第一章 鞅 第二節(jié) 鞅的基本概念和性質(zhì).doc

第二節(jié) 鞅的基本概念和性質(zhì)定義1-2-1 設(shè)為概率空間，為概率空間上的一族隨機(jī)變量，則稱為概率空間上的隨機(jī)過程。注1-2-1 由隨機(jī)過程的定義知，對固定的，為上的隨機(jī)變量，對固定的，為的函數(shù)。以后設(shè)或。定義1-2-2 設(shè)為概率空間上的隨機(jī)過程，如果（）是 是適應(yīng)的（）（）對則稱為的鞅。如果有（）對則稱為的上鞅。如果有（）對則稱為的下鞅。注1-2-2 如果是上鞅，則為下鞅。如果既是上鞅又是下鞅，則為鞅。注1-2-3 由定義1-2-2的條件可知，如果是鞅，則對,都有。事實(shí)上，取，則，于是所以。如果是下鞅，都有事實(shí)上，取，則所以。同樣地，是上鞅，都有（習(xí)題1-2-1）例1 設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且，是維的Borel可測函數(shù)，令并假設(shè)，。定義隨機(jī)變量的序列為常數(shù)）則是鞅。事實(shí)上，又 因?yàn)?所以是可測的，故又因?yàn)楹褪仟?dú)立的，與也獨(dú)立，故由此知是鞅。這個(gè)例子的直觀意思為，設(shè)賭徒每局贏的概率為，事件表示第n局贏，表示第n局輸，所以假定是獨(dú)立的，而賭者在第n局的策略依賴于以前n-1局的戰(zhàn)績，即賭注是的函數(shù)，我們記之為則第n局的盈虧為這里設(shè)初始賭注為，于是我們可知即，平均地講，凈利的平均值為零。事實(shí)上例2 Doob的鞅過程設(shè)是隨機(jī)變量序列，X是隨機(jī)變量，.令，則是鞅。它 被稱為Doob的鞅過程。事實(shí)上，=又定理1-2-1 設(shè)，是鞅（或下鞅），則（1）是鞅（或下鞅）；（2）是下鞅；（3）是上鞅。證明：（2）設(shè)，則。又，所以，。習(xí)題1-2-2：證明（1）（3）。定理1-2-2 （1）設(shè)是鞅，是定義在上的凸函數(shù)。如果對一切，則是下鞅。（2）設(shè)是下鞅，是定義在上的非降凸函數(shù)。如果對一切，則是下鞅。（3）設(shè)是上鞅，是定義在上的非降凹函數(shù)。如果對一切，則是上鞅。證明：（2）因?yàn)槭窍瞒保砸驗(yàn)榉墙?，又因?yàn)槭峭购瘮?shù)，所以。 習(xí)題1-2-3：證明（1）（3）。推論1-2-1 設(shè)是鞅（或非負(fù)下鞅），且對，可積，則是下鞅。證明：習(xí)題1-2-4推論1-2-2 如果是下鞅，則也是下鞅。這里，