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三、簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程【基礎(chǔ)知識(shí)導(dǎo)學(xué)】1、極坐標(biāo)方程的定義:在極坐標(biāo)系中,如果平面曲線(xiàn)C上任一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿(mǎn)足方程,并且坐標(biāo)適合方程的點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上,那么方程叫做曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程。1 直線(xiàn)與圓的極坐標(biāo)方程 過(guò)極點(diǎn),與極軸成角的直線(xiàn)xO極坐標(biāo)議程為以極點(diǎn)為圓心半徑等于r的圓的極坐標(biāo)方程為 【知識(shí)迷航指南】例1求(1)過(guò)點(diǎn)平行于極軸的直線(xiàn)。(2)過(guò)點(diǎn)且和極軸成角的直線(xiàn)。解(1)如圖,在直線(xiàn)l上任取一點(diǎn),因?yàn)椋詜MH|=2在直角三角形MOH中|MH|=|OM|sin即,所以過(guò)點(diǎn)平行于極軸的直線(xiàn)為。(2)如圖 ,設(shè)M為直線(xiàn)上一點(diǎn)。, =3,由已知 ,所以,所以又 在MOA中,根據(jù)正弦定理得 又 將展開(kāi)化簡(jiǎn)可得所以過(guò)且和極軸成角的直線(xiàn)為:點(diǎn)評(píng)求曲線(xiàn)方程,關(guān)鍵是找出曲線(xiàn)上點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件。將它用坐標(biāo)表示。再通過(guò)代數(shù)變換進(jìn)行化簡(jiǎn)。例2(1)求以C(4,0)為圓心,半徑等于4的圓的極坐標(biāo)方程。(2)從極點(diǎn)O作圓C的弦ON,求ON的中點(diǎn)M的軌跡方程。解:(1)設(shè)為圓C上任意一點(diǎn)。圓C交極軸于另一點(diǎn)A。由已知 =8 在直角AOD中,即 , 這就是圓C的方程。(2)由。連接CM。因?yàn)镸為弦ON的中點(diǎn)。所以,故M在以O(shè)C為直徑的圓上。所以,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是:。點(diǎn)評(píng) 在直角坐標(biāo)系中,求曲線(xiàn)的軌跡方程的方法有直譯法,定義法,動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法。在極坐標(biāo)中。求曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程這幾種方法仍然是適用的。例2中(1)為直譯法,(2)為定義法。此外(2)還可以用動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法。請(qǐng)同學(xué)們嘗試用轉(zhuǎn)移法重解之。例3 將下列各題進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化。(1) (2) (3) (4)解:(1)將代入得化簡(jiǎn)得(2) 化簡(jiǎn)得:(3) 。即 所以 ?;?jiǎn)得 。(4)由 即 所以 點(diǎn)評(píng) (1)注意直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化的前提。 (2)由直角坐標(biāo)求極坐標(biāo)時(shí),理論上不是唯一的,但這里約定 (3)由極坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程時(shí),要注意等價(jià)性。如本例(2)中。由于一般約定故表示射線(xiàn)。若將題目改為 則方程化為:解題能力測(cè)試1 判斷點(diǎn)是否在曲線(xiàn)上。2將下列各題進(jìn)行直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化。(1);(2)。3下列方程各表示什么曲線(xiàn)?(1): 。(2): 。(3): 。潛能強(qiáng)化訓(xùn)練極坐標(biāo)方程分別是和的兩個(gè)圓的圓心距是()在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( )A B C D 3在極坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)且垂直于極軸的直線(xiàn)方程為( )A B C D 4 極坐標(biāo)方程 表示的曲線(xiàn)是 ( )A 余弦曲線(xiàn) B 兩條相交直線(xiàn) C 一條射線(xiàn) D 兩條射線(xiàn) 5 已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為 ,則極點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離是: 。6 圓的圓心坐標(biāo)是: 。7 從原點(diǎn)O引直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)M,P為OM上一點(diǎn),已知。求P點(diǎn)的軌跡并將其化為極坐標(biāo)方程。知識(shí)要點(diǎn)歸納1 直線(xiàn),射線(xiàn)的極坐標(biāo)方程。2 圓的極坐標(biāo)方程三、簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程解題能力測(cè)試1、在 2、(1)3、(1)在直角坐標(biāo)下,平行于X軸的直線(xiàn)。(2)在極坐標(biāo)下,表示圓心在極點(diǎn)半徑為a的圓。(3)在極坐標(biāo)下,表示過(guò)極點(diǎn)傾斜
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