高考數(shù)學(xué) 第十六章 第三節(jié) 幾個(gè)著名的不等式及利用不等式求最大（?。┲嫡n件 理 蘇教版.ppt

第三節(jié)幾個(gè)著名的不等式及利用不等式求最大 小 值 1 幾個(gè)著名的不等式柯西不等式的代數(shù)形式 設(shè)a b c d均為實(shí)數(shù) 則 ac bd 2 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立 柯西不等式的向量形式 設(shè)是平面上的兩個(gè)向量 則 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量方向相同或相反時(shí)等號(hào)成立 a2 b2 c2 d2 ad bc 柯西不等式的一般形式 設(shè)n為大于1的自然數(shù) ai bi i 1 2 n 為實(shí)數(shù) 則 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立 當(dāng)ai 0時(shí) 約定bi 0 i 1 2 n 2 三角形不等式 設(shè)x1 y1 x2 y2 x3 y3為任意實(shí)數(shù) 則 3 排序不等式 設(shè)兩組實(shí)數(shù)a1 a2 a3 an與b1 b2 b3 bn 且它們滿足 a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn 若c1 c2 c3 cn是b1 b2 b3 bn的任意一個(gè)排列 則和數(shù)a1c1 a2c2 ancn在a1 a2 a3 an與b1 b2 b3 bn同序時(shí)最大 反序時(shí)最小 即a1b1 a2b2 anbn 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an或b1 b2 bn時(shí)成立 a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 4 n個(gè)正數(shù)的算術(shù) 幾何平均不等式 若a1 a2 an為正數(shù) 則等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an時(shí)成立 稱為n個(gè)正數(shù)a1 a2 an的算術(shù)平均數(shù) 稱為這n個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù) 它表明 n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù) 它們的幾何平均數(shù) 不小于 2 利用不等式求最大 小 值 1 運(yùn)用柯西不等式求最大 小 值 2 運(yùn)用算術(shù) 幾何平均不等式求最大 小 值 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 在二維形式的柯西不等式的代數(shù)形式中 取等號(hào)的條件可以寫成 2 在柯西不等式的向量形式中 取等號(hào)時(shí) 兩個(gè)向量的夾角是0 3 排序不等式說(shuō)明了同序和 亂序和 反序和 解析 1 錯(cuò)誤 當(dāng)b d 0時(shí) 柯西不等式成立 但不成立 2 錯(cuò)誤 兩個(gè)向量和的夾角是0或 3 正確 由排序不等式的概念可知是正確的 答案 1 2 3 考向1運(yùn)用著名不等式證明 典例1 2012 福建高考 已知函數(shù)f x m x 2 m r 且f x 2 0的解集為 1 1 1 求m的值 2 若a b c均為正數(shù)且求證 a 2b 3c 9 思路點(diǎn)撥 根據(jù)條件 容易求得m的值 再觀察第 2 題 符合柯西不等式的特征 從而得證 規(guī)范解答 1 由f x 2 m x 0得 x m 從而由已知條件得m 1 2 由 1 得由柯西不等式得當(dāng)且僅當(dāng)a 2b 3c時(shí)取等號(hào) 拓展提升 運(yùn)用算術(shù) 幾何平均不等式與柯西不等式的證明思路用算術(shù) 幾何平均不等式與柯西不等式證明不等式時(shí) 可直接應(yīng)用其結(jié)論 也可將要證的不等式拆成若干個(gè)不等式的和或積 再利用著名不等式證之 變式訓(xùn)練 設(shè)a b c為正實(shí)數(shù) 求證 證明 方法一 因?yàn)閍 b c為正實(shí)數(shù) 由平均不等式可得即所以而所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 方法二 不妨設(shè)a b c 則 當(dāng)且僅當(dāng)a b c 時(shí)取等號(hào) 考向2運(yùn)用著名不等式求最值 典例2 已知正數(shù)x y z滿足x y z 1 1 求證 2 求4x 4y 的最小值 思路點(diǎn)撥 本題第 1 題等價(jià)于求的最小值 因其分母分別為y 2z z 2x x 2y 其和恰為3 x y z 故運(yùn)用柯西不等式求之 第 2 題的特征是正數(shù)x y z均在指數(shù)上 根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則 才能轉(zhuǎn)化成和的形式 故運(yùn)用均值不等式求之 規(guī)范解答 1 因?yàn)閤 0 y 0 z 0 所以由柯西不等式得 y 2z z 2x x 2y x y z 2 又因?yàn)閤 y z 1 所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 2 由均值不等式得因?yàn)閤 y z 1 所以x y z2 1 z z2 故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 所以的最小值為 拓展提升 運(yùn)用著名不等式求最值的注意點(diǎn)1 用算術(shù) 幾何平均不等式求最大 小 值 要注意 一正 二定 三相等 2 用柯西不等式求最大 小 值 一要?jiǎng)?chuàng)造使用定理的條件 二要注意等號(hào)成立的條件 用柯西不等式求最大 小 值的關(guān)鍵是構(gòu)造其特征 變式訓(xùn)練 已知a b c均為正數(shù) 證明 并確定a b c為何值時(shí) 等號(hào)成立 證明 方法一 因?yàn)閍 b c均為正數(shù) 由均值不等式得 所以 故 又 所以原不等式成立 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí) 式和 式等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 式等號(hào)成立 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 原式等號(hào)成立 方法二 因?yàn)閍 b c均為正數(shù) 由基本不等式得a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ac 所以a2 b2 c2 ab bc ac 同理 故 所以原不等式成立 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí) 式和 式等號(hào)成立 當(dāng)且僅當(dāng)a b c ab 2 bc 2 ac 2 3時(shí) 式等號(hào)成立 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 原式等號(hào)成立 1 2013 蘇州模擬 已知實(shí)數(shù)x y z滿足x y z 2 求2x2 3y2 z2的最小值 解析 由柯西不等式得 x y z 2 x 2 y 2 z2 又 x y z 2 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立 2x2 3y2 z2的最小值為 2 求函數(shù)f x sin3xcosx的最大值 解析 當(dāng)sinxcosx 0時(shí) 函數(shù)f x 不可能取最大值 當(dāng)sinxcosx 0時(shí) f2 x sin6xcos2x 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 所以f x 的最大值是 3 2013 連云港模擬 已知不等式 a 1 x 2y 2z 對(duì)滿足x2 y2 z2 1的一切實(shí)數(shù)x y z都成立 求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析 x 2y 2z 2 12 22 22 x2 y2 z2 9 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 a 1 3 解得 a 4或a 2 4 2013 常州模擬 設(shè)a b c均為正數(shù) 證明 證明 方法一 2a 2b 2c 當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)等號(hào)成立 即得方法二 利用柯西不等式取代入即證 5 已知正數(shù)x y z滿足5x 4y 3z 10 1 求證 2 求的最小值 解析 1 根據(jù)柯西不等式 得 4y 3z 3z 5x 5x 4y 5x 4y 3z 2 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào) 因?yàn)?x 4y 3z 10 所以 2 根據(jù)均值不等式 得當(dāng)且僅當(dāng)x2 y2 z2時(shí) 等號(hào)成立 根據(jù)柯西不等式 得 x2 y2 z2 52 42 32 5x 4y 3z 2 100 即x2 y2 z2 2 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 等號(hào)成立 綜上 當(dāng)且僅當(dāng)x 1 時(shí) 等號(hào)成立 所以的最小值為18 6 2013 南京模擬 已知函數(shù)f x x a 2 x b 2 x c 2 a b c為實(shí)數(shù) 的最小值為m 若a b 2c 3 求m的最小值 解析 因?yàn)閒 x x a 2 x b 2 x c 2 3x2 2 a b c x a2 b2 c2所以時(shí) f x 取最小值a2 b2 c2 即m a2 b2 c2 因?yàn)閍 b 2c 3 由柯西不等式得 12 1 2 22 a2 b2 c2 a b 2c 2 9 所以m a2 b2 c2 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立 所以m的最小值為 7 已知x y z均為正數(shù) 且x y z 1 求證 證明 又由于即當(dāng)且僅當(dāng) x 1 2 y 1 2 z 1 2 即x y z 時(shí)取等號(hào) 8 若正數(shù)a b c滿足a b c 1 1 求證 2 求的最小值 解析 1 由已知易得0 a b c 1 則a a2 a 1 a 0 即a a2 同理可得b b2 c c2 則a2 b2 c2 a b c 1 由柯