高中數(shù)學(xué) 情境互動(dòng)課型 第三章 函數(shù)的應(yīng)用 3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型課件 新人教版必修1.ppt

3 2函數(shù)模型及其應(yīng)用3 2 1幾類不同增長的函數(shù)模型 1859年 當(dāng)澳大利亞的一個(gè)農(nóng)夫?yàn)榱舜颢C而從外國弄來幾只兔子后 一場(chǎng)可怕的生態(tài)災(zāi)難爆發(fā)了 兔子是出了名的快速繁殖者 在澳大利亞它沒有天敵 數(shù)量不斷翻番 兔子每年能生產(chǎn)4到6次 一窩6 10只 1950年 澳大利亞的兔子的數(shù)量從最初的五只增加到了五億只 這個(gè)國家絕大部分地區(qū)的莊稼或草地都遭到了極大損失 絕望之中 人們從巴西引入了多發(fā)黏液瘤病 以對(duì)付迅速繁殖的兔子 整個(gè)20世紀(jì)中期 澳大利亞的滅兔行動(dòng)從未停止過 這種現(xiàn)象能否用我們所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)來解釋呢 請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)的學(xué)習(xí) 1 利用函數(shù)圖象及數(shù)據(jù)表格 比較指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的增長差異 重點(diǎn) 2 結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升 指數(shù)爆炸 對(duì)數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型的意義 3 會(huì)分析具體的實(shí)際問題 能夠建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題 難點(diǎn) 4 體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值 例1假設(shè)你有一筆資金用于投資 現(xiàn)在有三種投資方案供你選擇 這三種方案的回報(bào)如下 方案一 每天回報(bào)40元 方案二 第一天回報(bào)10元 以后每天比前一天多回報(bào)10元 方案三 第一天回報(bào)0 4元 以后每天的回報(bào)比前一天翻一番 請(qǐng)問 你會(huì)選擇哪種投資方案 方案三可以用函數(shù)進(jìn)行描述 設(shè)第x天所得回報(bào)是y元 則方案一可以用函數(shù)進(jìn)行描述 思路分析 2 如何建立日回報(bào)效益與天數(shù)的函數(shù)模型 1 依據(jù)什么標(biāo)準(zhǔn)來選取投資方案 日回報(bào)效益 還是累計(jì)回報(bào)效益 方案二可以用函數(shù)進(jìn)行描述 注意x與y的意義 3 三個(gè)函數(shù)模型的增減性如何 4 要對(duì)三種方案作出選擇 就要對(duì)它們的增長情況進(jìn)行分析 如何分析 根據(jù)函數(shù)性質(zhì)判斷 三種方案所得回報(bào)的增長情況如表和圖 2 y 40 20 40 60 80 100 120 o 4 6 8 10 12 y x y 10 x y 0 4 2x 1 函數(shù)圖象是分析問題的好幫手 讀圖和用圖 可以看到 盡管方案一 方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍 但它們的增長量固定不變 而方案三是 指數(shù)增長 其 增長量 是成倍增加的 從第7天開始 方案三比其他兩個(gè)方案增長得快得多 這種增長速度是方案一 方案二所無法企及的 由表和圖可知 方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù) 方案二 方案三的函數(shù)都是增函數(shù) 但二者增長情況很不相同 從每天所得回報(bào)看 在第1 3天 方案一最多 在第4天 方案一和方案二一樣多 方案三最少 在第5 8天 方案二最多 第9天開始 方案三比其他兩個(gè)方案所得回報(bào)多得多 到第30天 所得回報(bào)已超過2億元 下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù) 結(jié)論 投資1 6天 應(yīng)選擇方案一 投資7天 應(yīng)選擇方案一或方案二 投資8 10天 應(yīng)選擇方案二 投資11天 含11天 以上 應(yīng)選擇方案三 天數(shù) 回報(bào) 元 方案 一 二 三 40 1234567891011 80120160200240280320360400440 103060100150210280360450550660 0 41 22 8612 425 250 8102204 4409 2818 8 一家庭 父親 母親和孩子們 去某地旅游 甲旅行社說 如果父親買全票一張 其余人可享受半票優(yōu)惠 乙旅行社說 家庭旅行為集體票 按原價(jià)優(yōu)惠 這兩家旅行社的原價(jià)是一樣的 試就家庭里不同的孩子數(shù) 分別建立表達(dá)式 計(jì)算兩家旅行社的收費(fèi)情況 并討論哪家旅行社更優(yōu)惠 變式練習(xí) 解 設(shè)家庭中孩子數(shù)為x x 1 x n 旅游社收費(fèi)為y 旅游原價(jià)為a 甲旅行社收費(fèi) 乙旅行社收費(fèi) 當(dāng)x 1時(shí) 兩家旅行社收費(fèi)相等 當(dāng)x 1時(shí) 甲旅行社更優(yōu)惠 例2 某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo) 準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案 在銷售利潤達(dá)到10萬元時(shí) 按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì) 且獎(jiǎng)金y 單位 萬元 隨銷售利潤x 單位 萬元 的增加而增加 但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元 同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25 現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪個(gè)模型能符合公司的要求 某個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型符合公司要求 就是依據(jù)這個(gè)模型進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí) 獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元 同時(shí)獎(jiǎng)金不超過利潤的25 由于公司總的利潤目標(biāo)為1000萬元 所以人員銷售利潤一般不會(huì)超過公司總的利潤 于是 只需在區(qū)間 10 1000 上 檢驗(yàn)三個(gè)模型是否符合公司要求即可 兩個(gè)要求 解題關(guān)鍵 1 確定x的取值范圍 即函數(shù)的定義域 2 通過圖象說明選用哪個(gè)函數(shù)模型 為什么 的圖象 解 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù) 思考 8 1 2 3 4 5 6 7 200 400 600 800 1000 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x o y 5 y x 觀察圖象發(fā)現(xiàn) 在區(qū)間 10 1000 上 模型y 0 25x y 1 002x的圖象都有一部分在直線y 5的上方 只有模型y log7x 1的圖象始終在y 5的下方 這說明只有按模型y log7x 1進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)才符合公司的要求 下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷 首先計(jì)算哪個(gè)模型的獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元 對(duì)于模型y 0 25x 它在區(qū)間 10 1000 上遞增 而且當(dāng)x 20時(shí) y 5 因此 當(dāng)x 20時(shí) y 5 所以該模型不符合要求 對(duì)于模型y 1 002x 由函數(shù)圖象 并利用計(jì)算器 可知在區(qū)間 805 806 內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)x0滿足由于它在區(qū)間 10 1000 上遞增 因此當(dāng)x x0時(shí) y 5 所以該模型也不符合要求 對(duì)于模型y log7x 1 它在區(qū)間 10 1000 上遞增 而且當(dāng)x 1000時(shí) y log71000 1 4 55 5 所以它符合獎(jiǎng)金總數(shù)不超過5萬元的要求 計(jì)算按模型y log7x 1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí) 獎(jiǎng)金是否不超過利潤的25 即當(dāng)x 10 1000 時(shí) 是否有成立 如何判斷該式是否成立 令 綜上所述 模型確實(shí)能符合公司要求 時(shí) 所以 當(dāng) 說明按模型 獎(jiǎng)勵(lì) 獎(jiǎng)金不會(huì)超過利潤的25 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f x 的圖象 由圖象可知它是遞減的 因此 即 構(gòu)造函數(shù) 變式練習(xí) 關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是 y2 解題關(guān)鍵 探究 指數(shù)函數(shù) 冪函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)增長的差異比較 1 列表并在同一坐標(biāo)系中畫出下面這三個(gè)函數(shù)的圖象 a 2 2 結(jié)合函數(shù)的圖象找出其交點(diǎn)坐標(biāo) 從圖象看出y log2x的圖象與另外兩函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn) 且總在另外兩函數(shù)圖象的下方 y x2的圖象與y 2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn) 2 4 和 4 16 a b y 2x x y o 1 1 2 16 23 4 3 4 y x2 y log2x 差異明顯 3 根據(jù)圖象 分別寫出使不等式log2x 2x x2和log2x x2 2x成立的自變量x的取值范圍 使不等式log2x 2x x2的x的取值范圍是 2 4 使不等式log2x x2 2x的x取值范圍是 0 2 4 6400 4900 3600 1 21 1024 1 18 1021 1 15 1018 80 70 60 2500 1600 900 400 100 0 y x2 1 13 1015 1 10 1012 1 07 109 1 05 106 1024 1 y 2x 50 40 30 20 10 0 x 結(jié)合上述探究 你有什么收獲 分別就指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)作出比較 指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)舉例 y x2 y 2x x x o 50 100 y 1 10 1012 1 13 1015 y 2x 圖象為 上升快慢明顯不同 一般地 對(duì)于指數(shù)函數(shù)y ax a 1 和冪函數(shù)y xn n 0 在區(qū)間 0 上 無論n比a大多少 盡管在x的一定變化范圍內(nèi) ax會(huì)小于xn 但由于ax的增長快于xn的增長 因此總存在一個(gè)x0 當(dāng)x x0時(shí) 就會(huì)有ax xn 指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的比較 對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y logax a 1 和冪函數(shù)y xn n 0 在區(qū)間 0 上 隨著x的增大 logax增長得越來越慢 圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣 盡管在x的一定變化范圍內(nèi) logax可能會(huì)大于xn 但由于logax的增長慢于xn的增長 因此總存在一個(gè)x0 當(dāng)x x0時(shí) 就會(huì)有l(wèi)ogax xn 對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的比較 1 在區(qū)間 0 上 y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函數(shù) 因此總會(huì)存在一個(gè)x0 當(dāng)x x0時(shí) 就有l(wèi)ogax xn ax 2 隨著x的增大 y ax a 1 的增長速度越來越快 會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y xn n 0 的增長速度 3 隨著x的增大 y logax a 1 的增長速度越來越慢 會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y xn n 0 的增長速度 提升總結(jié) 解題關(guān)鍵 d b 解題關(guān)鍵 3 某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的 如果某臺(tái)計(jì)算機(jī)感染上這種病毒 那么下輪病毒發(fā)作時(shí) 這臺(tái)計(jì)算機(jī)都可能感染沒被感染的20臺(tái)計(jì)算機(jī) 現(xiàn)在10臺(tái)計(jì)算機(jī)在第1輪病毒發(fā)作時(shí)被感染 問在第5輪病毒發(fā)作時(shí)可能有 臺(tái)計(jì)算機(jī)被感染 解析 10 204 1600000 1600000 4 銀行的定期存款中 存期為1年 2年 3年 5年的年利率分別為2 25 2 43 2 70 2 88 現(xiàn)將1000元人民幣存入銀行 求 應(yīng)怎樣存取以使5年后得到的本金和利息總和最大 解 存5年共有6種存款方式 1 一次性存入5年 本金和利息的總和為1000 5 1000 2 88 1144 元 2 存一個(gè)三年 再存一個(gè)兩年 1000 3 1000 2 70 1 2 2 43 1133 54 元 3 存一個(gè)三年 再存兩個(gè)一年1000 1 3 2 70 1 2 25 2 1130 19 元 4 存兩個(gè)兩年 再存一個(gè)一年1000 1 2 2 43 2 1 2 25 11