高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習考案 7.1 直線方程與兩直線的位置關(guān)系課件 .ppt

7 1直線方程與兩直線的位置關(guān)系 從近幾年高考試題來看 直線方程的考查主要與平行 垂直的條件以及直線與圓的位置關(guān)系相結(jié)合進行 兩條直線的平行與垂直 點到直線的距離 兩點間的距離等是高考的熱點 題型主要是選擇題 填空題 難度為中 低檔 突出 小而巧 的特點 主要考查對概念的理解及運算能力 可以預(yù)測2013年高考仍將以兩條直線的平行與垂直 點到直線的距離 兩點間的距離為主要考點 重點考查運算能力與分析問題 解決問題的能力 考查分類討論 數(shù)形結(jié)合等思想方法的靈活運用 一 直線的傾斜角和斜率 1 直線方程的概念 以一個方程的解為坐標的點都是某條直線上的點 反過來 這條直線上的點的坐標都是這個方程的解 這時 這個方程就叫做這條直線的方程 這條直線叫做這個方程的直線 2 直線的傾斜角與斜率 在平面直角坐標系中 對于一條與x軸相交的直線 如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為 那么 就叫做直線的傾斜角 當直線和x軸平行或重合時 我們規(guī)定直線的傾斜角為0 3 傾斜角的取值范圍是0 180 傾斜角不是90 的直線 它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率 常用k表示 4 斜率公式 經(jīng)過兩點p1 x1 y1 p2 x2 y2 的直線的斜率公式 k x2 x1 二 直線方程的幾種形式 三 兩直線平行與垂直 1 特殊情況下的兩直線平行與垂直 當兩條直線中有一條沒有斜率時 1 當另一條的斜率也不存在時 兩直線互相平行 2 當另一條直線的斜率為0時 兩直線互相垂直 2 斜率存在時兩直線的平行與垂直 1 兩條直線有斜率且不重合 如果它們平行 那么它們的斜率相等 反之 如果它們的斜率相等 則它們平行 即l1 l2 k1 k2且b1 b2 若直線l1 l2的方程為l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 a1b1c1 0 a2b2 c2 0 則l1 l2 2 兩條直線垂直的情形 如果兩條直線的斜率分別是k1和k2 則這兩條直線垂直的充要條件是k1k2 1 若直線l1和l2的一般式方程為l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 則l1 l2 a1a2 b1b2 0 3 兩條直線是否相交的判斷 兩條直線是否有交點 就要看這兩條直線方程所組成的方程組 是否有唯一解 四 距離公式 1 點p x0 y0 到直線l ax by c 0的距離為 d 2 已知兩條平行直線l1和l2的一般式方程為l1 ax by c1 0 l2 ax by c2 0 則l1與l2的距離為d 1 點p x0 y0 關(guān)于定點a a b 的對稱點為 2a x0 2b y0 曲線c f x y 0關(guān)于點a a b 的對稱曲線方程為f 2a x 2b y 0 2 若求點p0 x0 y0 關(guān)于直線l ax by c 0的對稱點p x y 可應(yīng)用方程組 3 直線關(guān)于點對稱和直線關(guān)于直線對稱 可以轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點對稱和點關(guān)于直線對稱來求解 五 對稱問題 1 過點m 2 m n m 4 的直線的斜率等于1 則m的值為 a 1 b 4 c 1或3 d 1或4 答案 a 解析 由于k 1 4 m m 2 m 1 2 若三條直線y 2x x y 3 mx ny 5 0相交于同一點 則點 m n 可能是 a 1 3 b 3 1 c 3 1 d 1 3 答案 a 3 已知點 a 2 a 0 到直線l x y 3 0的距離為1 則a等于 a b 2 c 1 d 1 答案 c 解析 由題意知 1 解之得a 1 舍去 或a 1 故應(yīng)選c 4 若ab 0 且a a 0 b 0 b c 2 2 三點共線 則ab的最小值為 答案 16 解析 由題意根據(jù)a a 0 b 0 b 確定直線的方程為 1 又c 2 2 在該直線上 故 1 所以 2 a b ab 又ab 0 故a 0 b 0 根據(jù)基本不等式ab 2 a b 4 從而 0 舍去 或 4 故ab 16 即ab的最小值為16 題型1直線的傾斜角和斜率 例1直線2xcos y 3 0 的傾斜角的范圍是 a b c d 分析 先求斜率的范圍 再求傾斜角的范圍 答案 b 解析 直線2xcos y 3 0的斜率k 2cos 由于 因此k 2cos 1 設(shè)直線的傾斜角為 則有tan 1 由于 0 所以 故選b 點評 直線的傾斜角 和斜率 可以 知一求一 當 時 斜率k不存在 當 0時 k 0 當00 當 時 k 0 變式訓(xùn)練1已知點a 1 5 b 3 2 直線l的傾斜角是直線ab的傾斜角的2倍 則直線l的斜率為 a b c d 答案 b 題型2直線的方程 例2 1 過點 1 3 且平行于直線x 2y 3 0的直線方程為 a x 2y 7 0 b 2x y 1 0 c x 2y 5 0 d 2x y 5 0 2 經(jīng)過點a 5 2 且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程是 分析 結(jié)合所給條件選擇適當?shù)闹本€方程形式求解 解析 1 所求直線的斜率為 故其方程為y 3 x 1 即x 2y 7 0 2 設(shè)直線在x軸上的截距為2a 則其在y軸上的截距為a 當a 0時 直線的斜率k 此時 直線方程為y x 即2x 5y 0 當a 0時 點a 5 2 在直線 1上 得a 此時 直線方程為x 2y 1 0 綜上所述 所求直線的方程為x 2y 1 0或2x 5y 0 答案 1 a 2 x 2y 1 0或2x 5y 0 點評 求直線方程的方法主要有以下兩種 1 直接法 根據(jù)已知條件 選擇適當?shù)闹本€方程形式 直接寫出直線方程 2 待定系數(shù)法 先設(shè)出直線方程 再根據(jù)已知條件求出待定系數(shù) 最后代入求出直線方程 變式訓(xùn)練2 abc的三個頂點為a 3 0 b 2 1 c 2 3 求 1 bc邊所在直線的方程 2 bc邊上中線ad所在直線的方程 3 bc邊上的垂直平分線de的方程 題型3兩直線的平行與垂直 例3已知兩條直線l1 ax by 4 0和l2 a 1 x y b 0 求滿足下列條件的a b的值 1 l1 l2 且l1過點 3 1 2 l1 l2 且坐標原點到這兩條直線的距離相等 分析 兩直線的位置關(guān)系如何用直線方程的系數(shù)來反映 是解題的切入點 2 l2的斜率存在 l1 l2 直線l1的斜率存在 k1 k2 即 1 a 坐標原點到這兩條直線的距離相等 且l1 l2 l1 l2在y軸上的截距互為相反數(shù) 即 b 聯(lián)立 解得或 點評 研究直線的平行與垂直問題 通常需要討論直線的斜率是否存在 變式訓(xùn)練3已知兩直線l1 mx 8y n 0和l2 2x my 1 0 試確定m n的值 使 1 l1與l2相交于點p m 1 2 l1 l2 3 l1 l2 且l1在y軸上的截距為 1 題型4兩直線的交點與距離問題 例4 1 求經(jīng)過兩直線l1 x 2y 4 0和l2 x y 2 0的交點p 且與直線l3 3x 4y 5 0垂直的直線l的方程 2 已知a 4 3 b 2 1 和直線l 4x 3y 2 0 在坐標平面內(nèi)求一點p 使 pa pb 且點p到直線l的距離為2 分析 1 思路一 求交點 定斜率 用點斜式求解 思路二 利用直線系方程求解 2 pa pb 等價于點p在ab的垂直平分線上 解析 法一 由方程組得 即p 0 2 l l3 kl 直線l的方程為y 2 x 即4x 3y 6 0 法二 直線l過直線l1和l2的交點 可設(shè)直線l的方程為x 2y 4 x y 2 0 即 1 x 2 y 4 2 0 l與l3垂直 3 1 4 2 0 11 直線l的方程為12x 9y 18 0 即4x 3y 6 0 2 設(shè)點p的坐標為 a b a 4 3 b 2 1 線段ab的中點m的坐標為 3 2 而ab的斜率kab 1 線段ab的垂直平分線方程為y 2 x 3 即x y 5 0 點p a b 在上述直線上 a b 5 0 又點p a b 到直線l 4x 3y 2 0的距離為2 2 即4a 3b 2 10 由 聯(lián)立可得或 所求點p的坐標為 1 4 或 點評 求與已知兩直線的交點有關(guān)的問題 有兩種方法 1 先求出兩直線交點 將問題轉(zhuǎn)化為過定點的直線 然后再利用其他條件求解 2 運用過兩直線交點的直線系方程 設(shè)出方程后再利用其他條件求解 變式訓(xùn)練4已知點p 2 1 1 求過p點且與原點距離為2的直線l的方程 2 求過p點且與原點距離最大的直線l的方程 最大距離是多少 3 是否存在過p點且與原點距離為6的直線 若存在 求出方程 若不存在 請說明理由 2 作圖可得過p點與原點o距離最大的直線是過p點且與po垂直的直線 如圖 由l op 得klkop 1 所以kl 2 由直線方程的點斜式得y 1 2 x 2 即2x y 5 0 即直線2x y 5 0是過p點且與原點o距離最大的直線 最大距離為 op 3 由 2 可知 過p點不存在到原點距離超過的直線 因此不存在過p點且到原點距離為6的直線 題型5直線方程的綜合應(yīng)用 例5已知直線l過點m 2 1 且分別與x軸 y軸的正半軸交于a b兩點 o為原點 1 當 abo面積最小時 求直線l的方程 2 當 ma mb 取得最小值時 求直線l的方程 分析 先設(shè)出直線l的方程 再求出a b兩點的坐標 表示出 abo的面積 然后利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識求最值 點評 利用直線方程解決問題時 為簡化運算要靈活選用直線方程的形式 一般地 已知一點通常選擇點斜式 已知斜率選擇斜截式或點斜式 已知截距選擇截距式 變式訓(xùn)練5已知直線l過點p 3 2 且與x軸 y軸的正半軸分別交于a b兩點 求l在兩軸上的截距之和最小時直線l的方程 題型6對稱問題 例6已知直線l 2x 3y 1 0 點a 1 2 求 1 點a關(guān)于直線l的對稱點a 的坐標 2 直線m 3x 2y 6 0關(guān)于直線l的對稱直線m 的方程 分析 兩點關(guān)于直線l對稱等價于兩點連線段被直線l垂直平分 直線關(guān)于直線對稱轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱 點評 兩直線l1 l2關(guān)于直線l的對稱問題也可先在所求直線l1上任取一動點p x y p關(guān)于直線l的對稱點設(shè)為q x0 y0 則q在直線l2上 利用pq被直線l垂直平分 將q點坐標用p點坐標表示 再利用q點坐標滿足直線l2的方程求出p點坐標滿足的方程即所求的直線l1的方程 這種方法叫做坐標轉(zhuǎn)移法 或代入法 變式訓(xùn)練6 1 求直線3x y 4 0關(guān)于點p 2 1 對稱的直線l的方程 2 求直線a 2x y 4 0關(guān)于直線l 3x 4y 1 0對稱的直線b的方程 解得 b 10或b 4 舍去 所求直線l的方程為3x y 10 0 2 設(shè)直線b上的動點p x y 關(guān)于l 3x 4y 1 0的對稱點為q x0 y0 則有 解得x0 y0 由于q x0 y0 在直線a 2x y 4 0上 則 2 4 0 化簡得2x 11y 16 0即為所求直線b的方程 1 解決有關(guān)直線方程的綜合題 要根據(jù)題目給出的條件靈活選用直線方程的形式 且要注意題目中的隱含條件 2 求直線方程的基本方法包括利用條件直接求直線的基本量和利用待定系數(shù)法求直線的基本量 3 研究最值問題時 可以從幾何圖形入手 找到最值時的情形 也可以從代數(shù)角度考慮 構(gòu)建目標函數(shù) 進而轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的最值問題 直線的斜率不存在 另一條直線的斜率是非零實數(shù)時 則兩直線相交但不垂直 5 中心對稱和軸對稱 1 中心對稱 點p x y 關(guān)于o a b 的對稱點為p x y 滿足 直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決 4 不重合的兩條直線 當兩直線的斜率均不存在時 兩直線平行 當一條直線的斜率不存在 另一條直線的斜率為0時 兩直線垂直 當一條 直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決 2 軸對稱 點a a b 關(guān)于直線ax by c 0 b 0 的對稱點為a m n 則有 1 2010年山東卷 已知圓c過點 1 0 且圓心在x軸的正半軸上 直線l y x 1被圓c所截得的弦長為2 則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為 答案 x y 3 0 2 2011年安徽卷 在平面直角坐標系中 如果x與y都是整數(shù) 就稱點 x y 為整點 下列命題中正確的是 寫出所有正確命題的編號 存在這樣的直線 既不與坐標軸平行又不經(jīng)過任何整點 如果k與b都是無理數(shù) 則直線y kx b不經(jīng)過任何整點 直線l經(jīng)過無窮多個整點 當且僅當l經(jīng)過兩個不同的整點 直線y kx b經(jīng)過無窮多個整點的充分必要條件是 k與b都是有理數(shù) 存在恰經(jīng)過一個整點的直線 答案 解析 正確 比如直線y x 當x取整數(shù)時 y始終是一個無理數(shù) 錯 直線y x 中k與b都是無理數(shù) 但直線經(jīng)過整點 1 0 正確 當直線經(jīng)過兩個整點時 它經(jīng)過無數(shù)多個整點 錯誤 當k 0 b 時 直線y 不通過任何整點 正確 比如直線y x 只經(jīng)過一個整點 1 0 例1已知點a 2 3 b 3 2 直線l過點p 1 1 且與線段ab有交點 設(shè)直線l的斜率為k 則k的取值范圍是 a k 或k 4 b 4 k c k 或k d k 4 答案 a 解析 如圖所示 過點b 3 2 p 1 1 的直線斜率為k1 過點a 2 3 p 1 1 的直線斜率為k2 4 使過點p的直線l與線段ab有交點 則直線l的斜率應(yīng)滿足k 或k