數(shù)學(xué)建模常用的32種方法__18.第十八章 變分法模型.pdf

218 第十八章第十八章 動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型動(dòng)態(tài)優(yōu)化模型 動(dòng)態(tài)過(guò)程的另一類(lèi)問(wèn)題是所謂的動(dòng)態(tài)優(yōu)化問(wèn)題 這類(lèi)問(wèn)題一般要?dú)w結(jié)為求最優(yōu)控制 函數(shù)使某個(gè)泛函達(dá)到極值 當(dāng)控制函數(shù)可以事先確定為某種特殊的函數(shù)形式時(shí) 問(wèn)題又 簡(jiǎn)化為求普通函數(shù)的極值 求解泛函極值問(wèn)題的方法主要有變分法和最優(yōu)控制理論方 法 1 變分法簡(jiǎn)介 變分法是研究泛函極值問(wèn)題的一種經(jīng)典數(shù)學(xué)方法 有著廣泛的應(yīng)用 下面先介紹變 分法的基本概念和基本結(jié)果 然后介紹動(dòng)態(tài)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題求解的必要條件和最大值 原理 1 1 變分法的基本概念 1 1 1 泛函 設(shè)S為一函數(shù)集合 若對(duì)于每一個(gè)函數(shù)Stx 有一個(gè)實(shí)數(shù)J與之對(duì)應(yīng) 則稱(chēng)J是 對(duì)應(yīng)在S上的泛函 記作 txJ S稱(chēng)為J的容許函數(shù)集 通俗地說(shuō) 泛函就是 函數(shù)的函數(shù) 例如對(duì)于xy平面上過(guò)定點(diǎn) 11 yxA和 22 yxB的每一條光滑曲線 xy 繞x軸 旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積是曲線 xy的泛函 xyJ 由微積分知識(shí)不難寫(xiě) 出 dxxyxyxyJ x x 1 2 2 1 2 S 1 容許函數(shù)集可表示為 221121 1 yxyyxyxxCxyxyS 2 最簡(jiǎn)單的一類(lèi)泛函表為 2 1 t t dtxxtFtxJ 3 被積函數(shù)F包含自變量t 未知函數(shù)x及導(dǎo)數(shù) x 1 式是最簡(jiǎn)泛函 1 1 2 泛函的極值 泛函 txJ在Stx 0 取得極小值是指 對(duì)于任意一個(gè)與 0 tx接近的 Stx 都有 0 txJtxJ t 所謂接近 可以用距離 0 txtxd來(lái)度量 而距離定義為 max 000 21 txtxtxtxtxtxd ttt d d 泛函的極大值可以類(lèi)似地定義 0 tx稱(chēng)為泛函的極值函數(shù)或極值曲線 1 1 3 泛函的變分 如同函數(shù)的微分是增量的線性主部一樣 泛函的變分是泛函增量的線性主部 作為 泛函的自變量 函數(shù) tx在 0 tx的增量記為 0 txtxtx G 也稱(chēng)函數(shù)的變分 由它引起的泛函的增量記作 00 txJtxtxJJ G 如果J 可以表為 227 v 轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià) tx及單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi) tu都是時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù) 為了統(tǒng)一 標(biāo)準(zhǔn) 采用它們的貼現(xiàn)值 對(duì)于貼現(xiàn)值的計(jì)算 例如轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià) tx的貼現(xiàn)值計(jì)算 如果 它的貼現(xiàn)因子為 經(jīng)過(guò)單位時(shí)間的單位費(fèi)用貼現(xiàn) 那么由 1 1 1 1 tx tx dt tdx G 解得 1 1 tt etx G 令0 1 t 便得t時(shí)刻單位費(fèi)用的貼現(xiàn) 稱(chēng)貼現(xiàn)系數(shù) 為 t e G 所以設(shè)備在t時(shí)刻轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià) tx的貼現(xiàn)為 t etx G 仿此計(jì)算 tu的貼現(xiàn)為 t etu G 單位時(shí)間產(chǎn)值的貼現(xiàn)為 t etpx G vi 欲確定的轉(zhuǎn)賣(mài)時(shí)間 f t和轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià) f tx都是自由的 2 2 模型構(gòu)造 根據(jù)以上的分析與假設(shè)可知 考察的對(duì)象是設(shè)備在生產(chǎn)中的磨損 保養(yǎng)系統(tǒng) 轉(zhuǎn)賣(mài) 價(jià)體現(xiàn)了磨損和保養(yǎng)的綜合指標(biāo) 可以選作系統(tǒng)的狀態(tài)變量 在生產(chǎn)中設(shè)備磨損的不可 控性強(qiáng) 其微弱的可控性也是通過(guò)保養(yǎng)體現(xiàn) 加之保養(yǎng)本身具有較強(qiáng)的可控性 所以選 單位時(shí)間的保養(yǎng)費(fèi) tu作為控制策略 這樣 生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益模型可以構(gòu)成 為在設(shè)備磨損 保養(yǎng)系統(tǒng)的 轉(zhuǎn)賣(mài)價(jià) 狀態(tài)方程 0 0 xx tutgtm dt tdx 21 之下 在滿足Utu d d 0的函數(shù)集W中尋求最優(yōu)控制策略 tu 使系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益 這一性能指標(biāo) f f t t t f dtetutpxetxtuJ 0 G G 22 為最大 其中 ff txt都是自由的 2 3 模型求解 首先寫(xiě)出問(wèn)題的哈密頓函數(shù) tmtgtmetutpxH t O G 23 再由協(xié)態(tài)方程及邊界條件求出 t O 即由 f f t txf t x et peH dt td G G M O O 解得 t t e p e p t f G G G G O 1 下面利用最大值原理求 tu 先將 23 式改變?yōu)?228 tuetgtmetpxH tt G G O O 顯然 H是對(duì)u的線性函數(shù) 因此得到 0 0 0 t t etg etgU tu G G O O 24 或 0 1 0 0 1 tt t tt t etge p e p etge p e p U tu f f G G G G G G G G G G 25 在上式中 還需解決兩個(gè)問(wèn)題 一是Utu 與0 tu的轉(zhuǎn)換點(diǎn) s t在什么位置 即 s t等于多少 二是 tu是由U到0 還是由0到U 轉(zhuǎn)換點(diǎn) s t應(yīng)滿足 0 1 tt t etge p e p f G G G G G 即 01 1 tge pp f tt G G G 26 從而可解出 s t 因?yàn)?tg是時(shí)間t的減函數(shù) 所以 26 式的左端也是時(shí)間t的減函數(shù) 也就是說(shuō) tu隨時(shí)間應(yīng)由U到 0 于是最優(yōu)控制策略的具體表達(dá)式為 d d fs s ttt ttU u 0 0 至于 f t f tx的求法 請(qǐng)見(jiàn)下面的例子 例 3 在生產(chǎn)設(shè)備的最大經(jīng)濟(jì)效益的問(wèn)題中 設(shè)100 0 x 1 U 2 tm 1 0 p 05 0 G 2 1 1 2 t tg 試求 f t f tx和 tu 解 由 26 式可得求 s t的公式 05 0 2 1 24 1 fs tt s et 27 當(dāng) s tt 時(shí) 1 Utu 狀態(tài)方程為 2 1 1 2 2 t dt dx 當(dāng) s tt 時(shí) 0 tu 狀態(tài)方程為 2 dt dx 229 于是 s tt 時(shí) 有 ttt t s s dtdt t dt dt dx 00 2 1 2 1 2 2 解得 tttx s 296 1 4 2 1 28 由自由邊界條件 ff ttt H M 及 f t f et G O 得 2 f ttt f txeeetpx fff G G G G 于是 40 2 G p tx f 當(dāng) f tt 時(shí) 由 28 式有 fs tt296 1 440 2 1 即 28 1 2 2 1 sf tt 29 將 27 和 29 聯(lián)立求解 編寫(xiě)如下 Matlab 程序 x y solve 1 ts 1 2 4 2 exp 0 05 ts tf tf 2 1 ts 1 2 28 求得 6 10 s t 8 34 f t 于是 最優(yōu)控制策略 保養(yǎng)費(fèi) 為 d d 8 346 10 0 6 100 1 t t tu 習(xí) 題 十 八 1 求自原點(diǎn) 0 0 到直線01 yx的最速降線 2 求概率密度函數(shù) x M 使得信息量 f f dxxxJ ln Q M M 取最大值 且滿足等周條件 1 f f dxx M 22 V M f f dxxx 常數(shù) 3 在生產(chǎn)設(shè)