線性代數(shù)習(xí)題解答第一二三章.doc

線 性 代 數(shù) - 37 -總習(xí)題一一、問答題1. 試解釋二、三階行列式的幾何意義.（圖1）解 在平面解析幾何中，已知兩向量，如圖，以為鄰邊的平行四邊形的面積為，而 ，故 這就是說，二階行列式表示平面上以為鄰邊的平行四邊形的有向面積，這里符號規(guī)定是當(dāng)這個平行四邊形由向量沿逆時針方向轉(zhuǎn)到向量而得到時面積取正值；當(dāng)這個平行四邊形由向量沿順時針方向轉(zhuǎn)到向量而得到時面積取負(fù)值空間三向量的混合積的絕對值等于這三個向量張成的平行六面體的體積，即三階行列式表示以為相鄰棱的平行六面體的有向體積，當(dāng)構(gòu)成右手系時，體積取正值；當(dāng)構(gòu)成左手系時，體積取負(fù)值實(shí)際上改變?nèi)我鈨上蛄看涡?，取值符號改變類比二、三階行列式，階行列式是由維向量張成的維平行多面體的有向體積盡管我們不能看見維平行多面體，但是有2，3維空間做藍(lán)本，我們卻能夠通過現(xiàn)象抓住行列式概念的本質(zhì)，進(jìn)行想象行列式的性質(zhì)均可以通過幾何直觀解釋，這就是了解幾何背景的優(yōu)勢2. 行列式中元素的余子式、代數(shù)余子式與行列式有什么關(guān)系？解 由定義知，在行列式中，去掉元素所在的第行和第列后，保持相對位置不變得到的階行列式稱為該元素的余子式，記為而把稱為元素的代數(shù)余子式，記為由定義可知，元素的余子式及代數(shù)余子式與該元素的位置有關(guān)，而與該元素本身是什么數(shù)無關(guān)因此，如果只改變行列式的某行（列）的各元素數(shù)值，并不會改變該行（列）原來的各元素對應(yīng)的余子式和代數(shù)余子式例如：在行列式=中，將第二行元素都換成1，得，那么的第二行各元素的代數(shù)余子式與的第二行各元素的代數(shù)余子式是分別對應(yīng)相同的利用此性質(zhì)可以方便地計(jì)算行列式某些元素的代數(shù)余子式的某些線性組合它們與行列式的關(guān)系主要表現(xiàn)在行列式按行（列）展開定理及其推論中，即， 3. 試從幾何的角度解釋三元線性方程組有唯一解的意義.解 線性方程組的解可以借助于子空間的概念來闡明，這樣可以使線性方程組的解有了幾何意義設(shè)三元一次線性方程組,三個方程在空間分別表示三個平面，該方程組有唯一解，就是說它們有唯一一個交點(diǎn)（如右圖）這樣以直觀方式去理解三元線性方程組的解，就會比較順利地遷移到對元線性方程組的解地理解上去。如果我們利用幾何直觀來理解線性代數(shù)課程，就能為抽象思維提供形象模型，提高應(yīng)用線性代數(shù)理論去解決實(shí)際問題的能力4. 范德蒙（Van der monde）行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及結(jié)論是什么？請運(yùn)用范德蒙行列式證明：. 解 范德蒙行列式它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是：每一列都構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)是1，公比分別是，末項(xiàng)分別是的次冪若將此行列式轉(zhuǎn)置，則各行元素具有此特點(diǎn).解題時若發(fā)現(xiàn)某行列式有此特點(diǎn)，則可以利用范德蒙行列式的結(jié)果寫出答案根據(jù)待求行列式的特點(diǎn)，構(gòu)造四階范德蒙行列式：一方面，利用范德蒙行列式結(jié)論有，另一方面，按第四列展開有，比較的系數(shù)得結(jié)論成立 二、單項(xiàng)選擇題1級行列式（ ）（A） （B） （C） （D）解 應(yīng)選（B），本題宜直接計(jì)算，采用直選法由行列式的定義，該行列式只有一項(xiàng)不為零，2設(shè)，那么的一次項(xiàng)系數(shù)為（ ）（A） 1 （B） 2 （C） -1 （D） -2解 應(yīng)選（C），本題宜直接計(jì)算，采用直選法由行列式展開定理，的一次項(xiàng)系數(shù)為代數(shù)余子式，故選（C）3如果行列式（ ）（A） 2d （B）3d （C）6d （D）-6d 解 應(yīng)選（C），本題直接計(jì)算利用行列式的性質(zhì)，故選（C）4如果級行列式中每個元素都是1或-1,那么該行列式的值為( )（A）偶數(shù) （B）奇數(shù) （C）1 （D）-1解 應(yīng)選（A）因?yàn)樾辛惺街忻總€元素都是1或-1,將行列式的第二行元素的一倍加到第一行，行列式的值不變，此時行列式第一行元素只可能是,即2是第一行元素的公因數(shù)，也是行列式的一個因數(shù)，從而行列式的值一定是偶數(shù)說明：讀者可以考慮所有滿足該題條件的三階行列式的最大取值是多少？它是一個很有趣的問題5行列式的主對角線上每個元素與其代數(shù)余子式乘積之和為( ) （A） （B） （C） （D） 解 應(yīng)選（C），本題思路是根據(jù)行列式的特點(diǎn)，將“主對角線上每個元素與其代數(shù)余子式乘積之和”轉(zhuǎn)化為“每行元素與其代數(shù)余子式乘積之和”，再利用行列式展開定理解題由于行列式每行只有一個元素不為零，故從而6四階行列式的值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選(D)，本題可以直接計(jì)算，采用直選法計(jì)算過程可以用行列式的定義，行列式按行展開定理，也可以用拉普拉斯定理解答使用拉普拉斯定理更快捷本題更好的方法是采用排除法，令，可得此時行列式的值為，經(jīng)比較，可知(A)、(B)和(C)都不對，故本題應(yīng)選(D)7行列式為零的充分條件是（ ）(A) 零元素的個數(shù)大于個 (B) 中各行元素的和為零(C) 次對角線上元素全為零 (D) 主對角線上元素全為零解 應(yīng)選(B)因?yàn)橹懈餍性氐暮蜑榱悖鶕?jù)行列式的倍加不變性質(zhì)，將其它各列的一倍加到第一列，第一列元素都化為零，故(B)是為零的充分條件說明：建議初學(xué)者分別舉例說明其它三種情況都不是充分條件8方程的根為（ ）(A) 1，2， (B) 1，2，3 (C) 1，2 (D) 0，1，2解 應(yīng)選（A）可以將行列式視為關(guān)于的四階范德蒙行列式，立刻得到結(jié)論也可以將分別取值后，第4列分別與1,2，3列對比觀察，得到結(jié)論9當(dāng)（ ）時，方程組只有零解(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選(D)，本題直接計(jì)算方程組的系數(shù)行列式由克萊姆法則知，當(dāng)時，齊次線性方程組只有零解10設(shè)，則的值可能為（ ）(A) 4 (B) (C) (D)解 應(yīng)選(D)，本題直接計(jì)算行列式：則有三個根，故選(D)三、解答題1. 計(jì)算行列式 解 該行列式的階為，從第列開始，逐列乘以1加到前一列，按第一列展開得原式2. 計(jì)算下列行列式（1）； （2）；（3）； （4） 解 （1）；（2）；（3）由習(xí)題1.4第5題結(jié)論，當(dāng)，；或直接用展開定理：原式；（4）由拉普拉斯定理可得： 3. 用加邊法計(jì)算行列式 解 利用行列式展開定理，構(gòu)造一個等值的行列式，其中第一列元素根據(jù)行列式的特點(diǎn)確定，即 原式4. 證明：證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明因?yàn)椋援?dāng)時命題成立現(xiàn)在假設(shè)行列式階小于時，結(jié)論成立，下證對階行列式結(jié)論成立將階行列式按第1行展開后再展開，有故結(jié)論成立5. 設(shè)是互異的實(shí)數(shù)，證明：的充要條件是證明 行列式中元素及其排列接近范德蒙行列式的形式，因此，構(gòu)造四階范德蒙行列式：一方面，利用范德蒙行列式結(jié)論有，另一方面，按第四列展開有，比較的系數(shù)得：又是互異的實(shí)數(shù)，故的充要條件是6. 證明：證明 左邊7. 當(dāng)為何值時，方程組有唯一解？并用克萊姆法則求解解 因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式，所以當(dāng)時，方程組有唯一解又所以8.設(shè)階行列式的第行元素依次為，第行元素的余子式為全為，第行元素的代數(shù)余子式依次為，且行列式的值為1，求的值.解 由題設(shè)；，則有據(jù)行列式展開定理及其推論有，即解得 9設(shè)，計(jì)算的值，其中是對應(yīng)元素的代數(shù)余子式解 由行列式按行展開定理10. 設(shè)行列式，求的值解 由題設(shè)依次將第行的（-1）倍加到第行，得再將第一列分別加到其余各列，得注：用同樣的方法，可以求得行列式11設(shè)為三角形的三邊邊長，證明：證明 將2，3，4列的1倍加到第一列，提取公因式，得將第1行的倍，加到利用2，3，4行，按第一列展開，得繼續(xù)計(jì)算由三角形的性質(zhì)，上式四個因式中有三項(xiàng)小于零，故12設(shè)多項(xiàng)式，用克萊姆法則證明：如果存在個互不相同的根，則解 設(shè)為互不相同的根，則，于是有該方程組的系數(shù)行列式（視為未知元）故該齊次線性方程組只有零解：，從而第二章總習(xí)題一、問答題1階矩陣可以表示成一個對稱矩陣和一個反對稱矩陣的和，這種表示是否惟一？解 這種表示是惟一的事實(shí)上，若存在對稱矩陣和反對稱矩陣使得則，即，等式左邊是對稱矩陣，右邊是反對稱矩陣，故它們只能是零矩陣，即2請利用矩陣的乘法表示線性方程組，并借助于可逆矩陣和伴隨矩陣，理解克萊姆（Cramer）法則解 記，則線性方程組有矩陣形式如果可逆矩陣可逆（即系數(shù)行列式），則克萊姆法則告訴我們方程組有唯一解，解可用矩陣形式表示，從分塊矩陣角度理解，對應(yīng)元素相等，這就是克萊姆法則給出的解的形式3設(shè)分別為階矩陣，舉反例說明下列運(yùn)算不正確(1) ；(2) 若,則；(3) 若,則或；(4) 若,則或；(5) .解 (1) 如，而，它們不相等；(2) 如，但；(3) 如，,但且；(4) 如，有，但且；(5) 以（1）中矩陣為例，行列式，而，它們不相等.4設(shè)矩陣的秩為，則是否在中只有一個階非零子式？存在階非零子式嗎？若，求的秩，并求的最高階非零子式.解 設(shè)矩陣的秩為，則中至少有一個階非零子式（即可能有多個）因?yàn)榈碾A子式已經(jīng)全為零，故的階子式一定全為零矩陣的秩為2，二階子式，三階子式一定全為零說明：這些結(jié)論對于第三章利用“初等行變換不改變列向量組的線性相關(guān)性”討論向量組的性質(zhì)很重要5閱讀矩陣密碼法材料，回答下列問題現(xiàn)有一段明碼（中文漢語拼音字母），若利用矩陣加密，發(fā)出的“密文”編碼：41，97，81，33，92，66，59，154，103請破譯這段密文，完成李白膾炙人口的千古絕唱：“故人西辭黃鶴樓，煙花三月下”品味古城名邑的無限風(fēng)韻，細(xì)思加密矩陣的性質(zhì)要求解 首先將“密文”編碼：41，97，81，33，92，66，59，154，103排成矩陣，由于“密文”是通過加密的，故破譯這段密文的方法是，對應(yīng)中文漢語拼音字母yang-zhou (揚(yáng)州)關(guān)于加密矩陣的性質(zhì)要求，為了計(jì)算方便加密矩陣的行列式以為好，根據(jù)電文的長度確定矩陣的階，當(dāng)階較大時可以考慮用分塊矩陣加密為了增加破譯難度，密文數(shù)據(jù)可以用模26同余數(shù)二、單項(xiàng)選擇題1若A，B為同階方陣，且滿足，則有（ ）.（A）AO或BO（B）|A|0或|B|0（C）(AB)AB（D）A與B均可逆解 應(yīng)選（B），本題可采用直選法利用行列式乘法規(guī)則，若，則，從而|A|0或 |B|0，故選（B）當(dāng)然也可采用排除法2若對任意方陣B，C，由AB=AC（A，B，C為同階方陣）能推出B=C，則A滿足（ ）.（A）A0 （B）A0 （C）|A|0 （D）|AB|0解 應(yīng)選（C）由于矩陣的乘法運(yùn)算不滿足消去律，當(dāng)矩陣A可逆（即|A|0）時，用左乘AB=AC能推出B=C本題也可以借助克萊姆法則理解，將等式變形為，考慮齊次線性方程組只有零解的條件3設(shè)是階矩陣，若，則有（ ）(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選（A）都是交換兩行（或列）對應(yīng)的初等矩陣，它們有一個性質(zhì)由知，分別用左乘、右乘，沒有改變，故均為偶數(shù)，選（A）4設(shè)，若秩，則有（ ）(A) 或 (B) 或 (C) 且 (D) 且解 應(yīng)選（C），解題依據(jù)是和之間秩的關(guān)系：5設(shè)同階方陣滿足關(guān)系式，則必有（ ）.（A）ACB=E （B）CBA=E （C）BAC=E （D）BCA=E解 應(yīng)選(D)，采用直選法對于任意方陣我們有“若，則”，由，將或作為一個“整體”與另一個矩陣交換尋找答案6若A，B，B+A為同階可逆方陣，則(B+A)（ ）.（A）B+A （B）BA （C）(B+A) （D）B(B+A)A解 應(yīng)選(D)，本題采用“和化積”的思路求逆矩陣在矩陣的左邊乘A，右邊乘B，得從而，所以，故選(D)注意：也可以寫成由逆矩陣的唯一性有7設(shè)均為階方陣，則必有( ).（A） （B） （C） （D）解 應(yīng)選（C），本題可以用排除法，題目中（A）、（B）和（D）都有反例說明不一定成立，它們都是應(yīng)該知道的當(dāng)然，也可以用行列式乘法規(guī)則直接計(jì)算8已知2階矩陣的行列式，則（ ）.（A） （B）（C） （D）解 應(yīng)選（A）考察重要等式，根據(jù)可逆矩陣的定義，當(dāng)時，我們觀察可知，所以，選（A）9設(shè)是階矩陣，若，則（ ）.（A） （B） （C） （D） 解 應(yīng)選(D)，本題可以直接計(jì)算，采用直選法計(jì)算如下：，說明：本題檢查的知識點(diǎn)是“對于階矩陣，有”10設(shè)，則（ ）.（A） （B） (C) （D） 解 應(yīng)選（C），本題可以直接計(jì)算，采用直選法當(dāng)然計(jì)算前應(yīng)注意觀察矩陣的特點(diǎn)和矩陣運(yùn)算式的特點(diǎn)，這會簡化計(jì)算事實(shí)上，主對角線外的元素對應(yīng)相等，考慮有，由此選（C）顯然三、解答題1設(shè)若矩陣與可交換，求的值.解 兩矩陣相乘得 ，比較對應(yīng)位置元素，有，所以2設(shè)均為n階對稱矩陣，證明：是階對稱矩陣.證明 因?yàn)榫鶠閚階對稱矩陣，即，所以從而是階對稱矩陣.3設(shè)實(shí)矩陣，且，（為的代數(shù)余子式），求行列式解 因?yàn)?，所以由等式，得，兩邊取行列式得，即，所以或又由，故，從?設(shè)為二階方陣，為三階方陣，且A，求解 因?yàn)锳，所以，又，從而 5設(shè)為4階可逆方陣，且，求解 先將行列式中的矩陣化為同名矩陣，再代入，可得6設(shè)，求解 因?yàn)椋?，故，?已知，求解下列矩陣方程：（1） ;(2).解 （1）由，得，所以，;(2)因?yàn)?，所?設(shè)，三階方陣滿足關(guān)系式，求解 因?yàn)?，所以用左乘表達(dá)式的兩邊，得，從而9設(shè)矩陣且滿足,求矩陣.解 因?yàn)椋杂糜页说膬蛇?，得，從?0設(shè)為階方陣，為的伴隨矩陣，證明：(1) 若，則； (2) 證明 (1) 設(shè)，若，則，當(dāng)然有；若，則可以利用等式得到，考慮齊次線性方程組，由于，且，故方程組有非零解，從而有 (2) 由（1）只要證明的情形事實(shí)上，當(dāng)時，由可得，兩邊同除以，則有結(jié)論成立11設(shè)為階可逆矩陣，若的每行元素之和為，證明：的每行元素之和為.證明 首先，由行列式的性質(zhì)可知，否則，與為階可逆矩陣矛盾其次，利用向量將“的每行元素之和為”用矩陣的乘法表示為：再將上式兩邊同時左乘，并變形即的每行元素之和為.12設(shè)階矩陣，如果矩陣的秩為，求解 矩陣的行列式的值為，所以當(dāng)時，矩陣的秩為；當(dāng)時，易見矩陣的秩為1；當(dāng)時，所以秩，此時13 設(shè)，若互不相等，求矩陣的秩 解 因?yàn)?，所以對作初等行變換，得由于互不相等，三階子式，而四階子式等于零，故矩陣的秩等于314設(shè)為矩陣，為矩陣，且，試證：.證明 因?yàn)闉榫仃?，為矩陣，所以矩陣是階矩陣，又，利用矩陣秩的關(guān)系，有，故.15階矩陣滿足時，稱為冪等矩陣設(shè)為冪等矩陣，證明：和是可逆矩陣，并求其逆證明 由得，即，故是可逆矩陣，且同理，因?yàn)椋允强赡婢仃?，?16設(shè)為5階方陣，且，求解 因?yàn)椤爱?dāng)階矩陣滿足時，有”，所以由有，從而17設(shè)，求一個矩陣，使得的伴隨矩陣解 由于矩陣的秩為1，且，所以矩陣的秩為2，從而進(jìn)一步有，即的每一列為的解，可令由代數(shù)余子式，可取，同理，可取，這樣可取注意：本題答案不唯一，感興趣的讀者可以嘗試再找一個18證明:任何一個階矩陣都可以表示成為一個可逆矩陣于一個冪等矩陣的乘積.證明 不妨設(shè)為階矩陣，秩為 ，則存在階可逆矩陣使得從而其中，顯然是可逆矩陣，是冪等矩陣.19. 設(shè)矩陣是滿秩的，證明：直線與直線相交于一點(diǎn)證明 令直線與，則它們的方向向量分別為，在兩直線上分別取點(diǎn)，則所以兩直線共面又對矩陣作初等變變換，有因?yàn)榈闹鹊扔?，所以的秩等于3，即不平行，從而兩直線相交于一點(diǎn)總習(xí)題三一、問答題1. 設(shè)非齊次線性方程組和齊次線性方程組（1）若只有零解，能否由此推出有唯一解？若有唯一解，能否由此斷言只有零解？為什么？（2）若有非零解，能否由此推出有無窮多個解？若有無窮多個解，能否由此斷言只有非零解？為什么？答：（1）不能，考慮，只有零解，但無解反之，能夠；（2）不能，考慮，有無窮多組解，但無解反之，能夠2. 在中，任一平面是它的子空間嗎？為什么？答：不一定比如：不能構(gòu)成子空間，因?yàn)橹胁缓阆蛄咳。舱f明不構(gòu)成子空間3. 在中，請利用三向量的位置關(guān)系，理解它們的線性相關(guān)性答：三向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們共面三向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們不共面，即4. 請思考在中，向量的維數(shù)與向量空間的維數(shù)的區(qū)別請問三維空間中可以有四維向量嗎？答：向量的維數(shù)是向量分量的個數(shù)，向量空間的維數(shù)是基向量組含向量的個數(shù)三維空間中可以有四維向量，如生成的是三維空間，其中向量均為四維向量5試從空間三平面的位置關(guān)系理解線性方程組有解判定定理和解的結(jié)構(gòu)定理.答：設(shè)有線性方程組其中每一個方程在空間表示一個平面. 如果方程組無解，則或者三平面平行，或者兩平面重合并與第三個平面平行，或者兩平面平行并與第三個平面相交，或者任意兩平面相交，其交線平行于第三個平面；如果方程組有唯一解，則三平面相交于一點(diǎn)；如果方程組有無窮多個解，則或者三平面重合，或者兩平面重合并與第三個平面相交，或者三平面相交于一條直線.二、單項(xiàng)選擇題1設(shè)線性相關(guān)，線性無關(guān)，則正確的結(jié)論是（ ）.（A）線性相關(guān) （B）線性無關(guān)（C）可由線性表示 （D）可由線性表示解 應(yīng)選（C）直選法 因?yàn)榫€性無關(guān)，所以線性無關(guān)，又線性相關(guān)，故可由線性表示，從而可由線性表示排除法，取特殊向量排除三個選項(xiàng)令，則線性相關(guān)，線性無關(guān)，而線性無關(guān)，排除（A）選項(xiàng)在上述向量組中改令，其余不變，同時排除（B）和（D）選項(xiàng)2齊次線性方程組的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則（ ）（A）且 （B）且（C）且 （D）且解 應(yīng)選（C）因?yàn)榇嬖谌A矩陣，使得，則方程組有非零解，而系數(shù)行列式，故排除（A）和（B）選項(xiàng)又時，由，有，從而，即，應(yīng)選（C）3設(shè)元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，且為線性方程組的三個線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為（ ）. （A） （B）（C） （D）解 應(yīng)選（A）方程組的系數(shù)矩陣的秩為，且為線性方程組的三個線性無關(guān)的解向量，故是的一個基礎(chǔ)解系，四選項(xiàng)中的向量組均為的含3個解向量的向量組，只要它們線性無關(guān)即可以作為一個基礎(chǔ)解系本題可以用直選法，證明線性無關(guān)；也可以用排除法，觀察可知（B）、（C）和（D）選項(xiàng)中的向量組均線性相關(guān)4設(shè)為階矩陣，是的伴隨矩陣，齊次線性方程組有兩個線性無關(guān)的解，則（ ）的解均為的解 的解均為的解與有唯一公共非零解 與無公共非零解解 應(yīng)選（A）齊次線性方程組有兩個線性無關(guān)的解，則，故，即，所以任意維向量均為的解，從而，的解均為的解選（A）5設(shè)向量組是方程組的基礎(chǔ)解系，是方程組的兩個解向量，是任意常數(shù)，則方程組的通解為（ ）. （A） （B）（C） （D）解 應(yīng)選(B)根據(jù)特解要求排除（A）和（D）選項(xiàng)又由題設(shè)不能確定是線性無關(guān)的，排除（C），確定選（B）6設(shè)，其中是初等矩陣，則非齊次線性方程組（ ）(A) 無解 (B) 可能有解 (C) 有無窮多組解 (D) 有唯一解解 應(yīng)選(D) . 因?yàn)槭浅醯染仃?，故可逆，非齊次線性方程組有唯一解7設(shè)，則三條直線，(其中)交于一點(diǎn)的充要條件是（ ） （A）線性相關(guān) （B）線性無關(guān) （C）秩秩 （D）線性相關(guān)，線性無關(guān)解 應(yīng)選(D)三條直線交于一點(diǎn)，即對應(yīng)的方程組有唯一解當(dāng)時，即線性相關(guān)，線性無關(guān)時，有唯一解，選(D)8設(shè)向量組：可由向量組，：線性表示，則（ ）（A）當(dāng)時，向量組必線性相關(guān) （B）當(dāng)時，向量組必線性相關(guān)（C）當(dāng)時，向量組必線性相關(guān) （D）當(dāng)時，向量組必線性相關(guān)解 應(yīng)選(D)建議采用直選方法，實(shí)際上，只用到兩向量組之間的關(guān)系的一個定理：設(shè)兩個向量組，若，則向量組(A)線性相關(guān)注意：本題也可以選擇特殊向量，用排除法 9設(shè)為滿足的任意兩個非零矩陣，則必有（ ）（A）的列向量組線性相關(guān)，的行向量組線性相關(guān)（B）的列向量組線性相關(guān)，的列向量組線性無關(guān)（C）的行向量組線性無關(guān)，的行向量組線性相關(guān)（D）的行向量組線性無關(guān)，的列向量組線性無關(guān) 解 應(yīng)選（A）設(shè)，是的列向量組，則根據(jù)分塊矩陣的乘法運(yùn)算法則，可將改寫為因?yàn)槭欠橇憔仃嚕赃@個等式中至少有一個等式的系數(shù)不全為零，這說明線性相關(guān)將兩邊轉(zhuǎn)置，得，根據(jù)上面的推證，可知的列向量組，即的行向量組線性相關(guān)10設(shè)向量組（）可由向量組（）線性表示，則下列命題正確的是（ ）.(A) 若向量組（）線性無關(guān)，則 (B) 若向量組（）線性相關(guān)，則(C) 若向量組（）線性無關(guān)，則 (D) 若向量組（）線性相關(guān)，則解 應(yīng)選（A）考慮第8題解答中使用定理的逆否命題：如果向量組(A)能由向量組(B)線性表示，且向量組(A)線性無關(guān)，則 三、解答題1設(shè)向量組=,=,=,=,=,=.（1）求,的一個極大線性無關(guān)組；（2）問,能否由,的一個極大線性無關(guān)組線性表示？為什么？解 將排成矩陣，作初等行變換，化為簡化行階梯形矩陣所以，（1） ,可作為一個極大線性無關(guān)組；（2）+；由于對應(yīng)的方程組無解，故不可以2設(shè)向量組試問（1）當(dāng)為何值時，能由唯一的線性表示？ （2）當(dāng)為何值時，不能由線性表示？（3）當(dāng)為何值時，能由線性表示，但表示法不唯一，并寫出表示式.解 （1）當(dāng)，為任何值時，能由唯一的線性表示；（2）當(dāng)，時，不能由線性表示；（3）當(dāng)，時，能由線性表示，且表示法不唯一，此時，其中為任意常數(shù)3已知4階方陣，其中均為4維的列向量，且線性無關(guān)， 若求線性方程組的通解.解 因?yàn)?4階方陣的列向量組中有是線性無關(guān)的，所以，又，即線性相關(guān)，得，故這樣有方程組的通解形式為，又由，可取為方程組的特解，由，可取為導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系.從而，方程組的通解為4已知向量組與具有相同的秩，且能由線性表示，求的值.解 因?yàn)?，所以的秩?，從而，即有又能由線性表示，所以b=5，代入，得 a=155設(shè)向量組；，且，證明：則.證明 因?yàn)椋跃€性無關(guān)，線性相關(guān)，從而可以由線性