立體幾何專題方法.doc

二面角問題的求解方法對不同的求二面角的問題，可以用不同的方法來解決?？傮w上來講，可以分為四種方法，分別是：概念法、空間變換法、空間向量法、另類方法。1概念法:顧名思義，概念法指的是利用概念直接解答問題。例1：如圖所示，在四面體中，,。求二面角的大小。解：設(shè)線段的中點是，接和。根據(jù)已知的條件，可以知道且。又是平面和平面的交線。根據(jù)定義，可以得出：即為二面角的平面角。可以求出，并且。根據(jù)余弦定理知：即二面角的大小為。同樣，例2也是用概念法直接解決問題的。例2：如圖所示，是正方形，求二面角的大小。解：作輔助線于點，連接、。由于，所以。即。由于，所以即為所求的二面角的大小。通過計算可以得到：，又，在三角形中可以計算得到。由此可以得到：，又。由余弦定理： 即：。2空間變換法:空間變換法指的是基本的空間方法，包括三垂線法、補角法、垂面法、切平面法等方法。下面用例3介紹三垂線法、補角法和垂面法。例3：如圖所示，現(xiàn)有平面和平面，它們的交線是直線，點在平面內(nèi)，點在平面內(nèi)。求二面角的大小。分析：過點作輔助線垂直于，作垂直于平面于點。2.1補角法:直接求解二面角的大小是有些困難的，那么可以先求解二面角。因為二面角與二面角是互補的關(guān)系，現(xiàn)在先求出二面角后，二面角的大小就很容易計算了。2.2三垂線法:由于，平面。那么根據(jù)三垂線定理可以得知：在平面內(nèi)的射影垂直于兩平面的交線。即且，根據(jù)定義可知，二面角的大小即為的大小。那么二面角的大小可以用補角法得到。2.3切平面法:切面法的基本思想是做一個垂面，它垂直于兩個平面的交線，在所得的圖形中就可以很容易觀察與計算二面角。如圖4所示，可以作平面垂直于兩個平面的交線，平面與平面的交線是，平面與平面的交線是，根據(jù)二面角的定義知即為所求二面角的補角，根據(jù)補角法，可以求出二面角的大小。 下面用例4來詳細(xì)講解一下切平面法。例4： 在圖中，。其中，。是的中點，。求二面角的大小。解：由于是的中點，且是等腰三角形，那么。又，可以推出：。所以：。又，則，所以?？梢缘贸觯菏呛偷墓睬衅矫?。由此，根據(jù)切平面法知即為所求二面角的平面角。由于，那么：，。又：。在三角形中根據(jù)余弦定理可知：那么。即求二面角的大小是。2.4補形法:以上講解了三垂線法、補角法和垂面法三種空間變換法，通過例子講解補形法。例5：在圖6中，四邊形是一個直角梯形，其中，。求平面與平面所成二面角的大小。解：延長直線與，它們相交于點，連接。由題意可知，平行于，的長度是的一半，且，那么，。在三角形中，。那么根據(jù)勾股定理可知，即。，且是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理知：。又，即即為所求的二面角。在中，。那么。即：所以平面與平面所成二面角的大小是。在有些問題中，所給的圖形不是能夠很好觀測到二面角的平面角，可以通過補形的方法來觀測二面角的平面角。在例5中，很好的運用了補形法和三垂線法來解決問題，這也告訴我們，可以在一個問題中使用多種方法來達到解決問題目的。4.4另類方法:比較常用的另類方法是四面體體積法、角度法和面積攝影法。4.4.1四面體體積法例8：如圖9所示，在空間四面體中，四面體的所有棱長都是1，求二面角的大小。圖9分析：過點作輔助線平面于點，過點作輔助線于點，連接直線，。由于四面體是一個正四面體,即為所求二面角。（也可以推導(dǎo)出當(dāng)四面體不是正四面體時同樣是所求的二面角）正四面體的棱長是1，可以求出正四面體的體積是根據(jù)已知條件可知：， 可以求出：，即：。當(dāng)四面體不是正四面體時也可以用這種方法求解，只需要知道體積、兩個面的面積、公共邊的長度就可以解出二面角的大小了。4.4.2角度法例9：如圖10所示，以點為頂點的三條射線分別是、，其中、的夾角是，、的夾角是，、的夾角是?，F(xiàn)在要求二面角的大小。圖10分析：現(xiàn)在設(shè)，并且（由于、的長度沒有給出，這樣的假設(shè)是合理可行的），那么即為所求二面角的大小。根據(jù)已知條件可以得到：， , ， 又, 將、帶入得到：在三角形中, 即：通過這種方法，可以在沒有任何長度條件的情況下求解出二面角的大小，因此，該方法是一個比較特殊實用的方法。4.4.3面積射影法例10：如圖11所示，在空間直角坐標(biāo)系中，點、分別在、軸上，現(xiàn)在要求二面角的大小。圖11分析：作并且