高考數(shù)學(xué) 3.4 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及三角函數(shù)課件.pptVIP

第四節(jié)函數(shù)y asin x 的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用 知識(shí)梳理 1 必會(huì)知識(shí)教材回扣填一填 1 由函數(shù)y sinx的圖象變換得到y(tǒng) asin x a 0 0 的圖象的步驟 縮短 伸長(zhǎng) a 2 用 五點(diǎn)法 作函數(shù)y asin x a 0 0 的圖象的一般步驟 列表 0 a 0 描點(diǎn)畫(huà)圖 在坐標(biāo)系中描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 用光滑的曲線順次連接這些點(diǎn) 就得到y(tǒng) asin x 在一個(gè)周期內(nèi)的圖象 3 簡(jiǎn)諧振動(dòng)y asin x 中的有關(guān)物理量 x 2 必備結(jié)論教材提煉記一記正 余弦函數(shù)的圖象在一個(gè)周期 0 2 內(nèi)的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)分別是 0 0 1 0 1 2 0 0 1 0 1 0 2 1 3 必用技法核心總結(jié)看一看 1 常用方法 由函數(shù)y sinx的圖象經(jīng)過(guò)平移 伸縮變換得到y(tǒng) asin x 的圖象的方法 五點(diǎn)法 作函數(shù)y asin x 的圖象的方法 2 數(shù)學(xué)思想 數(shù)形結(jié)合 轉(zhuǎn)化化歸 3 記憶口訣 左加右減 上加下減 橫向伸長(zhǎng) 周期變大 x的系數(shù)變小 橫向縮短 周期變小 x的系數(shù)變大 小題快練 1 思考辨析靜心思考判一判 1 把y sinx的圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變 橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y sinx 2 正弦函數(shù)y sinx的圖象在 0 2 上的五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是 0 0 1 0 1 2 0 3 利用圖象變換作圖時(shí) 先平移 后伸縮 與 先伸縮 后平移 中平移的長(zhǎng)度一致 4 由圖象求解析式時(shí) 振幅a的大小是由一個(gè)周期內(nèi)的圖象中的最高點(diǎn)的值與最低點(diǎn)的值確定的 解析 1 錯(cuò)誤 橫坐標(biāo)縮短 周期變小 變大 故本題變換后 所得圖象的解析式為y sin2x 2 正確 由正弦函數(shù)y sinx的圖象易知本結(jié)論正確 3 錯(cuò)誤 先平移 后伸縮 的平移單位長(zhǎng)度為 而 先伸縮 后平移 的平移單位長(zhǎng)度為 故當(dāng) 1時(shí)平移的長(zhǎng)度不相等 4 正確 振幅a的值是由最大值m與最小值m確定的 其中答案 1 2 3 4 2 教材改編鏈接教材練一練 1 必修4p55t2改編 為了得到函數(shù)y 2sin x 的圖象 只要把函數(shù)y 2sin x 的圖象上所有的點(diǎn) a 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度b 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度c 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度d 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 解析 選c 根據(jù)函數(shù)圖象的平移法則可知c正確 2 必修4p58t4改編 電流i 單位 a 隨時(shí)間t 單位 s 變化的函數(shù)關(guān)系是i 5sin 100 t t 0 則電流i變化的初相 周期分別是 解析 由初相和周期的定義 得電流i變化的初相是 周期答案 3 真題小試感悟考題試一試 1 2014 四川高考 為了得到函數(shù)y sin 2x 1 的圖象 只需把函數(shù)y sin2x的圖象上所有的點(diǎn) a 向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度b 向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度c 向左平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度d 向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度 解析 選a 將y sin2x的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)y sin 2 x sin 2x 1 故選a 2 2015 柳州模擬 若函數(shù)y sin x 0 的部分圖象如圖 則 a 5b 4c 3d 2 解析 選b 由圖象可知 即 故 4 3 2013 新課標(biāo)全國(guó)卷 函數(shù)y cos 2x 的圖象向右平移個(gè)單位后 與函數(shù)y sin 2x 的圖象重合 則 解析 函數(shù)y cos 2x 的圖象向右平移個(gè)單位 得到y(tǒng) sin 2x 的圖象 即y sin 2x 的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)y cos 2x 的圖象 y sin 2x 的圖象向左平移個(gè)單位 得到y(tǒng) sin 2 x sin 2x sin 2x cos 2x cos 2x 因?yàn)?所以 答案 考點(diǎn)1函數(shù)y asin x 的圖象及變換 典例1 1 2014 重慶高考 將函數(shù)f x sin x 0 圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半 縱坐標(biāo)不變 再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng) sinx的圖象 則f 2 已知函數(shù)y 3sin 用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖象 說(shuō)明此圖象是由y sinx的圖象經(jīng)過(guò)怎么樣的變化得到的 解題提示 1 先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求出 的值 然后求出實(shí)數(shù)f 的值 2 將看成一個(gè)整體 列表得出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) 圖象變換時(shí)先平移后伸縮 規(guī)范解答 1 函數(shù)f x sin x 圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的一半 縱坐標(biāo)不變 則函數(shù)變?yōu)閥 sin 2 x 再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的函數(shù)為所以又因?yàn)?0 可求得 所以f x 所以答案 2 列表 描點(diǎn) 連線 如圖所示 先把y sinx的圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位 得到y(tǒng) sin x 的圖象 再把y sin x 的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍 縱坐標(biāo)不變 得到y(tǒng) sin x 的圖象 最后將y sin x 的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍 橫坐標(biāo)不變 就得到y(tǒng) 3sin x 的圖象 互動(dòng)探究 在本例 2 中 條件不變 作出函數(shù)在 0 4 上的圖象 解析 因?yàn)? x 4 作出函數(shù)在 0 4 上的圖象 所以列表如下 描點(diǎn) 作出函數(shù)圖象如圖 規(guī)律方法 1 在指定區(qū)間 a b 上畫(huà)函數(shù)y asin x 的圖象的方法 1 選取關(guān)鍵點(diǎn) 先求出 x 的范圍 然后在這個(gè)范圍內(nèi)選取特殊點(diǎn) 連同區(qū)間的兩端點(diǎn)一起列表 此時(shí)列表一般是六個(gè)點(diǎn) 2 確定凹凸趨勢(shì) 令 x 0得x x0 則點(diǎn) x0 y0 兩側(cè)的變化趨勢(shì)與y sinx中 0 0 兩側(cè)的變化趨勢(shì)相同 可據(jù)此找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)點(diǎn) 以此把握凹凸趨勢(shì) 2 兩種不同變換思路中平移單位的區(qū)別由y sinx的圖象變換到y(tǒng) asin x 的圖象 兩種變換的區(qū)別 先平移再伸縮 平移的量是 個(gè)單位 而先伸縮再平移 平移的量是 0 個(gè)單位 提醒 平移變換和伸縮變換都是針對(duì)x而言 即x本身加減多少值 而不是依賴(lài)于 x加減多少值 變式訓(xùn)練 已知函數(shù)f x sin x x r 0 的最小正周期為 為了得到函數(shù)g x cos x的圖象 只要將y f x 的圖象 a 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度b 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度c 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度d 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 解析 選a 由題意得 2 所以f x sin 2x g x cos2x sin 2x 將函數(shù)y f x 的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí) y sin 2 x sin 2x cos2x 加固訓(xùn)練 1 將函數(shù)y sin 2x 0 的圖象向左平移個(gè)單位后 所得的函數(shù)恰好是偶函數(shù) 則 的值是 解析 函數(shù)y sin 2x 的圖象向左平移個(gè)單位后 得y sin 2x 則 k k z 又0 故 答案 2 2015 濰坊模擬 已知函數(shù)f x 2sin 2x 1 求f x 的最小正周期和最大值 2 畫(huà)出函數(shù)y f x 在 0 上的圖象 并說(shuō)明y f x 的圖象是由y sin2x的圖象怎樣變換得到的 解析 1 f x 2sin 2x 則f x 的最小正周期t 當(dāng)2x 2k k z 即當(dāng)x k k z 時(shí)f x max 2 2 列表如下 根據(jù)列表 描點(diǎn) 連線 作圖如下 y f x 的圖象是由y sin2x的圖象經(jīng)過(guò)以下變換得到的 先將y sin2x的圖象向左平移個(gè)單位 得到y(tǒng) sin 2x 的圖象 再將y sin 2x 的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍 橫坐標(biāo)不變 得到y(tǒng) 2sin 2x 的圖象 考點(diǎn)2由圖象求解析式 典例2 1 2013 四川高考 函數(shù)f x 2sin x 的部分圖象如圖所示 則 的值分別是 2 2015 銅陵模擬 已知函數(shù)f x asin x b 0 的圖象的一部分如圖所示 求f x 的解析式 求f x 的單調(diào)增區(qū)間 解題提示 1 本題考查的是 對(duì)函數(shù)f x 2sin x 圖象的影響 需要重點(diǎn)關(guān)注的是周期與最大 小 值點(diǎn) 2 由最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)求a和b 由周期求 由最高點(diǎn)的坐標(biāo)求 規(guī)范解答 1 選a 根據(jù)圖象可知所以函數(shù)的周期為 可得 2 根據(jù)圖象過(guò)代入解析式 結(jié)合可得 故選a 2 由圖象可知 函數(shù)的最大值m 3 最小值m 1 則又所以f x 2sin 2x 1 將x y 3代入上式 得sin 1 所以 2k k z 即 2k k z 因?yàn)?所以 所以f x 2sin 2x 1 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 所以函數(shù)f x 的單調(diào)增區(qū)間是 k k k z 易錯(cuò)警示 解答本例 2 有三點(diǎn)容易出錯(cuò) 1 識(shí)別圖象不清 無(wú)法確定a b的值 2 不能從圖象中求出周期 從而求不出 3 忽視 的取值范圍 從而求錯(cuò) 的值 互動(dòng)探究 對(duì)于本例 2 根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f x 的對(duì)稱(chēng)軸及其單調(diào)遞減區(qū)間 解析 由圖象知 函數(shù)f x 的周期是2 函數(shù)f x 的對(duì)稱(chēng)軸是x k z 單調(diào)遞減區(qū)間是 k k k z 規(guī)律方法 確定y asin x b a 0 0 的解析式的步驟 1 求a b 確定函數(shù)的最大值m和最小值m 則 2 求 確定函數(shù)的周期t 則 3 求 常用方法有 代入法 把圖象上的一個(gè)已知點(diǎn)代入 此時(shí)要注意該點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上 或把圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)代入 五點(diǎn)法 確定 值時(shí) 往往以尋找 五點(diǎn)法 中的特殊點(diǎn)作為突破口 具體如下 第一點(diǎn) 即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn) 為 x 0 第二點(diǎn) 即圖象的 峰點(diǎn) 為 x 第三點(diǎn) 即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn) 為 x 第四點(diǎn) 即圖象的 谷點(diǎn) 為 x 第五點(diǎn) 為 x 2 變式訓(xùn)練 2015 鄭州模擬 如圖是函數(shù)y asin x a 0 0 x r 在區(qū)間 上的圖象 為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象 只要將y sinx x r 的圖象上所有的點(diǎn) a 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍 縱坐標(biāo)不變b 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍 縱坐標(biāo)不變c 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍 縱坐標(biāo)不變d 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍 縱坐標(biāo)不變 解析 選a 由圖象知a 1 所以 2 所以f x sin 2x 又圖象過(guò)點(diǎn) 0 由五點(diǎn)法知 所以所以y sin 2x 故將函數(shù)y sinx的圖象先向左平移個(gè)單位后 再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 縱坐標(biāo)不變 可得函數(shù)y sin 2x 的圖象 加固訓(xùn)練 2015 貴州模擬 若函數(shù)f x 的部分圖象如圖 則函數(shù)f x 的解析式以及s f 1 f 2 f 2014 的值分別為 a f x sin 1 s 2014b f x cos 1 s 2014c f x sin 1 s 2014 5d f x cos 1 s 2014 5 解析 選c 根據(jù)已知圖象 可設(shè)f x asin x 1 0 a 0 由t 4得所以所以f x 又f 1 f 2 f 3 f 4 1 5 1 0 5 1 4 所以s f 1 f 2 f 2014 503 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 2 503 4 f 1 f 2 2014 5 2 2015 運(yùn)城模擬 已知向量a cos x sin x sin x b cos x sin x cos x 設(shè)函數(shù)f x a b x r 的圖象關(guān)于直線x 對(duì)稱(chēng) 其中 為常數(shù) 且 1 1 求函數(shù)f x 的最小正周期 2 若y f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 0 求函數(shù)f x 在區(qū)間 0 上的取值范圍 解析 1 因?yàn)閒 x a b cos x sin x cos x sin x sin x cos x sin2 x cos2 x sin x cos x cos2 x sin2 x 2sin 2 x 由直線x 是y f x 圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸 可得sin 2 1 所以2 k k z 即 k z 又 1 k z 所以k 1 故 所以f x 所以f x 的最小正周期是 2 由y f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 0 得f 故故f x 由0 x 有 所以得故函數(shù)f x 在 0 上的取值范圍為 考點(diǎn)3三角函數(shù)圖象性質(zhì)的應(yīng)用知 考情三角函數(shù)的圖象及性質(zhì) 三角函數(shù)模型是高考的重點(diǎn) 與其他知識(shí)交匯考查 三角函數(shù)模型的應(yīng)用是常見(jiàn)考題類(lèi)型 常與函數(shù)的最值 方程的根 平面向量等知識(shí)相結(jié)合 常以選擇 填空 解答題的形式出現(xiàn) 明 角度命題角度1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 典例3 2015 長(zhǎng)沙模擬 函數(shù)f x 的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 a 2b 3c 4d 5 解題提示 在同一個(gè)坐標(biāo)系中 作出函數(shù)和的圖象 觀察后得交點(diǎn)個(gè)數(shù) 規(guī)范解答 選d 函數(shù)的周期由可得x 由 可得x 8 在同一平面直角坐標(biāo)系中 作出函數(shù)和的圖象 如圖所示 易知有5個(gè)交點(diǎn) 故函數(shù)f x 有5個(gè)零點(diǎn) 命題角度2 三角函數(shù)模型的應(yīng)用 典例4 2014 湖北高考 某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度 單位 隨時(shí)間t 單位 h 的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系 f t t 0 24 1 求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差 2 若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫 解題提示 1 將f t 化為y asin x b的形式 可求得這一天的溫度的最大值和最小值 進(jìn)而求得最大溫差 2 由題意可得 當(dāng)f t 11時(shí) 需要降溫 由f t 11 求得即解得t的范圍 可得結(jié)論 規(guī)范解答 1 因?yàn)閒 t 又0 t 24 所以當(dāng)t 2時(shí) 當(dāng)t 14時(shí) 于是f t 在 0 24 上取得最大值12 取得最小值8 故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12 最低溫度為8 最大溫差為4 2 依題意 當(dāng)f t 11時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫 由 1 得f t 故有即又0 t 24 因此即10 t 18 在10時(shí)至18時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫 悟 技法1 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題 通過(guò)數(shù)形結(jié)合求解 2 三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)模型的應(yīng)用體現(xiàn)在兩方面 一是已知函數(shù)模型求解數(shù)學(xué)問(wèn)題 二是把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題 建立數(shù)學(xué)模型 再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題 通 一類(lèi)1 2015 龍巖模擬 某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用函數(shù)y a acos x 6 x 1 2 3 12 來(lái)表示 已知6月份的月平均氣溫最高為28 12月份的月平均氣溫最低為18 則10月份的平均氣溫為 解析 因?yàn)楫?dāng)x 6時(shí) y a a 28 當(dāng)x 12時(shí) y a a 18 所以a 23 a 5 所以y f x 23 5cos x 6 所以當(dāng)x 10時(shí) f 10 23 5cos 4 23 5 20 5 答案 20 5 2 2015 錦州模擬 如圖是函數(shù)f x asin x a 0 0 0 的部分圖象 m n是它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn) d c分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn) 點(diǎn)f 0 1 是線段md的中點(diǎn) 1 求函數(shù)f x 的解析式 2 求函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間 解析 1 由已知f 0 1 是線段md的中點(diǎn) 可知a 2 因?yàn)?t為f x 的最小正周期 所以t 3 所以f x 2sin 3x 設(shè)d點(diǎn)的坐標(biāo)為 xd 2 則由已知得點(diǎn)m的坐標(biāo)為 xd 0 所以xd xd t 則xd 則點(diǎn)m的坐標(biāo)為 0 所以sin 0 因?yàn)? 所以 所以函數(shù)f x 的解析式為f x 2sin 3x 2 由2k 3x 2k k z 得2k 3x 2k k z 得 x k z 所以函數(shù)f x 的單調(diào)遞增區(qū)間為 k z 3 2015 中山模擬 為迎接夏季旅游旺季的到來(lái) 少林寺單獨(dú)設(shè)置了一個(gè)專(zhuān)門(mén)安排游客住宿的客棧 寺廟的工作人員發(fā)現(xiàn)為游客準(zhǔn)備的一些食物有些月份剩余不少 浪費(fèi)很?chē)?yán)重 為了控制經(jīng)營(yíng)成本 減少浪費(fèi) 就想適時(shí)調(diào)整投入 為此他們統(tǒng)計(jì)每個(gè)月入住的游客人數(shù) 發(fā)現(xiàn)每年各個(gè)月份來(lái)客棧入住的游客人數(shù)會(huì)發(fā)生周期性的變化 并且有以下規(guī)律 每年相同的月份 入住客棧的游客人數(shù)基本相同 入住客棧的游客人數(shù)在2月份最少 在8月份最多 相差約400人 2月份入住客棧的游客約為100人 隨后逐月遞增直到8月份達(dá)到最多 1 試用一個(gè)正弦型三角函數(shù)描述一年中入住客棧的游客人數(shù)與月份之間的關(guān)系 2 請(qǐng)問(wèn)哪幾個(gè)月份要準(zhǔn)備400份以上的食物 解析 1 設(shè)該函數(shù)為f x asin x b a 0 0 0 根據(jù)條件 可知這個(gè)函數(shù)的周期是12 由 可知 f 2 最小 f 8 最大 且f 8 f 2 400 故該函數(shù)的振幅為200