)環(huán)節(jié)，設(shè)置由淺入深、環(huán)環(huán)相扣的問題，通過教師適時(shí)的引導(dǎo)，通過生生間、師生間的交流互動(dòng)，通過學(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)、分析、探究、反思，使學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，不斷完善自己的知識(shí)體系，提高獲取知識(shí)的能力，嘗試合作學(xué)習(xí)的快樂，體驗(yàn)成功的喜悅。四、教學(xué)目標(biāo) 1理解拋物線的定義，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中 的幾何意義，能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程問題。 2、通過對(duì)拋物線和橢圓、雙曲線離心率的比較，體會(huì)三種圓錐曲線內(nèi)在的區(qū)別和聯(lián)系。 3、熟練掌握求曲線方程的基本方法，通過四種不同形式標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)比，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納的能力。 4營(yíng)造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學(xué)。引導(dǎo)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)問題、探索問題、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)捷美、和諧美。培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)，體會(huì)成功帶來的喜悅。發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。 五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn): 拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。通過學(xué)生自主建立直角坐標(biāo)系和對(duì)方程的討論選擇突出重點(diǎn)。 教學(xué)難點(diǎn)：拋物線概念的形成。通過條件的畫法設(shè)計(jì)，標(biāo)準(zhǔn)方程與二次函數(shù)的比較突破難點(diǎn)。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)一設(shè)置情景，導(dǎo)入新課（借助多媒體）先給出一張姚明的圖片。（此時(shí)學(xué)生的興趣來啦?。煟阂γ魇俏覀冎袊?guó)人的驕傲，我們要向他學(xué)習(xí)！大家都知道姚明的投籃非常精準(zhǔn)！為什么呢？生：天賦、身高！生：勤奮練習(xí)?。ㄔ俳o出兩張姚明的圖片）生：與投籃時(shí)的弧線有關(guān)！生：這弧線是拋物線！師：對(duì)！姚明有許多優(yōu)越的先天條件，同時(shí)好的技術(shù)也是一個(gè)關(guān)鍵的因素，今天我們就著手研究這個(gè)內(nèi)容。（進(jìn)而引出本節(jié)研究的課題：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程）【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生被教師設(shè)置的情景所吸引，學(xué)習(xí)的熱情高漲?！驹O(shè)計(jì)意圖】一個(gè)引人入勝的開頭會(huì)拓寬學(xué)生思路，尊重學(xué)生的生命活動(dòng)，激發(fā)興趣，陶冶情操，大大提高教學(xué)效率。二引導(dǎo)探究，獲得新知師：在初中我們已經(jīng)從函數(shù)角度學(xué)過拋物線，那么，這一節(jié)課我們將沖破初中的界限從曲線和方程的角度來學(xué)習(xí)拋物線。師：前面，我們學(xué)習(xí)了橢圓和雙曲線的相關(guān)知識(shí)，那么它們的聯(lián)系和差異是什么？生：定義不一樣！生：方程！橢圓是，雙曲線是。師：還有嗎？生：橢圓是封閉的，雙曲線是開放的。師：這只是圖象不同，為什么會(huì)這樣呢？生：第二定義！就是它們到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比等于一個(gè)常數(shù)！生：這個(gè)常數(shù)是離心率！師：對(duì)??！這是定性上的，定量上有不同嗎？生：離心率不同，橢圓離心率的范圍是，雙曲線離心率的范圍是。師：對(duì)了，可看成是它們的相同點(diǎn)，又是不同點(diǎn)?。ù蜷_幾何畫板）師：現(xiàn)在我慢慢拖動(dòng)，大家認(rèn)真觀察圖象。生：是橢圓，是雙曲線。師：但你們有沒觀察到時(shí)的圖象？生：拋物線！【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生認(rèn)真觀察圖象的變化，認(rèn)知的圖象就是拋物線?！驹O(shè)計(jì)意圖】不僅回顧了橢圓與雙曲線的相關(guān)內(nèi)容，而且為如何畫拋物線奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。師：這拋物線是怎么畫出來的?。。ㄕn堂頓時(shí)一片寂靜）師：那這條拋物線與什么有關(guān)？眾生：！師：是什么意思？生：到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離！師：回答得很好！那你們能據(jù)此設(shè)計(jì)一種方案，畫出這樣的點(diǎn)嗎？（一段時(shí)間后，讓學(xué)生匯報(bào)自己的設(shè)計(jì)方案，并用實(shí)物投影儀展示學(xué)生所畫的圖形，師生共同就方案的可行性進(jìn)行論證。）（在直線上找特殊點(diǎn)） （在第一象限找特殊點(diǎn)） （在第一象限找所有點(diǎn)）【活動(dòng)設(shè)計(jì)】前后學(xué)生組成四人小組，探討畫圖方案。【教師活動(dòng)】教師以平等的身份介入學(xué)生的討論中，并且關(guān)注：1.學(xué)生在知識(shí)認(rèn)知與情感發(fā)展方面的疑惑，及時(shí)引導(dǎo)鼓勵(lì)；2.關(guān)注每個(gè)人的活動(dòng)情況，做到全員參與，從同學(xué)們的探究中，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的不同程度，思考的不同方向，對(duì)有代表性的方案注意收集；3.了解學(xué)生探究的進(jìn)展，把握課堂節(jié)奏。【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生可能找到個(gè)別點(diǎn)，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生設(shè)計(jì)好如上圖中的方案?！驹O(shè)計(jì)意圖】著重培養(yǎng)學(xué)生合情推理與邏輯思維能力，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)生的自信心。師：同學(xué)們的設(shè)計(jì)讓我們看到了這條曲線上的一個(gè)點(diǎn)，那么怎么畫滿足的圖象呢？（課堂又一片寂靜）（出示預(yù)先準(zhǔn)備的圓錐曲線教具）師：現(xiàn)在我介紹這個(gè)教具的用法，將直尺與定直線重合，豎直固定在黑板上，再將磁鐵固定在定點(diǎn)上，拉緊白線，就可以畫出來了。誰上來試試？（兩位學(xué)生積極上臺(tái)板演）師：這兩位同學(xué)表現(xiàn)非常好！這就是我們見過的拋物線！【活動(dòng)設(shè)計(jì)】?jī)晌粚W(xué)生上臺(tái)演示教具畫拋物線的過程。【學(xué)情預(yù)設(shè)】教師應(yīng)先介紹教具的使用方法，然后學(xué)生嘗試。在嘗試的過程中，學(xué)生可能會(huì)遇到困難，教師應(yīng)給予指導(dǎo)?！驹O(shè)計(jì)意圖】體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)踐在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的地位和作用，同時(shí)教師應(yīng)多鼓勵(lì)學(xué)生，多引導(dǎo)學(xué)生間進(jìn)行合作交流，培養(yǎng)合作學(xué)習(xí)的意識(shí)，體驗(yàn)成功帶來的喜悅。師：接下來我也來演示下拋物線的形成過程。（打開幾何畫板軟件）師：認(rèn)真觀察點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，你們有什么發(fā)現(xiàn)？（利用幾何畫板軟件同步動(dòng)態(tài)演示）生：和等于，所以點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終等于。師：這位同學(xué)觀察很敏銳，直接抓住關(guān)鍵地方！師：那這樣畫出來的圖象也是？眾生：拋物線！師：很好！【活動(dòng)設(shè)計(jì)】利用幾何畫板軟件演示拋物線的形成過程?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生驚訝！計(jì)算機(jī)軟件居然能演示拋物線形成的過程，學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣再次調(diào)動(dòng)起來！【設(shè)計(jì)意圖】強(qiáng)調(diào)“在操作中促進(jìn)學(xué)習(xí)”，體現(xiàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，同時(shí)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)知識(shí)的興趣。至此本節(jié)的難點(diǎn)得以突破。師：以前我們是用描點(diǎn)法畫出拋物線，那今天我們?cè)趺串?？眾生：教具，電腦師：現(xiàn)在變換教具的位置，那么畫出的圖象還是拋物線嗎？眾生：是。師：這說明了什么？生：畫拋物線與位置無關(guān)。師：所以今天我們就巧妙地利用幾何知識(shí)和計(jì)算機(jī)等方式畫出了整個(gè)圖象。師：現(xiàn)在你們就可以歸納一下拋物線的定義了！ 生：到點(diǎn)的距離和到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。師：這樣歸納完整嗎？生:應(yīng)該說，平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)和到一條定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。生：還要注意定點(diǎn)不能在定直線上。師：為什么??？師：如果這樣，就只能找到一個(gè)點(diǎn)。師：說得很好！這里叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生間合作交流，完成對(duì)拋物線定義的歸納。【設(shè)計(jì)意圖】著重培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納等能力。三深入探索，推導(dǎo)方程師：接下來你們?cè)囋囃茖?dǎo)拋物線的方程？（簡(jiǎn)單回顧求曲線方程的方法）。一段時(shí)間后，實(shí)物投影儀展示學(xué)生探討的結(jié)果。（分組討論，集中探索）1.以為原點(diǎn)，定直線所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)得方程為： 2.以為原點(diǎn)，過且垂直于定直線的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)得方程：3.以垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)得方程：師：哪個(gè)好呢？ 生：方案3所得的方程更簡(jiǎn)潔！師：我們就把它叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意這里標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)范是頂點(diǎn)在原點(diǎn)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱。【活動(dòng)設(shè)計(jì)】以原來的四人小組為單位，討論建立直角坐標(biāo)系的方案，一段時(shí)間后，各組交流，對(duì)可行的方案進(jìn)行驗(yàn)證?！緦W(xué)情預(yù)設(shè)】可能出現(xiàn)的情況如上。若只出現(xiàn)第一種和第二種方案，教師要適時(shí)引導(dǎo)出現(xiàn)第三種方案；若直接出現(xiàn)第三種方案，教師就引導(dǎo)學(xué)生歸納拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過有啟發(fā)性的活動(dòng)設(shè)計(jì)和層層深入的問題設(shè)置，使學(xué)生在分析、探究、反思和歸納中，不斷獲得解決問題的方法。師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們?cè)龃簏c(diǎn)到直尺的距離，重復(fù)剛才的實(shí)驗(yàn)，比較一下，拋物線有什么變化？再縮小這個(gè)距離試一試。生：點(diǎn)到直尺的距離發(fā)生變化，拋物線開口也發(fā)生變化。師：觀察很準(zhǔn)確！這說明了什么？生：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是拋物線的一個(gè)重要的幾何特征。師：說得非常好！師：接下來看課本的一條拋物線，試將你們的課本逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)再觀察，會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？生：軸和軸對(duì)調(diào)了。生：還有開口向上了！師：同學(xué)觀察得很仔細(xì)！那么你們能推出它的方程嗎？生：將中的和對(duì)調(diào)就行了，就是！師：大家在等式兩邊同除看看！生：，哦，是二次函數(shù)形式！師：對(duì)了！這就是我們熟悉的二次函數(shù)了！師：那再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，怎么求？生：和圖象關(guān)于軸對(duì)稱，將替換就行，就是！師：再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)呢？眾生：和圖象關(guān)于軸對(duì)稱，將替換就行，就是！（打開計(jì)算機(jī)里的表格，學(xué)生迅速完成表格內(nèi)容！）標(biāo)準(zhǔn)方程圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程師：你們完成的過程有沒什么發(fā)現(xiàn)？生：從的形式上，方程的一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)的位置。生：還有一次項(xiàng)系數(shù)符號(hào)決定開口方向，而且可以迅速算出焦點(diǎn)坐標(biāo)為和準(zhǔn)線方程為。師：還有嗎？生：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程不同的是：確定拋物線只要一個(gè)自由量，而確定橢圓和雙曲線則需要兩個(gè)自由量。師：觀察很敏銳，分析很透徹，很好！【學(xué)情預(yù)設(shè)】通過老師的層層引導(dǎo)，學(xué)生自主完成計(jì)算機(jī)中的表格的內(nèi)容，認(rèn)清拋物線和二次函數(shù)圖象的聯(lián)系，認(rèn)清拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的各種形式?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，不斷提升分析、總結(jié)與歸納等能力，也為分析例題和解決實(shí)際應(yīng)用問題奠定理論基礎(chǔ)。四.指導(dǎo)應(yīng)用，鼓勵(lì)創(chuàng)新師：接下來我們運(yùn)用上述所學(xué)到的知識(shí)來解決一些問題，如：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，現(xiàn)在請(qǐng)你們說出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。生：方程是關(guān)于的一次項(xiàng)，系數(shù)是負(fù)的，所以焦點(diǎn)在軸上，開口向左，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），準(zhǔn)線方程是。再看一道：已知拋物線方程是，請(qǐng)說出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。生：焦點(diǎn)坐標(biāo)是。師：是這樣嗎？生：二次項(xiàng)系數(shù)不為1，所以要先化成標(biāo)準(zhǔn)方程！應(yīng)該先變成再求。師：太好了！所以解題時(shí)不要張冠李戴！結(jié)果算出來了嗎？眾生：焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線是?！驹O(shè)計(jì)意圖】鞏固四種方程的形式及曲線特征，熟悉相關(guān)公式。強(qiáng)調(diào)解決拋物線方程問題時(shí)要先轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程。師：現(xiàn)在我們回到姚明的這副圖，有一次姚明投籃時(shí)，測(cè)得投籃的軌跡是拋物線，請(qǐng)看右邊畫的圖形，拋物線最高點(diǎn)離底面距離為，籃框高為，籃框中心離最高點(diǎn)的水平距離為，怎么求投中時(shí)拋物線的方程？（生思考）師：這是一道實(shí)際生活問題！我們?nèi)绾螌⑦@個(gè)問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題呢？生：建立直角坐標(biāo)系！師：那怎么建立??？生：這里應(yīng)該以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立坐標(biāo)系，這樣拋物線就在軸下方，直接設(shè)，又，則，方程就是！師：很好！接著我們還可以算出？生：只要知道姚明的身高，我們還可以算出投籃地方離籃框的水平距離。師：非常好！【學(xué)情預(yù)設(shè)】當(dāng)遇到實(shí)際應(yīng)用題，學(xué)生可能會(huì)感到困惑，但在教師的引導(dǎo)下，利用掌握的相關(guān)知識(shí)解決了實(shí)際生活問題?！驹O(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)一道求投籃軌跡的方程的例題，不僅與開頭遙相呼應(yīng)，而且可以鞏固新知識(shí)，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的價(jià)值，體會(huì)數(shù)學(xué)來自生活，又應(yīng)用于生活，服務(wù)于生活。五小結(jié)概括，深化認(rèn)識(shí)師：今天我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容？ 生：可以巧妙地利用幾何知識(shí)畫出拋物線。生：知道了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)落在對(duì)稱軸上，有四種形式。師：這是知識(shí)方面的。我們還學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？生：轉(zhuǎn)化思想，求解拋物線方程問題時(shí)要特別注意先化成標(biāo)準(zhǔn)方程。師：還有嗎？生：從橢圓和雙曲線中的變化研究到拋物線，實(shí)際是用了類比的方法。生：如果我們做生活的有心人，就會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際是密切相連的。師：很好！今天我們學(xué)習(xí)的內(nèi)容雖然不多，但是從知識(shí)、能力、思想與應(yīng)用等方面都理解和體驗(yàn)了數(shù)學(xué)的奧秘！【學(xué)情預(yù)設(shè)】學(xué)生總結(jié)出在知識(shí)、數(shù)學(xué)思想等方面的收獲?！驹O(shè)計(jì)意圖】擺脫傳統(tǒng)教學(xué)中教師小結(jié)的做法，讓學(xué)生自己總結(jié)，加深對(duì)本節(jié)課內(nèi)容的認(rèn)識(shí)。六布置作業(yè)課本P119 1、2、3、4板書設(shè)計(jì)拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程1拋物線的定義3應(yīng)用與小結(jié)建系方案三建系方案二建系方案一例題練習(xí) 七、教學(xué)反思 本節(jié)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線之后，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中，應(yīng)注意充分調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識(shí)有機(jī)融合，掌握知識(shí)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。時(shí)時(shí)與前兩種曲線進(jìn)行比較，不斷復(fù)習(xí)學(xué)生已經(jīng)理解和掌握了的建系求曲線方程的步驟。為了突破本節(jié)課的難點(diǎn)拋物線概念的形成。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，注重設(shè)計(jì)三個(gè)活動(dòng)：第一個(gè)活動(dòng)讓學(xué)生感受曲線上的一個(gè)點(diǎn)，并培養(yǎng)學(xué)習(xí)的