談談幾何平均數在計算平均發(fā)展速度中的應用.doc

談談幾何平均數在計算平均發(fā)展速度中的應用 幾何平均數(Geometric mean)，也稱幾何均值，它是n個變量值乘積的n次方根，計算公式為： (1)式中：G為幾何平均數，連乘符號。 幾何平均數是適用于特殊數據的一種平均數，它主要用于計算比率或速度平均。當所掌握的變量值本身是比率的形式，而且各比率的乘積等于總的比率時，就應采用幾何平均法計算平均比率。在實際應用中，幾何平均數主要用于計算社會經濟現象的年平均發(fā)展速度。 當各個變量值出現的次數不同時，計算幾何平均數應采用權數的形式。幾何平均數權數型的計算公式為： (2)式中：f表示各變量值的次數(或權數)，表示次數(或權數)的總和。 平均發(fā)展速度是各個時期環(huán)比發(fā)展速度的平均數，用于描述現象在整個觀察期內平均發(fā)展變化的程度。計算平均發(fā)展速度的方法主要有水平法和累計法，其中水平法是最常用的方法。 計算平均發(fā)展速度的水平法，又稱幾何平均法，它是根據各期的環(huán)比發(fā)展速度采用幾何平均法計算出來的。下面對此方法的計算公式和應用作一剖析。 假定時間數列為。其中為最初水平，為第1期發(fā)展水平，為第2期發(fā)展水平，其它依次類推，為末期發(fā)展水平。 則有：，。上述分別代表各期環(huán)比發(fā)展速度。 另外，我們知道定基發(fā)展速度等于相對應的各期環(huán)比發(fā)展速度的連乘積，即 (3)將分別代入式(3)，得 (4)在式(4)中，假定各期環(huán)比發(fā)展速度均相等，且都為，則式(4)化為： 則得到 (5)式(5)中的實際上就是平均發(fā)展速度，對式(5)繼續(xù)簡化得： (6)把式(3)代入式(6)，也可得出： (7)式(6)和式(7)都是平均發(fā)展速度的常用計算公式。實際上，式(7)就是式(1)即幾何平均數的計算公式。上述的演算過程，事實上就是幾何平均數的推導過程。計算平均發(fā)展速度的水平法，其計算思路是：設最初水平為，以后每期均以的環(huán)比發(fā)展速度發(fā)展，則到n期后達到的理論水平等于其實際水平()。所以，該方法稱其謂“水平法”。按水平法計算的平均發(fā)展速度只取決于最初水平和最末水平，而與中間各期的水平無關，所以不能據此來推算中間各期的水平。實際應用中，如果現象發(fā)展在一定時期內是持續(xù)上漲或下降，且不是大起大落，目的是考核末期的水平，如GDP的變化，人口規(guī)模的變化，可用此方法來計算。另外，水平法同樣有幾何平均數的局限性，不能處理發(fā)展水平出現0或負數的情況。例一、某學院近幾年來的招生規(guī)模不斷擴大，2000年比1999年增長10%，2001年比2000年增長15%，2002年比2001年增長20%，2003年比2002年增長18%，試計算該學院近四年來平均每年的發(fā)展速度和平均每年的增長速度。解：該題告知的是連續(xù)四年的環(huán)比增長速度，應先化為環(huán)比發(fā)展速度，然后利用水平法計算平均發(fā)展速度，再計算平均增長速度。做類似的題目要用多功能的計算器，否則非常困難。采用“”或“”的功能鍵進行演算。 =115.69%平均增長速度=平均發(fā)展速度-100%=115.69%-100%=15.69% 所以，該學院近四年來平均每年的發(fā)展速度為115.69%,平均每年的增長速度為15.69%。例二、某縣1980年年初人口數為32萬，當時計劃到本世紀末(1999年末) 的人口總數控制在45萬人之內，實際到1996年5月15日的人口總數就達到45萬人。問：按原計劃，1980年初到1996年5月15日的人口年平均增長速度為多少？按原計劃，到1996年5月15日止，該縣人口數應該是多少？實際1980年初到1996年5月15日止的人口年平均增長速度為多少？按照1980年初到1996年5月15日的實際增長速度增長，到2000年初，該縣人口數將達到多少萬？解：要計算平均增長速度，則先要計算平均發(fā)展速度。做類似的題目，一定要弄清楚時期數n，否則多算一年或少算一年都達不到預定的結果。該小題盡管問的是1980年初到1996年5月15日，但要計算的還是按原計劃，即1980年年初到1999年末的人口發(fā)展速度。人口數是時點指標，從1980年年初到1999年末間隔20年，所以n=20。利用式(6)計算如下： =1.0172或101.72% 該期內人口年平均增長速度為：101.72%100%=1.72%要計算到1996年5月15日止該縣的人口數，當然它的平均發(fā)展速度是上小題的101.72%，本小題的關鍵是測算1980年年初到1996年5月15日止間隔了多少時間，我們這里仍以年為單位，1980年年初到1995年年底跨了16年，再1996年初到同年5月15日止又有4.5/12年，所以n=16+4.5/12=16.375。利用式(5)計算：到1996年5月15日止的人口數32= 42.3086(萬人) 1980年初到1996年5月15日止跨16.375年，即n=16.375，利用式(6)計算。 =102.10%實際平均增長速度102.10%100%2.10 按照1980年初到1996年5月15日的實際增長速度，即2.10%，則發(fā)展速度為102.10%，可用公式計算： 2000年初的人口數32(1.021)20 48.49(萬人) 例三、某煤礦1995年煤炭產量為25萬噸。規(guī)定“九五” 期間(1996年至2000年) 每年平均增長4%，以后每年平均增長5%，問到2003年煤炭產量將達到什么水平？如果規(guī)定2003年煤炭產量是1995年產量的4倍，且“九五”期間每年平均增長速度為5%，問以后需要每年平均增長速度多少才能達到預定的產量水平？解：本小題分兩個階段，且有不同的平均增長速度。這里也要計算n，1996年至2000年有5年，n1=5；2001年至2003年有3年，n2=3。=251.045 1.053=35.21(萬噸)設后三年的平均增長速度為x，則4=(1.05)5(1+x)3x=46.34%所以后三年平均增長速度要46.34%才能達到預定的產量水平。例四、某地區(qū)1998年底人口數為2000萬人，假定以后每年以9的增長率增長；又假定該地區(qū)1998年糧食量為120億斤，要求2003年平均每人糧食達到800斤，試計算2003年糧食產量應達到多少？糧食產量每年平均增長速度如何？解：先計算該地區(qū)2003年人