復(fù)變函數(shù)在解決電磁場問題中的應(yīng)用.doc

盧穎 學(xué)號：11021004 班級：110221復(fù)變函數(shù)在工程中的應(yīng)用復(fù)變函數(shù)論在應(yīng)用方面，涉及的面很廣，有很多復(fù)雜的計(jì)算都是用它來解決的。比如物理學(xué)上有很多不同的穩(wěn)定平面場，所謂場就是每點(diǎn)對應(yīng)有物理量的一個(gè)區(qū)域，對它們的計(jì)算就是通過復(fù)變函數(shù)來解決的。比如俄國的茹柯夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)的時(shí)候，就用復(fù)變函數(shù)論解決了飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題，他在運(yùn)用復(fù)變函數(shù)論解決流體力學(xué)和航空力學(xué)方面的問題上也做出了貢獻(xiàn)。復(fù)變函數(shù)論不但在其他學(xué)科得到了廣泛的應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多分支也都應(yīng)用了它的理論。它已經(jīng)深入到微分方程、積分方程、概率論和數(shù)論等學(xué)科，對它們的發(fā)展很有影響。復(fù)變函數(shù)在解決電磁場問題中的應(yīng)用利用復(fù)變函數(shù)中的一些解析函數(shù)性質(zhì)可以直接表示某些具有導(dǎo)體邊界的二維場。利用復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)的保角變換性質(zhì)，可以將復(fù)雜的場域邊界變換成比較簡單的邊界，這給具有復(fù)雜場域邊界的二維電磁場的求解提供了一種比較簡便的方法。復(fù)變函數(shù)和積分變換在電子信息工程中的應(yīng)用 0 初始條件 y(0)=1, y (0)=2, 輸入信號 x(t)=e-t u(t)，求系統(tǒng)的完全響應(yīng) y(t)。 解: 經(jīng)典方法 (1) 求齊次方程 y(t)+6y(t)+8y(t) = 0 的齊次解 yh(t) 特征方程為 特征根為 齊次解 s 2 + 6s + 8 = 0 s1 = ?2，s2 = ?4 t0 yh (t ) = K1e ?2t + K 2 e ?3t (2) 求非齊次方程 y(t)+6y(t)+8y(t) = x(t)的特解 yp(t) 由輸入 x(t)的形式，設(shè)方程的特解為 yp(t) = Ce-t t0 將特解帶入原微分方程即可求得常數(shù) C=1/3。 (3) 求方程的全解 1 y (t ) = y h (t ) + yp (t ) = Ae ? 2t + Be ? 4 t + e ?t 3 y ( 0) = A + B + 1 =1 3 1 =2 3 解得 A=5/2，B= -11/6 y (0) = ?2 A ? 4 B ? y (t ) = 5 ? 2t 11 ? 4t 1 ?t e ? e + e , t0 2 6 3 拉氏變換方法 s 2Y ( S ) ? Sy (0 ? ) ? y (0 ? ) + 6 sY ( s ) ? y (0 ? ) + 8Y ( s ) = X ( s ) sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 6 y (0 ? ) 1 Y (S ) = + 2 X ( s) 2 s + 6s + 8 s + 6s + 8 sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 6 y(0 ? ) s+8 3 ?2 y zi ( s ) = = = + ( s + 2)(s + 4) ( s + 2)(s + 4) s + 2 s + 2 Yzi (t ) = (3e ?2t ? 2e ?4t )u (t ) 1 1 1 ? 1 Yzs( s ? ) = = 3 + 2 + 6 ( s + 2)( s + 4)( s + 1) s + 1 s + 2 s + 4 1 1 1 y zs (t ) = e ?t ? e ? 2t + e ? 4t 3 2 6 1 5 11 y (t ) = e ?t + e ? 2t ? e ? 4t ; t 0 3 2 6 2.已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為: y (t)+5y (t) +6y (t) =4x(t), t0 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 y(0-) = 1，y (0-) = 3， 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yzi(t)。 解: 經(jīng)典方法 系統(tǒng)的特征方程為 s 2 + 5s + 6 = 0 系統(tǒng)的特征根為 yzi (t ) = K1e ?2t + K 2e ?3t s1 = ?2，s2 = ?3 y(0-)=yzi(0-)=K1+K2=1 y (0-)= yzi(0-)= - 2K1-3K2 =3 解得 K1= 6，K2= -5 yzi (t ) = 6e ?2t ? 5e ?3t , t 0 拉氏變換方法 s 2Y ( s ) ? sy (0 ? ) + 5 sY ( s ) ? y (0 ? ) + 6Y ( s ) = 4 X ( s ) sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 5 y (0 ? ) x( s) Y ( s) = + 2 s 2 + 5s + 6 s + 5s + 6 sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 5 y (0 ? ) s+8 6 ?5 y zi ( s) = = = + ( s + 2)( s + 3) s + 2 s + 3 s 2 + 5s + 6 y zi (t ) = (6e ?2t ? 5e ?3t )u (t ) 3.已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為: y (t)+4y (t) +4y (t) = 2x (t )+3x(t), t0 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 y(0-) = 2，y(0-) = -1，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yzi(t)。 解: 經(jīng)典方法 系統(tǒng)的特征方程為 s 2 + 4s + 4 = 0 系統(tǒng)的特征根為 s1 = s2 = ?2 yzi (t ) = K1e ?2t + K 2te ?2t （兩相等實(shí)根 y(0-)=yzi(0-)=K1=1; y(0-)= y zi(0-)= -2K1+K2 =3 解得 K1 = 2, K2= 3 yzi (t ) = 2e ?2t + 3te ?2t , t 0 拉氏變換方法 s 2Y ( s ) ? sy (0 ? ) ? y (0) + 4 sY ( s ) ? y (0 ? ) + 4Y ( s) = (2 s + 3) X ( s) sy (0 ? ) + y (0 ? ) + 4 y (0 ? ) 2 s + 3 Y (s) = ? X ( s) ( s + 2) 2 ( s + 2) 2 Yzi ( s ) = 2s + 7 3 2 = + ( s + 2) 2 ( s + 2) 2 s + 2 y zi (t ) = 3te ?2t + 2e ?2t , t 0 4.已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為： y (t)+2y (t) +5y (t) = 4x (t )+3x(t), t0 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 y(0-) = 1，y(0-) = 3，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yzi(t)。 解: 經(jīng)典方法 系統(tǒng)的特征方程為 系統(tǒng)的特征根為 s 2 + 2s + 5 = 0 s1 = ?1 + 2 j，s2 = ?1 ? 2 j yzi (t ) = e ? t K1 cos 2t + K 2 sin 2t ) （ y(0-)=yzi(0-)=K1=1 y (0-)= y zi(0-)= -K1+2K2 =3 解得 K1= 1，K2= 2 yzi (t ) = e ?t (cos 2t + 2 sin 2t ), t 0 拉氏變換方法 s 2Y ( s) ? sy (0 ? ) ? y (0 ? ) + 2 sy ( s) ? y (0 ? ) + 5Y ( s ) = (4 s + 3) X ( s) Y（s） = Yzi ( s ) = sy (0?) + y (0?) + 2 y (0?) 4s + 3 + 2 X (s) s 2 + 2s + 5 s + 2s + 5 s+5 s +1 2 = +2 2 2 2 2 ( s + 1) + 2 ( s + 1) + 2 ( s + 1) 2 + 2 2 y zi (t ) = e ? t cos 2t + 2e ? t sin 2t = e ?t (cos 2t + 2 sin 2t )t 0 5.已知某 LTI 系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為： y(t) + 3y(t) = 2x(t) 系統(tǒng)的沖激響應(yīng) h(t) = 2e-3t u(t), x(t) = 3u(t), 試求系統(tǒng)的零狀態(tài) 響應(yīng) yzs(t)。 解： yzs (t ) = x(t ) ? h(t ) = x( ) ? h(t ? )d ? + = 3u ( ) ? 2e ?3( t ? )u (t ? )d ? + ? t 3 ? 2e ?3(t ? ) d ? = ?0 ?0 ? t 0 t0 t 0 dt 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。 解：經(jīng)典方法 當(dāng) x(t) = d (t)時(shí)，y(t) = h(t)，即 dh(t ) + 3h(t ) = 2 (t ) dt 動(dòng)態(tài)方程式的特征根 s = -3, 且 nm, 故 h(t)的形式為 h(t ) = Ae ?3 t u (t ) d Ae ?3t u (t ) + 3 Ae ?3t u (t ) = 2 (t ) dt 解得 A=2 h(t ) = 2e ?3 t u (t ) 拉氏變換解法 sy ( s ) + 3 y ( s ) = 2 X ( s ) (s + 3) y (s) = 2 x( s) H ( s) = y ( s) 2 = x( s ) s + 3 h(t) = 2e -3t u (t ), t 0 7.已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為 dy (t ) + 6 y (t ) = 2 x(t ) + 3 x (t ), t 0 dt 試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。 解：經(jīng)典解法 當(dāng) x(t) = d (t)時(shí)，y(t) = h(t)，即 dh(t ) + 6h(t ) = 2 (t ) + 3 (t ) dt 動(dòng)態(tài)方程式的特征根 s = -6, 且 n=m, 故 h(t)的形式為 h(t ) = Ae ?6 t u (t ) + B (t ) d Ae ? 6t u (t ) + B (t ) + 6 Ae ?6t u (t ) + B (t ) = 2 (t ) + 3 (t ) dt 解得 A= -16, B =3 h(t ) = 3 (t ) ? 16e ?6 t u (t ) 拉氏變換解法 sy ( s ) + 6 y = 2 X ( s ) + 3sX ( s ) ( s + 6)Y ( s ) = (3s + 2) X ( s ) H (s) = 16 Y ( S ) 3s + 2 = 3? = X ( s) s + 6 s+6 h(t ) = 3 (t ) ? 16e ?6t , t 0 分析： 由例題可以看出經(jīng)典方法可和拉氏變換方法都能解決連續(xù)信號 分析： 系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、完全響應(yīng)及沖激響應(yīng)方面的問題。 經(jīng)典方法做題，思路比較簡單，容易想出方法，但是計(jì)算比較繁瑣， 容易出錯(cuò)。用拉氏變換方法思路上稍顯麻煩，但是計(jì)算要簡單得多， 減少了錯(cuò)誤發(fā)生的概率。如果微分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，用經(jīng)典方 法就難以處理，用拉氏變換方法將數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，做起來就 顯得容易很多，既明了又簡潔。如果激勵(lì)信號發(fā)生變化，用經(jīng)典方法 做，就需要全部重新求解，相對與拉氏變換就麻煩的多。如果初始信 號發(fā)生變化，用經(jīng)典方法做題也要全部重新求解，相當(dāng)復(fù)雜。經(jīng)典方 法是一種純數(shù)學(xué)的方法，無法突出系統(tǒng)響應(yīng)的物力概念。拉氏變換相 對的能夠突出系統(tǒng)響應(yīng)的物理概念。具體用那種方法做題，還得依題 而論，如果題目比較簡單，激勵(lì)信號不發(fā)生變化，初始條件不發(fā)生變 化， 就用經(jīng)典方法做題， 因?yàn)榻?jīng)典方法思路比較簡單， 方法比較好想， 減少了做題的時(shí)間。如果題目比較復(fù)雜，或者激勵(lì)信號，初始條件發(fā) 生變化，就用拉氏變換方法，做題步驟簡單，節(jié)省時(shí)間，又減少了錯(cuò) 誤發(fā)生的概率。 2.z 變換在電子信息工程專業(yè)中的應(yīng)用 變換方法均能解決離散信號中的問題， 經(jīng)典解題方法和 z 變換方法均能解決離散信號中的問題， 兩者有 什么優(yōu)缺點(diǎn)呢？ 什么優(yōu)缺點(diǎn)呢？我們通過以下問題進(jìn)行論證 1.已知某線性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為: yk+3yk-1+2yk-2=xk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為 y-1=0， y-2= 1/2， 求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) yzik 。 解： 經(jīng)典解法 系統(tǒng)的特征方程為 系統(tǒng)的特征根為 r 2 + 3r + 2 = 0 r1 = ?1, r2 = ?2 yzi k = C1 (?1) k + C2 (?2) k 1 y?1 = ?C1 ? C2 = 0 2 1 1 y?2 = C1 + C2 = 4 2 解得 C1=1，C2= -2 yzi k = (?1) k ? 2(?2) k k 0 Z 變換解法 Y ( Z ) + 3Z ?1Y ( z ) + y?1 + 2z ?2Y ( s ) + z ?1 ?1 + y?2 = X ( z ) 3 y?1 + 2 z ?1 y?1 + 2 y?2 X ( z) Y ( z) = ? + 1 + 3z ?1 + 2 z ? 2 1 + 3z ?1 + 2 z ? 2 y zi ( z ) = ? 1 1 + 3 z ?1 + 2 z ? 2 = ?1 1 ?2 = + (1 + z ?1 )(1 + 2 z ?1 ) 1 + z ?1 1 + 2 z ?1 y zi k = (?1) k ? 2(?2) k .k 0 2. 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為: yk + 3 yk ? 1 + 2 yk ? 2 = xk 已知 1 xk = 3( ) k uk 2 hk = ?(?1) k + 2(?2) k uk 求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yzs k。 解： 經(jīng)典解法 yzs k = n = ? n xnhk ? n = n = ? 3( 2 ) un?(?1) 1 k ?n + 2(?2) k ? n uk ? n k k 1 1 ? ? ? 3(?1) k (? ) n + 6(?2) k (? ) n , k 0 =? 2 4 n =0 n =0 ?0 k 0 ? = ?2(?1) k + 24 1 1 (?2) k + ( ) k uk 5 5 2 Z 變換解法 X ( z) = 3 ?1 2 ? H ( z) = + ?1 1 1+ z 1 + 2 z ?1 1 ? z ?1 2 Yzs ( z ) = H ( z ) X ( z ) = 3 3 (1 + z )(1 + 2 z ?1 ) 1 ? 1 z ?1 2 ?10 1 ? = 1 (1 + z ?1 )(1 + 2 z ?1 )(1 ? z ?1 ) 2 24 1 ?2 5 = + 5 ?1 + ?1 1 1+ z 1+ 2z 1 ? z ?1 2 y zs k = ?2( ?1) k + 24 1 1 ( ?2) k + ( ) k uk 5 5 2 3. 描述某離散因果 LTI 系統(tǒng)的差分方程為 yk + 3 yk ? 1 + 2 yk ? 2 = xk 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) hk。 解： 經(jīng)典解法 hk滿足方程 hk + 3hk ? 1 + 2hk ? 2 = k 2) 求差分方程的齊次解 特征方程為 特征根為 r 2 + 3r + 2 = 0 r1 = ?1, r2 = ?2 hk = C1 (?1) k + C2 (?2) k , k 0 齊次解的表達(dá)式為 代入初始條件，有 1 h?1 = ?C1 ? C2 = 0 2 h0 = C1 + C2 = 1 解得 C1=-1，C2= 2 hk = ?(?1) k + 2(?2) k uk hk滿足方程 hk + 3hk ? 1 + 2hk ? 2 = k z 變換解法 y ( z ) + 3z ?1 y ( z ) + 2 z ?2 y ( z ) = X ( z ) H ( z) = y( z) 1 = ?1 x( z ) 1 + 3z + 2 z ? 2 ?1 2 = + 1 + z ?1 1 + 2 z ?1 hk = ?(?1) k + 2(?2) k uk 分析： 分析： 由例題可以看出經(jīng)典方法可和 z 變換方法都能解決離散信號系統(tǒng)的 零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、完全響應(yīng)及沖激響應(yīng)，經(jīng)典方法比較容易 的就能得到做題思路， 在比較簡單的題目上， 經(jīng)典方法看似比較簡單， 但是如果題目比較復(fù)雜，例如二階電路分析，或者初始條件，輸入信 號發(fā)生改變，用經(jīng)典方法做起來就要復(fù)雜的多，做題過程相當(dāng)繁瑣， 很容易出現(xiàn)計(jì)算式上的錯(cuò)誤，此時(shí)用 z 變化做簡單多了，想好做題思 路后，過程相當(dāng)簡潔，步驟簡單，減少了計(jì)算上錯(cuò)誤的發(fā)生率又節(jié)省 了時(shí)間。就算在簡單的離散信號分析題目上，z 變換也不比經(jīng)典方法 復(fù)雜多少， 所以應(yīng)該加強(qiáng) z 變換方面的練習(xí)， 盡量用 z 變換方法做題。 總結(jié)： 用復(fù)變函數(shù)與積分變換中的拉氏變換和 z 變換能夠很好的解決 總結(jié)： 信號與系統(tǒng)中的問題可把信號與系統(tǒng)中的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成簡單的代 數(shù)方程，這樣一來就簡化了計(jì)算過程，減少了錯(cuò)誤發(fā)生率，節(jié)省了大 量的時(shí)間。在連續(xù)信號、離散信號，從其零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、 完全響應(yīng)方面， 都可以通過專業(yè)中常用的經(jīng)典方法和復(fù)變函數(shù)與積分 變換中的拉氏變換和 z 變換做出。 但很明顯拉氏變換和 z 變換的方法 要比經(jīng)典方法簡單得多。時(shí)域分析，頻域分析，復(fù)頻域分析方法比經(jīng) 典的常規(guī)方法更明了，簡潔，規(guī)范。就算在電路中，也有很多可以運(yùn) 用復(fù)變函數(shù)與積分變換中的拉斯變換和 z 變換解決的很多問題， 有線 性元件（RLC 等）的電路的時(shí)域方程為線性常系數(shù)微分方程，而這類 電路的分析最終變成了一系列線性常系數(shù)微分方程的求解問題。 當(dāng)微 分方程的階數(shù)大于 2 或者輸入函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)， 方程的求解就變得比 較復(fù)雜起來了。拉氏變換正是簡化這類計(jì)算得有效方法之一。通過拉 氏變換，用電壓、電流對應(yīng)的復(fù)頻域象函數(shù)代替相應(yīng)的時(shí)間函數(shù)，即 可將原線性微分方程變換為相應(yīng)的線性代數(shù)方程， 從而大大簡化電路 方程的求解，減少了錯(cuò)誤發(fā)生的概率，節(jié)省了時(shí)間。因此，得出在本 專業(yè)學(xué)習(xí)中， 復(fù)變函數(shù)與積分變換是一個(gè)簡化做題過程的一個(gè)重要途 徑，是一個(gè)不可缺少的有力教學(xué)工具傅里葉變換的應(yīng)用傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)、編碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量）。傅里葉變換將原來難以處理的時(shí)域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號。傅立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時(shí)序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計(jì)算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時(shí)域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號。從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征。任意的函數(shù)通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對簡單的函數(shù)類：1. 傅立葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),它還是酉算子;2. 傅立葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡單手段;5. 離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;. 著名的卷積定理指出:傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅立葉變換算法(FFT)。正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、信號處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間