高中立體幾何專題：線面角與線線角.doc

本資料來源于七彩教育網(wǎng)線面角與線線角1、異面直線所成的角：（1）范圍：；（2）求法；2、直線和平面所成的角：（1）定義：（2）范圍：；（3）求法；【典型例題】例1：（1）在正方體中，下列幾種說法正確的是 （ ）A、 B、 C、與成角 D、與成角答案：D。解析：A1C1與AD成45，D1C1與AB平行，AC1與DC所成角的正切為。（2）在正方體AC1中，過它的任意兩條棱作平面，則能作得與A1B成300角的平面的個數(shù)為 （ ）A、2個 B、4個 C、6個 D、8個答案：B。解析：平面A1ACC1，平面BB1D1D，平面ABC1D1，平面A1D1CC1。（3）正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1底面邊長是1，側(cè)棱長是，則這個棱柱的側(cè)面對角線E1D與BC1所成的角是 （ ）A90 B60 C45 D30答案：B。解析將BC1平移到E1F即可。 （4）在空間四邊形ABCD中，ABCD，BCDA，那么對角線AC與BD的位置關(guān)系是 。 答案：ACBD。解析：過A作AH平面BCD，垂足為H，因為CDAB，BCAD，所以CDBH，BCDH，故H為BCD的垂心，從而BDCH，可得BDAC。ABCDP（5）點AB到平面距離距離分別為12，20，若斜線AB與成的角，則AB的長等于_ _.答案：16或64。解析：分A、B在平面的同側(cè)和異側(cè)進(jìn)行討論。例3： 如圖, 四棱錐P-ABCD的底面是AB=2, BC=的矩形, 側(cè)面PAB是等邊三角形, 且側(cè)面PAB底面ABCD.() 證明:BC側(cè)面PAB;() 證明: 側(cè)面PAD側(cè)面PAB;() 求側(cè)棱PC與底面ABCD所成角的大小;答案： ()證: 側(cè)面PAB底面ABCD, 且側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB, 在矩形ABCD中, BCAB，.BC側(cè)面PAB. ()證: 在矩形ABCD中, ADBC, BC側(cè)面PAB, AD側(cè)面PAB. 又AD平面PAD, 側(cè)面PAD側(cè)面PAB.()解: 在側(cè)面PAB內(nèi), 過點P做PEAB, 垂足為E, 連結(jié)EC, 側(cè)面PAB與底面ABCD的交線是AB, PEAB, PE底面ABCD. 于是EC為PC在底面ABCD內(nèi)的射影. PCE為側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角. 在PAB和BEC中, 易求得PE=, EC=.在RtPEC中, PCE=45. 例4：設(shè)ABC內(nèi)接于O，其中AB為O的直徑，PA平面ABC。如圖求直線PB和平面PAC所成角的大小.答案：【練習(xí)】1設(shè)正四棱錐SABCD的側(cè)棱長為，底面邊長為，E是SA的中點，則異面直線BE與SC所成的角是（ ）A30B45C60D90答案：C 。解析：連AC、BD交于O，連OE，則OE/SC.2如圖，四面體ABCS中，SA，SB，SC兩兩垂直，SBA=45，SBC=60，M為AB的中點，求：（1）BC與平面SAB所成的角；（2）SC與平面ABC所成角的正弦值。解析：（1）SCSB，SCSA，SC平面SAB。于是SB就是直線BC與平面SAB所成的角，為60。（2）聯(lián)結(jié)SM，CM，在RtSAB中，SBA=45SMAB，AB平面SCM。作SHCM于H，則ABSH，故SH平面ABC，所以SCH為SC與平面ABC所成的角。設(shè)SA=a，則SB=a，SC=，SM=。在RtCSM中，。即SC與平面ABC所成角的正弦值為。9A是BCD所在平面外的點，BAC=CAD=DAB=60，AB=3，AC=AD=2. （）求證：ABCD； （）求AB與平面BCD所成角的余弦值.答案：（）BAC=CAD=DAB=60， AC=AD=2，AB=3， ABCABD，BC=BD.取CD的中點M，連AM、BM，則CDAM，CDBM. CD平面ABM，于是ABBD. （）由CD平面ABM，則平面ABM平面BCD，這樣ABM是AB與平面BCD所成的角.在ABC中，AB=3，AC=2，BAC=60，. 在ACD中，AC=AD=2，CAD=60，ACD是正三角形，AM=. 在RtBCM中，BC=，CM=1，.【練習(xí)】1垂直于同一條直線的兩條直線一定 （ ）A、平行 B、相交 C、異面 D、以上都有可能答案：D。解析：注意空間和平面中的位置關(guān)系的不同。2是兩兩成角的三條射線,則與平面所成角的余弦值是（ ）PBCAA B C D答案：C。解析：可放入正四面中考慮。7已知ACB=900，且在平面內(nèi)，PC與CA、CB所成角PCA=PCB=600,求PC與平面所成角。PBCAEDH答案：解：如圖過點P作PH平面ABC于H，過點H作HDAC于D，作HEBC于E，連PD、PE，PDAC，PEBC，PCA=PCB=600，PCDPCE，CD=CE，HCDHCE，HD=HE，CH平分ACB，設(shè)PC=aPCH=450，即PC與平面所成角為450。3正方體ABCD-ABCD中，點P在側(cè)面BCCB及其邊界上運動，并且總保持APBD,則動點P的軌跡 （ ）A、線段BC B、BB的中點與CC中點連成的線段C、線段BC D、CB中點與BC中點連成的線段答案：A。解析：B1C面BD1C1，P點軌跡為線段B1C。5一個直角三角形的兩條直角邊長為2和4，沿斜邊高線折成直二面角，則兩直角邊所夾角的余弦值為_。答案：。解析：CD為斜邊上的高，設(shè)為二面角的平面角，6在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，ABCD，ADC120，求證：求異面直線AD，PB的所成角；若AB的中點為E，求二面角DPCE的大小。答案：連BD，ADC120，ABCD，DAB60，又，ADBD，又PD面ABCD，PDAD，AD平面PDB，ADPB，即異面直線AD、PB的所成角為90。連DE，由已知可得DEC為正三角形，取DC的中點F，連EF，則EFCD，PD面ABCD，EFPD，EF面PCD，過F作FGPC，連EG，則EGF為二面角DPCE的平面角設(shè)CDa，則，在PDC中，則 （注：本題用空間向量做也可）7 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB=a，BC=CA=AA1=a，A1在底面ABC上的射影O在AC上. （）求AB與側(cè)面AC1所成的角； （）若O恰是AC的中點，求此三棱柱的側(cè)面積.答案：()在ABC中，AB=，BC=AC=a,ABC是等腰直角三角形，BCAC，CAB=45,又BCA1O，故BC側(cè)面AC1，AB與側(cè)面AC1所成角就是BAC=45.（）由（）知四邊形B1BCC1為矩形，中點，于E，連結(jié)A1E，則ABA1E. 在RtAOE中，在RtA1EO中，.8如圖，在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCkPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面ABC()當(dāng)k時，求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；() 當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重