高階系統(tǒng)的時域分析

目 錄 摘要 . I 1 穩(wěn)定性分析 . 1 1.1勞斯判據(jù)原理 . 1 1.2穩(wěn) 定性的判斷 . 2 1.3 由勞斯判據(jù)求取 a, b, K范圍 . 2 2 系統(tǒng)時域分析 . 4 2.1 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) . 4 2.1.1 單位階躍響應(yīng)曲線 . 4 2.1.2 單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo) . 5 2.2系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng) . 6 2.2.1 單位斜坡響應(yīng)曲線 . 6 2.2.2 單位斜坡響應(yīng)性能指標(biāo) . 7 2.3 系統(tǒng)單位加速度響應(yīng) . 8 2.3.1 單位加速度響應(yīng)曲線 . 8 2.3.2 單位加速度響應(yīng)性能指標(biāo) . 9 3.繪制根軌跡 . 10 4.小結(jié)與體會 . 11 參考文獻(xiàn) . 12 本科生課程設(shè)計成績評定表 . 13 1 高階系統(tǒng)的時域分析 1 穩(wěn)定性分析 1.1 勞斯判據(jù)原理 假若 勞斯陣列表中第一列系數(shù)均為 正數(shù) ，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系數(shù)有 負(fù)數(shù) ，則第一列系數(shù)符號的改變次數(shù)等于在右半平面上根的個數(shù)。 勞斯陣列表 列取如下： ns 000 aa 202 aa 404 aa 1ns 110 aa 312 aa 514 aa 2ns 10001 / aa 1210220 aaa 1410422 aaa 1610624 aaa 3ns 210102 / aa 2221230 aaa 2421432 aaa 2621634 aaa 4ns 30203 / aa 3232240 aaa 3432442 aaa 3632644 aaa 通項 : ijijij aaa i112 1n2,1 i ； 642j ， 判斷： 若 表中若第一列的數(shù)（即 i0a1n2,1 i ）均大于零，這時系統(tǒng)穩(wěn)定。否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。第一列變換符號的次數(shù)表明了系統(tǒng)在右半平面極點的個數(shù)。 2 1.2 穩(wěn)定性的判斷 單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 2()() ( 4 8 ) ( )pK s bGs s s s s a 所以，當(dāng) a=1.b=4,K=10 時，可求得系統(tǒng)特征方程為： 4018125)( 234 sssssD =0 由勞斯判據(jù)，列出勞斯表： 4s 1 12 40 3s 5 18 2s 8.4 40 1s -5.8 0s 40 由勞斯表可看出，第一列有負(fù)數(shù) -5.8 ， 系統(tǒng)不穩(wěn)定 ，第一列變換符號次數(shù)為 2，表明系統(tǒng)在右半平面極點的個數(shù)為 2。 1.3 由勞斯判據(jù)求取 a, b, K 范圍 系統(tǒng)特征方程為： KbsKasasassD )8()48()4()( 234 =0 根據(jù)特征方程列勞斯表如下： 4s 1 8+4a Kb 3s 4+a 8a+K a Kaa 4 )8()48(a4 ）（2sKb1s0s)8()4)(48()4(a8 2KaaaKbaK ）（Kb 3 由勞斯 -赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)有： )2(. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0)8()4)(48()4(a8( 1 ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0)8()84)(4(008048042KaaaKbaKaKaaKbKaaa）（由 (1) 式可求得： ),(,160164,160032164 2aKKaKKaa 式 (2) 可化簡為： 0)2 5 61 2 832(1632)1(8)4( 2322 aaaKbababK 綜上可得系統(tǒng)穩(wěn)定時 K， a， b 滿足的條件為： .0)25612832(1632)1(8)4(0)8()84)(4(00822322 aaaKbababKaKaaKbKaa 4 2 系 統(tǒng)時域分析 在求得的范圍內(nèi)任取一組數(shù)據(jù)： a=b=3;k=15。 經(jīng)計算，滿足使系統(tǒng)穩(wěn)定的條件。 此時系統(tǒng) 閉 環(huán)傳遞函數(shù)： 4539207 )3(15)( 234 ssss ss )5)(3( 15)5()3( )3(15)( 222 ssssss ss可求得： ,5n 521 ， 21 ， 219d ， 219212,1 js ， 30 s 2.1 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 2.1.1 單位階躍響應(yīng)曲線 打開 MATLAB, 并在 Command Window 中輸入以下程序： num=15,45； den=1,7,20,39,45； step(num,den) 然后按回車，在彈出的 Figure 窗口內(nèi)就是單位階躍響應(yīng)的曲線，如圖 1 所示 ： 圖 1 單位階躍響應(yīng) 曲線 5 2.1.2 單位階躍響應(yīng)性能指標(biāo) 單位階躍響應(yīng) ： ssRttr 1)()(1)( 輸出拉氏表達(dá)式為： )5()3( )3(15)( 22 ssss ssC時域表達(dá)式為 ： 1） 動態(tài)性能指標(biāo)： 峰值時間 ： )()(1 1153 11i i iidpsszst 1.77 43143|iiiisssP 0.8182 11111|iiiizzsQ 1.1055 42142|iiiisssF 0.4197 超調(diào)量 ： e tPQ p % 37.33% 調(diào)節(jié)時間 ： )2ln (1 FQtns 7.67s 用 MATLAB 中 LTIVIEW 仿真圖形工具 也可方便得到系統(tǒng)動態(tài)性能指標(biāo) ， 在命令窗口中，鍵入 ltiview，回車，系統(tǒng)調(diào)用 LTI VIEWER 工具 ，仿真可得： 上升時間 ： rt 0.694 峰值時間 ：pt=1.8 調(diào)節(jié)時間 ：st=7.66 超調(diào)量 ： % 37.1% 2） 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)： 系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)為： 系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)為： 系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為： 故 系統(tǒng) 穩(wěn)態(tài)誤差： psss kssEe 11)(0lim 0.5 0)5)(3( s150lim)()(2s0lim 2 2 sssssHsGsk a0)5)(3( s150lim)()(s0lim 2 sssssHsGsk v1)5)(3( 150lim)()(0lim 2 sssssHsGsk pee tt ttt 213 )219s i n (196)219co s (192 0 9611 51)(h 6 2.2 系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng) 單位斜坡響應(yīng) ： 2s1)()( sRttr輸出拉氏表達(dá)式為： )5()3( )3(15)( 222 ssss ssC2.2.1 單位斜坡響應(yīng)曲線 由于 Matlab 中沒有專門繪制斜坡響應(yīng)的函數(shù)，因此要自己構(gòu)建單位斜坡響應(yīng)。 程序如下： num=15,45; den=1,7,20,39,45; G=tf(num,den) t=0:0.005:10; u=t; lsim (G,u,t) grid on xlabel(t/s),ylabel(c(t) title(unit-step Response) 相應(yīng)的 單位斜坡響應(yīng)曲線如圖 2： 圖 2 單位斜坡響應(yīng) 7 2.2.2 單位斜坡響應(yīng) 性能指標(biāo) 時域表達(dá)式為 ： ee tt tttt 23 )219s i n (1913)219co s (1 3 31 0 4 5333 515 8)(h 根據(jù)主導(dǎo)極點的概念， 由于主導(dǎo)極點219212,1 js 實部的模小于其他極點的31，因此 系統(tǒng) 可以近似為二階系統(tǒng)： 515)( 2 sss由傳遞函數(shù)可知： 24.2nw， 22.0 ， 03.7722.0a r c c o sa r c c o s 1） 動態(tài)性能指標(biāo)： 峰值時間 ： 調(diào)節(jié)時間 ： 上升時間 ： 超調(diào)量 ： % = 21/ e *100%=49.2% 2） 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)： 系統(tǒng)靜態(tài) 位置誤差系數(shù)為： 1)5)(3( 150lim)()(0lim 2 sssssHsGsk p系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)為： 系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為： 故穩(wěn)態(tài)誤差： vkssEe sss 1)(0lim 0)5)(3( s150lim)()(2s0lim 2 2 sssssHsGsk a0)5)(3( s150lim)()(s0lim 2 sssssHsGsk v437.1dpt 09.63 nst 96.01 2 nrt 8 2.3 系統(tǒng)單位 加速度 響應(yīng) 單位 加速度 響應(yīng) ： 32 1)(21)( ssRttr 輸出拉氏表達(dá)式為： )5()3( )3(15)( 223 ssss ssC2.3.1 單位加速度響應(yīng)曲線 由于 Matlab 中沒有專門繪制單位 加速度 響應(yīng)的函數(shù)，因此要自己構(gòu)建單位 加速度 響應(yīng)。 程序如下： num=15,45; den=1,7,20,39,45; G=tf(num,den); t=0:0.005:10; u=（ 0.5*t2） ; lsim(G,u,t) 相應(yīng)的 單位 加速度 響應(yīng)曲線如圖 3所示 ： 圖 3單位加速度響應(yīng) 9 2.3.2 單位 加速度 響應(yīng)性能指標(biāo) 時域表達(dá)式為 ee tt tttttc 232 )219s i n (1973)219c o s (575 2 2 5399 515 82225 4)( 由主導(dǎo)極點的概念，高階系統(tǒng)性能指標(biāo)可利用二階系統(tǒng)性能指標(biāo)進(jìn)行估算 515)( 2 sss由傳遞函數(shù)可知： 24.2nw， 22.0 ， 03.7722.0a r c c o sa r c c o s 1） 動態(tài)性能指標(biāo)： 峰值時間 ： 調(diào)節(jié)時間 ： 上升時間 ： 超調(diào)量 ： % = 21/ e *100%=49.2% 2） 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)： 系統(tǒng)靜態(tài)位置誤差系數(shù)為： 1)5)(3(150lim)()(0lim2 sssssHsGsk p系統(tǒng)靜態(tài)速度誤差系數(shù)為： 系統(tǒng)靜態(tài)加速度誤差系數(shù)為： 故穩(wěn)態(tài)誤差： a1)(0lim kssEesss 0)5)(3( s150lim)()(20lim 2 2 sssssHsGSsk a0)5)(3( s150lim)()(0lim 2 sssssHsSGsk v437.1dpt 09.63 nst 96.01 2 nrt 10 3.繪制根 軌跡 已知 a=1;b=4 系統(tǒng) 開環(huán)傳遞函數(shù)為： )1)(84( )4(2 ssss sK用 Matlab 繪制根軌跡 程序 如下 ： num=1， 4; den=1,7,20,39,45; G=tf(num,den) rlocus（ G） grid minor 對應(yīng) 根 軌跡 如圖 4 所示 ： 圖 4 系統(tǒng)根軌跡圖 11 4.小結(jié)與體會 這次的課程設(shè)計分為四部分，分別是判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定、計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的參數(shù)條件、選擇參數(shù)并計算在特定輸入（單位階躍、斜坡。加速度）條件下的系統(tǒng)動態(tài)與穩(wěn)態(tài)參數(shù)響應(yīng)并做圖和畫跟軌跡。由于系統(tǒng)是 高 階 （四階） 系統(tǒng)， 大部分的計算都能夠比較容易的完成，不過 在計算動態(tài)參數(shù)時 廢了 很大一番功夫。 為了方便計算，在選擇 參數(shù)時要使系統(tǒng)能夠早得到主導(dǎo)極點，并且能 夠分解成兩個二次多項式， 只有這樣才能 進(jìn)行估算 ，通過課程設(shè)計，我對高階系統(tǒng)性能指標(biāo)估算有了更深入的認(rèn)識，對閉環(huán)主導(dǎo)極點對系統(tǒng)性能的影響有了深刻的領(lǐng)會 。 在選擇好參數(shù)后，要用 MATLAB 畫三種單位輸入條件下的輸出響應(yīng)，這就要我們能夠熟練的掌握 MATLAB 的使用方法。在查找了各方面的資料并請教同學(xué)之后終于能夠畫出所需的圖形。 此外，通過課程設(shè)計，我對 MATLAB 一些功能的使用有了更深入的認(rèn)識。 在 MATLAB中，提供了線性時不變系統(tǒng)仿真的圖形工具 LTI Viewer，可方便地獲得階躍響應(yīng)、脈沖響應(yīng)和 Bode 圖、奈魁斯特圖等，并可得到系統(tǒng)有關(guān)性能指標(biāo)。 這一次的課程設(shè)計讓我們在學(xué)習(xí)了書本上的知識后，不僅僅是紙上談兵。我們能個夠 把 理論上的知識應(yīng)用到實際當(dāng)中，還可以把書本上的理論知識完全吃透，而不是簡單的記住了幾個公式。這些都為以后的工作學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。 12 參考文獻(xiàn) 1 胡壽松 . 2007.自動控制原理 (第五版 ). 北京：科學(xué)出版社 2 張靜 . 2007.MATLAB在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用 . 北京：電子工業(yè)出版社 3 張愛民 . 2005.自動控制原理 . 北京：清華大學(xué)出版社 4 王廣雄 . 2005.控制系統(tǒng)設(shè)計 . 北京：清華大學(xué)出版社 5 黃堅主 . 2004.自動控制原理及其應(yīng)用 . 北京：高等教育出版社 6 王加文 、 王皓 . 2005. MATLAB編程基礎(chǔ) 編著 .北