陜西省漢中市陜飛二中高三數學二輪復習 專題三第三講 推理與證明課件.ppt

第三講推理與證明 1 合情推理 1 歸納推理 歸納推理是由某類事物的具有某些特征 推出該類事物的都具有這些特征的推理 或者由個別事實概括出的推理 歸納推理的思維過程如下 部分對象 全部對象 一般結論 2 類比推理 類比推理是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征 推出另一類對象也具有這些特征的推理 類比推理的思維過程如下 2 演繹推理 三段論 是演繹推理的一般模式 包括 1 大前提 已知的一般原理 2 小前提 所研究的特殊情況 3 結論 根據一般原理 對特殊情況做出的判斷 3 直接證明 1 綜合法用p表示已知條件 已有的定義 定理 公理等 q表示所要證明的結論 則綜合法可用框圖表示為 2 分析法用q表示要證明的結論 則分析法可用框圖表示為 4 間接證明用反證法證明命題 若p則q 的過程可以用如圖所示的框圖表示 5 數學歸納法用數學歸納法證明與正整數n有關命題的步驟為 1 證明當n取第一個值n0時命題成立 2 假設n k k n0 k n 時命題成立 證明當n k 1時命題也成立 3 得出結論 1 2011 江西 觀察下列各式 72 49 73 343 74 2401 則72011的末兩位數字為a 01b 43c 07d 49解析因為71 7 72 49 73 343 74 2401 75 16807 76 117649 所以這些數的末兩位數字呈周期性出現(xiàn) 且周期t 4 又因為2011 4 502 3 所以72011的末兩位數字與73的末兩位數字相同 故選b 答案b 答案c 3 2011 陜西 觀察下列等式1 12 3 4 93 4 5 6 7 254 5 6 7 8 9 10 49 照此規(guī)律 第n個等式為 解析 1 12 2 3 4 9 32 3 4 5 6 7 25 52 第n個等式為n n 1 3n 2 2n 1 2 答案n n 1 3n 2 2n 1 2 4 2011 福建 設v是全體平面向量構成的集合 若映射f v r滿足 對任意向量a x1 y1 v b x2 y2 v 以及任意 r 均有f a 1 b f a 1 f b 則稱映射f具有性質p 現(xiàn)給出如下映射 f1 v r f1 m x y m x y v f2 v r f2 m x2 y m x y v f3 v r f3 m x y 1 m x y v 其中 具有性質p的映射的序號為 寫出所有具有性質p的映射的序號 解析a x1 y1 b x2 y2 a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 對于 f1 m x y f a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 x1 y1 1 x2 y2 而 f a 1 f b x1 y1 1 x2 y2 f a 1 b f a 1 f b 具有性質p 對于 f2 m x2 y 設a 0 0 b 1 2 a 1 b 1 2 1 f a 1 b 1 2 2 1 2 4 3 而 f a 1 f b 02 0 1 12 2 3 1 又 是任意實數 f a 1 b f a 1 f b 故 不具有性質p 對于 f3 m x y 1 f a 1 b x1 1 x2 y1 1 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 又 f a 1 f b x1 y1 1 1 x2 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 x1 y1 1 x2 y2 1 f a 1 b f a 1 f b 具有性質p 綜上 具有性質p的映射的序號為 答案 推理與證明是數學的基本思維過程 它有機地滲透到高中課程的各個章節(jié) 是高考考查的重點對象 特別是合情推理能力 高考對本部分的內容 主要考查歸納和類比推理以及綜合法 分析法 反證法和數學歸納法等證明方法 考查考生的推理論證能力 所以在復習時要把合情推理作為復習的重點 并且要把各種證明方法的理論搞清楚 明白各種推理論證方法的基本原理和適用環(huán)境 在具體應用中把推理論證方法的理論和實踐結合起來 隨著科學技術的不斷發(fā)展 人類通過計算機已找到了630萬位的最大質數 某同學在學習中發(fā)現(xiàn)由41 43 47 53 61 71 83 97組成的數列中每一個數都是質數 他根據這列數的一個通項公式 得出了數列的后幾項 發(fā)現(xiàn)它們也是質數 于是他斷言 根據這個通項公式寫出的數均為質數 則這個通項公式為 該同學斷言是 的 填 正確 或者 錯誤 合情推理 解析 根據題意知 通項公式an 41 2 4 6 2 n 1 n n 1 41 取n 41 得an 41 41 1681 顯然不是質數 從而該同學斷言是錯誤的 故填an n n 1 41 n n 錯誤 答案 an n n 1 41 n n 錯誤 歸納推理與類比推理之區(qū)別1 歸納推理是由部分到整體 由個別到一般的推理 在進行歸納時 要先根據已知的部分個體 把它們適當變形 找出它們之間的聯(lián)系 從而歸納出一般結論 2 類比推理是由特殊到特殊的推理 是兩類類似的對象之間的推理 其中一個對象具有某個性質 則另一個對象也具有類似的性質 在進行類比時 要充分考慮已知對象性質的推理過程 然后類比推導類比對象的性質 1 1 對大于或等于2的自然數m和n m的n次方冪有如下分解方式 22 1 332 1 3 542 1 3 5 723 3 533 7 9 1143 13 15 17 19根據上述分解規(guī)律 則52 1 3 5 7 9 若m3 m n 的分解中最小的數是73 則m的值為 解析m3的分解中 最小的數為m2 m 1 由m2 m 1 73 得m 9 答案9 2011 陜西 敘述并證明余弦定理 解析 余弦定理 三角形任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦之積的兩倍 或 在 abc中 a b c分別為 a b c的對邊有a2 b2 c2 2bccosa b2 c2 a2 2cacosb c2 a2 b2 2abcosc 演繹推理 演繹推理是由一般到特殊的推理 數學的證明過程主要是通過演繹推理進行的 只要采用的演繹推理的大前提 小前提和推理形式是正確的 其結論一定是正確的 但是 在解決類似的問題時 一定要注意推理過程的正確性與完備性 2 2011 福建 在整數集z中 被5除所得余數為k的所有整數組成一個 類 記為 k 即 k 5n k n z k 0 1 2 3 4 給出如下四個結論 2011 1 3 3 z 0 1 2 3 4 整數a b屬于同一 類 的充要條件是 a b 0 其中 正確結論的個數是a 1b 2c 3d 4 解析由于 k 5n k n z 對于 2011 5等于402余1 2011 1 對于 3 5 2 被5除應余2 錯 對于 任意一整數x 被5除余數為0 1 2 3 4 x 0 1 2 3 4 正確 對于 先證充分性 a b是同一類 可設a 5n1 k b 5n2 k 則a b 5 n1 n2 能被5整除余0 下面證明必要性 若a b 0 則可設a b 5n n z 即a 5n b n z 不妨令b 5m k m z 則a 5n 5m k 5 n m k n z m z a b屬于同一類 故 正確 則正確的有 答案c 直接證明與間接證明 解題切點 1 構造新數列求an與bn 2 利用反證法證明 1 反證法是一種間接證明方法 如果正面證明有困難或者直接證明需要分多種情況而反面證明只有一種情況時 可以考慮用反證法證明 對于題目中出現(xiàn) 至多 至少 均是 不都是 等字眼時 從正面難以找到突破口 可轉換視角 用反證法往往立竿見影 2 綜合法與分析法是直接證明常用的兩種方法 常用分析法尋求解決問題的突破口 然后用綜合法寫出證明過程 3 大小不等的三個圓兩兩外切 半徑成等差數列 試證明以各圓圓心為頂點的三角形的三內角不可能成等差數列 2011 開封模擬 把所有正整數按上小下大 左小右大的原則排成如圖所示的數表 其中第i行共有2i 1個正整數 設aij i j n 表示位于這個數表中從上往下數第i行 從左往右數第j個數 1 若aij 2010 求i和j的值 2 記an a11 a22 a33 ann n n 試比較an與n2 n的大小 并說明理由 123456789101112131415 數學歸納法 解題切點 1 首先根據各行數字的個數推斷2010所在的行 然后推斷2010是這行中的第幾個數 2 ann 2n 1 n 1 求和后歸納an與n2 n的大小 解析 1 因為數表中前i 1行共有1 2 22 2i 2 2i 1 1個數 則第i行的第一個數是2i 1 所以aij 2i 1 j 1 因為210 2010 211 aij 2010 則i 1 10 即i 11 令210 j 1 2010 則j 2010 210 1 987 1 數學歸納法可證明一些與自然數n有關的命題 在證明時 要注意對命題的等價轉化 一般是利用公式 把所要證明的問題轉化到已知或歸納假設上來 必要時轉化要證明的結論 2 在用數學歸納法證明的第2個步驟中 突出了兩個湊字 一 湊 假設 二 湊 結論 關鍵是明確n k 1時證明的目標 充分考慮由n k到n k 1時 命題形式之間的區(qū)別和聯(lián)系 4 試比較nn