高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第3節(jié) 三個(gè)重要的不等式課件 新人教A版選修45.ppt

第三節(jié)三個(gè)重要的不等式 1 理解柯西不等式 排序不等式和貝努利不等式 2 會(huì)用柯西不等式證明不等式和求最值 一 柯西不等式1 二維形式 若a b c d都是實(shí)數(shù) 則 a2 b2 c2 d2 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 等號(hào)成立 2 向量形式 設(shè) 是兩個(gè)向量 則 當(dāng)且僅當(dāng) 是 或存在實(shí)數(shù)k 使時(shí) 等號(hào)成立 ac bd 2 ad bc 零向量 k a1b1 a2b2 anbn 2 ai kbi 三角不等式的幾何意義是什么 提示 記o 0 0 a x1 y1 b x2 y2 則不等式的幾何意義是在 oab中兩邊之和大于第三邊 當(dāng)且僅當(dāng)o a b三點(diǎn)共線 并且點(diǎn)a b在原點(diǎn)o兩旁時(shí)等號(hào)成立 三 排序不等式1 亂序和 反序和與順序和 設(shè)a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn r 且a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn 設(shè)c1 c2 c3 cn是數(shù)列b1 b2 b3 bn的任意一個(gè)排列 則分別將s a1c1 a2c2 a3c3 ancn s1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1 s2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn稱為數(shù)組 a1 a2 a3 an 和數(shù)組 b1 b2 b3 bn 的 與 亂序和 反序和 順序和 2 排序不等式 又稱 設(shè)a1 a2 an b1 b2 b3 bn為兩組實(shí)數(shù) c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 則a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an或b1 b2 bn時(shí) 反序和等于順序和 排序原理 四 貝努利不等式1 如果x是實(shí)數(shù) 且 n為大于1的自然數(shù) 那么有 1 x n 2 設(shè) 為實(shí)數(shù) x 1 如果 則 1 x 1 x 如果 則 1 x 1 x 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 x 1 x 0 1 nx 0 1 0或 1 x 0 答案 a 4 如圖所示 矩形opaq中 a1 a2 b1 b2 則陰影部分的矩形的面積之和 空白部分的矩形的面積之和 填 或 解析 這可沿題圖中線段mn向上翻折比較即知 當(dāng)然由題圖我們可知 陰影面積 a1b1 a2b2 而空白面積 a1b2 a2b1 根據(jù)順序和 反序和可知答案為 答案 等腰直角三角形aob的直角邊長(zhǎng)為1 如圖 在此三角形中任取點(diǎn)p 過p分別引三邊的平行線 與各邊圍成以p為頂點(diǎn)的三個(gè)三角形 圖中陰影部分 求這三個(gè)三角形的面積和的最小值 以及取到最小值時(shí)p的位置 思路點(diǎn)撥 解答本題時(shí)用一個(gè)自變量無法表示三個(gè)三角形面積之和 因此先設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為 xp yp 并確定直線ab的方程 然后結(jié)合圖形用xp yp表示出三個(gè)三角形面積之和 最后用柯西不等式求最值 特別提醒 本題易忽視等號(hào)成立的條件使解題思路受阻 貝努利不等式可把二項(xiàng)