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統(tǒng)計教學(xué)素材一、教學(xué)目的:通過本章的學(xué)習(xí),使學(xué)生明確小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率的教育價值,了解其內(nèi)容構(gòu)成及目標要求,了解兒童學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率知識的主要特征,掌握小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率教學(xué)的過程與方法。二、教學(xué)重點、難點重點是小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率教學(xué)的過程與方法;難點是小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率教學(xué)設(shè)計。三、教學(xué)內(nèi)容:小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率教學(xué)概述、兒童學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率知識的主要特征、小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率教學(xué)的過程與方法。9.1 小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率教學(xué)概述傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)課程體系中,只是在高年級編了一些簡單的統(tǒng)計圖表的知識,并且往往主要是將其當(dāng)作工具性知識來學(xué)習(xí)的,因而也就將重點放在一些諸如繪制統(tǒng)計圖表等的操作技能。而實際上,這部分知識不僅僅是一種技術(shù),更是認識現(xiàn)實世界與處理日常生活的一種思想方法。9.1.1 “統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的教育價值(一)有助于培養(yǎng)學(xué)生以隨機的觀點來理解世界,形成正確的世界觀和方法論在以信息和技術(shù)為基礎(chǔ)的社會里,數(shù)據(jù)日益成為一種重要的信息。為了更好地理解世界,人們必須學(xué)會處理各種信息,尤其是數(shù)字信息,收集、整理與分析信息的能力已經(jīng)成為信息時代每一個公民基本素養(yǎng)的一部分。日常生活中,我們經(jīng)常會聽到“某地區(qū)受災(zāi)面積達到50%”“估計第三世界人口的增長率為每年4%”“這場足球賽,巴西隊贏的可能性比較大”“坐火車旅游比較安全”“今天長沙地區(qū)的降水概率為60%”“買醫(yī)療保險對我有利”等語言,這實際上就是人們對客觀世界中某些現(xiàn)象的一種描述,其中都涉及大量的數(shù)據(jù)。面對這些數(shù)據(jù),人們就要作出分析和判斷。也就是說,人們常常需要對大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷。隨著社會的不斷發(fā)展,統(tǒng)計與概率的思想方法將越來越重要。統(tǒng)計與概率所提供的“運用數(shù)據(jù)進行推理”的思考方法已經(jīng)成為現(xiàn)代社會一種普遍適用并且強有力的思維方式。因此,義務(wù)教育階段使學(xué)生熟悉統(tǒng)計與概率的基本思想方法,從而使他們逐步形成統(tǒng)計觀念,進而形成尊重事實、用數(shù)據(jù)說話的態(tài)度。不僅如此,讓學(xué)生了解隨機現(xiàn)象,將有助于他們形成科學(xué)的世界觀與方法論。(二)有助于發(fā)展學(xué)生解決問題的能力在學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率的過程中,將會涉及解決問題、計算、推理,以及整數(shù)、分數(shù)、比值等知識,這實際上是在學(xué)習(xí)新知識的同時復(fù)習(xí)和運用過去的舊知識,發(fā)展學(xué)生解決問題的能力。(三)有助于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極情感體驗統(tǒng)計與概率這一領(lǐng)域的內(nèi)容對學(xué)生來說是充滿趣味和吸引力的。動手收集與呈現(xiàn)數(shù)據(jù)是一個活動性很強并且充滿挑戰(zhàn)和樂趣的過程,做概率游戲本身就是對思維的一種挑戰(zhàn),也是一個非常有趣的過程,這有助于培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的積極情感體驗。9.1.2 “統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容構(gòu)成及目標要求統(tǒng)計與概率是隨著新一輪基礎(chǔ)教育課程改革,在小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準中重新組織進去的一個模塊,尤其是增加了“概率”部分,因此,與傳統(tǒng)的“統(tǒng)計初步”內(nèi)容有著根本性的區(qū)別。(一)課程內(nèi)容“統(tǒng)計與概率”的課程內(nèi)容,在數(shù)學(xué)意義上是一個整體,它們都是通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析與描述,獲得一些整體性規(guī)律的認識,從而幫助人們對某些事件作出合理的推斷與科學(xué)的預(yù)測。因此,兩者在知識上構(gòu)成相互關(guān)聯(lián)的關(guān)系,例如,要認識某些隨機現(xiàn)象,就必須運用某些統(tǒng)計的知識;而選用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ占恍?shù)據(jù),并對其進行統(tǒng)計學(xué)的處理后,人們就有可能從一些隨機現(xiàn)象中尋找到某些規(guī)律性的認識??梢姡鼈兌际菍⒅匦姆旁趯?shù)據(jù)意義的認識以及對數(shù)據(jù)收集的處理的能力上面。因此,在小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)中,通常將這兩部分內(nèi)容融合在一起。具體地看,小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)中的“統(tǒng)計與概率”主要有如下一些基本部分構(gòu)成:(1)知道數(shù)據(jù)在描述、分析、預(yù)測以及解決一些日常生活中的現(xiàn)象與問題的價值。(2)學(xué)會一些簡單的數(shù)據(jù)收集、整理、分析、處理和利用的基本的能力。(3)會解讀和制作一些簡單的統(tǒng)計圖表。(4)認識一些隨機現(xiàn)象,并能運用適當(dāng)?shù)姆椒▉眍A(yù)測這些隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性。(二)目標要求數(shù)學(xué)課程標準將“統(tǒng)計與概率”這部分知識的基本目標,按課程目標和內(nèi)容目標兩個部分分別予以表述。1課程目標數(shù)學(xué)課程標準將課程目標按學(xué)段來表述,其中涉及“統(tǒng)計與概率”內(nèi)容的,在小學(xué)階段,分為兩個學(xué)段的目標。(1)第一學(xué)段(13年級)。數(shù)學(xué)課程標準指出:“對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析過程有所體驗,掌握一些簡單的數(shù)據(jù)處理技能;初步感受不確定現(xiàn)象?!痹谶@段文字的表述中,呈示著四個目標方向。第一,低年級的兒童學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率知識,以直觀的活動為主,思考是伴隨在諸如分類、排列等操作活動和直觀觀察之中的;第二,是以借助具體的操作和日常生活的例子,來獲得數(shù)據(jù)的收集、整理和分析等過程體驗為主的;第三,通過對實例的嘗試性的操作活動逐步形成一些初步的數(shù)據(jù)處理技能;第四,以學(xué)生的經(jīng)驗為基礎(chǔ),并通過簡單的嘗試性試驗來初步感受事件發(fā)生的確定性和不確定性。(2)第二學(xué)段(46年級)。數(shù)學(xué)課程標準指出:“經(jīng)歷收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程,掌握一些數(shù)據(jù)處理的技能;體驗事件發(fā)生的等可能性、游戲規(guī)則的公平性,能計算一些簡單事件發(fā)生的可能性?!痹谶@段文字的表述中,呈示著三個目標方向。第一,中、高年級兒童的概率與統(tǒng)計知識學(xué)習(xí),以直觀的活動為主,同時還以體驗為基本目標;第二,通過諸如拋硬幣等操作活動來認識所謂的等可能性;第三,通過諸如擲骰子等操作活動來計算一些簡單事件發(fā)生的可能性。2內(nèi)容目標與課程目標一樣,小學(xué)數(shù)學(xué)中的“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容目標 也是分學(xué)段來描述的。(1)第一學(xué)段(13年級)。從課程內(nèi)容看,第一學(xué)段的兒童將主要學(xué)習(xí):能按照給定的標準或自己選擇某個標準對物體進行比較、排列和分類,并在這種活動中體驗活動結(jié)果在同一標準下的一致性與在不同標準下的多樣性;知道可以從報刊、雜志、電視等媒體中獲取數(shù)據(jù)信息,從而對數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析過程有所體驗;能通過實例認識統(tǒng)計表和象形統(tǒng)計圖與條形統(tǒng)計圖,能根據(jù)統(tǒng)計圖表中的數(shù)據(jù)提出問題并回答簡單的問題,或能根據(jù)簡單的問題,使用適當(dāng)?shù)姆椒ǎòㄓ嫈?shù)、測量、實驗等)收集數(shù)據(jù),并將這些數(shù)據(jù)記錄在統(tǒng)計表中,并能完成相應(yīng)的圖表;通過豐富的實例來了解平均數(shù)的意義,會求結(jié)果為整數(shù)的簡單的平均數(shù);能初步體驗到有些事件發(fā)生是確定的,而有些則是不確定的,而且能知道事件發(fā)生的可能性是有大小的,并能對一些事件發(fā)生的可能性作出簡單的描述。(2)第二學(xué)段(46年級)。從課程內(nèi)容看,第二學(xué)段的兒童將主要學(xué)習(xí):經(jīng)歷簡單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程,初步體會數(shù)據(jù)可能會產(chǎn)生誤差,并能根據(jù)實際問題設(shè)計簡單的調(diào)查表;通過實例認識折線統(tǒng)計圖,根據(jù)需要選擇不同的統(tǒng)計圖來直觀和有效地表示數(shù)據(jù),并能解釋統(tǒng)計結(jié)果;通過實例了解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)的意義,同時會求出并解釋實際結(jié)果的意義,還能根據(jù)具體的問題選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量來表示數(shù)據(jù)的不同特征;體驗事件發(fā)生的等可能性以及游戲的公平性,會求一些簡單事件發(fā)生的可能性或按要求設(shè)計一個方案;能對簡單事件發(fā)生的可能性作出預(yù)測,并闡述自己的理由。9.1.3 兒童學(xué)習(xí)統(tǒng)計與概率知識的主要特征在開始學(xué)習(xí)之前,大部分兒童在描述一個現(xiàn)象的時候,往往簡單地通過對現(xiàn)象的直觀認識來描述,他們往往還會通過收集數(shù)據(jù),并利用數(shù)據(jù)對這些現(xiàn)象進行更為精確的描述或預(yù)測。而兒童的統(tǒng)計與概率思想的形成,不僅有賴于他們對知識的學(xué)習(xí),還有賴于遵循他們發(fā)展規(guī)律的教學(xué)組織。(一)統(tǒng)計思想的形成統(tǒng)計思想的本質(zhì)是從局部觀察到的資料的統(tǒng)計特征來推斷整個系統(tǒng)的狀態(tài),或去判定某一論斷能以多大的概率來保證其準確性,它是一種由局部推斷整體的思想方法,是一種探知某個系統(tǒng)的規(guī)律性的科學(xué)。兒童在形成統(tǒng)計思想方法的過程中,主要會表現(xiàn)出如下一些特征:(1)兒童的統(tǒng)計思想是在操作活動中逐步形成的。例如,一個學(xué)齡前的兒童,面對由許多香蕉和蘋果組成的一堆水果時,在開始的時候,可能只會采用先數(shù)出香蕉的個數(shù),再數(shù)出蘋果個數(shù)的方法來比較哪種水果多。但是,當(dāng)這些水果的數(shù)量足夠多的時候,慢慢地,他可能就會想到將這些水果先分開來,然后再分別去數(shù)。隨著經(jīng)驗的增長,他可能逐漸會想到將這些水果分類對應(yīng)排列起來,于是,對這個兒童來說,基本的統(tǒng)計思想就產(chǎn)生了。(2)兒童對數(shù)據(jù)的分析與利用能力的發(fā)展是一個漸進的過程,對一個學(xué)齡前的兒童來說,數(shù)字往往只是表示單個物體量的一個符號,并不用來描述自己觀察到的現(xiàn)象。因此,數(shù)字之間往往是不相關(guān)的。例如,他可能關(guān)注到,有一個小朋友一天里吃了1個水果,吃了5塊巧克力糖。然而,在他眼里,這些只不過就是一些靜止的和不關(guān)聯(lián)的數(shù)字,他也只是獲得了一些事實??墒?,對于一個低年級的小學(xué)生來說,他可能已經(jīng)能從這兩個似乎不關(guān)聯(lián)的數(shù)字中,推斷出“這個小朋友可能偏愛巧克力糖而不太喜歡水果”這樣的結(jié)論來。而對于一個更高年級的兒童來說,他可能已經(jīng)會從中受到啟示,然后通過某些調(diào)查獲取數(shù)據(jù)的方式,去選擇類似“在校園里究竟是賣水果好些,還是賣巧克力糖好些”這樣的行為了。(3)在兒童的經(jīng)驗里,往往是通過對一組單一數(shù)據(jù)的比較,來作出簡單的且具有唯一性的判斷。當(dāng)他們在最初接觸到一組復(fù)雜數(shù)據(jù)的時候,往往就會采用經(jīng)驗中的方法來作出判斷或無法作出判斷。例如,小明一分鐘拍了20下皮球,小紅一分鐘拍了25下皮球。這樣的數(shù)據(jù)說明了什么?對于這個問題,一個學(xué)齡前的兒童也能作出準確的回答??墒?,許多低年級的學(xué)生,面對如下一組數(shù)據(jù)的時候(表9-1),可能就不容易作出判斷:“有A、B、C三個班舉行長跑比賽,每個班級選出10人,其結(jié)果如下?,F(xiàn)在你將如何確定這三個班級長跑比賽成績的好壞?能不能排出這三個班級長跑比賽的名次并說明理由?表9-1名次123456789101112131415班級ABACBBCACCCBAAB名次161718192021222324252627282930班級BCACBCBBACAAACB(4)統(tǒng)計往往需要選擇樣本,選擇什么樣的樣本?選擇多大的樣本才合理?對一個低年級的兒童來說,這些可能都是比較困難的。因為在兒童的經(jīng)驗中,收集的樣本常常都是可以窮盡的總數(shù),例如問一下班級的所有同學(xué),就知道班級里有29個同學(xué)不喜歡穿運動鞋,因為班級里有35位同學(xué),所以就可以得到這樣的結(jié)論:班級里大部分同學(xué)都不喜歡穿運動鞋。可是,是不是全校同學(xué)中,也是大部分同學(xué)都不喜歡穿運動鞋呢?當(dāng)學(xué)生調(diào)查另一個班級并發(fā)現(xiàn)只有9個人(班級人數(shù)也是35人)不喜歡穿運動鞋的時候,他們就會發(fā)現(xiàn),這個結(jié)論并不適用于現(xiàn)在這個班級。當(dāng)然,學(xué)生可能還是可以通過全部數(shù)據(jù)的調(diào)查來回答這個問題的,可是,當(dāng)問及是整個城市中的同齡學(xué)生的時候呢?一個比較好的辦法就是通過選擇適當(dāng)?shù)膶ο蠛秃线m的范圍進行調(diào)查,然后來推測。然而,這對一個兒童來說是比較困難的。因為他們的經(jīng)驗往往還不能有效地支持他們作出這種合適的選擇。(5)兒童主要是從“大、小”開始認識數(shù)的,因而,對低年級的兒童說,他們往往對數(shù)據(jù)的“最大”或“最小”比較敏感,當(dāng)他們對一組數(shù)據(jù)進行排序的時候,最關(guān)注的是“誰大”或“誰小”這樣的數(shù)據(jù)特征,而還不能將這一組數(shù)據(jù)作為一個描述現(xiàn)象的整體來看待。到了中、高年級,兒童已經(jīng)開始知道,面對一組數(shù)據(jù),不僅需要關(guān)注單個數(shù)據(jù)的特征,還要關(guān)注整個數(shù)據(jù)組的特征。例如,通過調(diào)查A、B、C、D、E、F、G等七位同學(xué)在一年內(nèi)上電影院看電影的情況后,得知分別為:7次、5次、7次、9次、2次、7次和11次。對一個低年級的兒童來說,他們所能描述的可能就是E同學(xué)每年上電影院的次數(shù)最少,而G同學(xué)每年上電影院的次數(shù)最多。而對于一個中、高年級的兒童來說,他們可能已經(jīng)會關(guān)注到,數(shù)據(jù)主要集中在“7”的周圍,而且,相對于一年的時間來說,同學(xué)們每年上電影院看電影的次數(shù)是不多的。因而,對于他們來說,認識“平均數(shù)”、“眾數(shù)”等的意義就比較容易了。(二)對事件發(fā)生的可能性的認識雖然在現(xiàn)實世界中存在著大量的確定現(xiàn)象與不確定現(xiàn)象,但是,對于兒童來說,他們要真正認識事件發(fā)生的確定性以及事件發(fā)生的可能性大小等概念,還是有一個發(fā)展過程的,在這個過程中,兒童主要會表現(xiàn)出如下一些特點:(1)對兒童來說,對事件可能與不可能發(fā)生的情況,在低年級的時候已經(jīng)經(jīng)常遇到了。但是,他們還不能對事件發(fā)生的可能性情況作出一些預(yù)測。例如,面對一個一年級的學(xué)生,你將10個紅球放入一個布袋,然后問他,現(xiàn)在老師隨便從里面摸出一個球來,你能猜出是什么顏色嗎?他當(dāng)然能作出準確的回答,當(dāng)你再問他,有沒有可能摸出一個黑球來,他當(dāng)然也能作出準確的回答??墒?,當(dāng)你將5個紅球和5個黑球放入布袋,再問他相同問題的時候,他就可能無法對結(jié)果作出準確的表述了,因為在他看來,這個問題是無法回答的。(2)兒童對可能性的認識,主要源于他們的生活經(jīng)驗,因而在作出判斷的時候,他們所處的環(huán)境與所經(jīng)歷的生活起著相當(dāng)大的作用。例如,對于股市漲跌的可能性判斷,對兒童來說是缺乏經(jīng)驗的,但對于自己能否在考試中取得好成績,他們卻能預(yù)測。又如,對生活在南方的兒童來說,對于“明天是否會下雪”這個問題,其回答與生活在北方的兒童可能是不同的。(3)兒童對事件發(fā)生的可能性大小以及等可能性的認識,需要通過大量的操作活動來建立。例如,只有當(dāng)兒童自己反復(fù)拋擲一枚硬幣,然后通過對記錄的數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計與觀察,才有可能發(fā)現(xiàn)正面朝上與反面朝上的次數(shù)這兩個數(shù)據(jù)逐漸接近,因而有可能體驗到這兩者發(fā)生的可能性是一樣的。當(dāng)然,這里還包含著一個基本的極限思想的問題,因為還需要學(xué)生懂得,只有當(dāng)事件的頻數(shù)(拋擲硬幣的次數(shù))趨向無限大時,正面朝上與反面朝上的機會是相等的。又如,問一個一年級的學(xué)生類似“當(dāng)你一打開電視機,在5分鐘內(nèi)就會看到廣告節(jié)目的可能性有多大”這樣的問題時,他們往往只會憑借經(jīng)驗的模糊印象給出某些猜測。而對于高年級的學(xué)生來說,他們可能已經(jīng)會想到,先去統(tǒng)計一小時內(nèi)廣告節(jié)目出現(xiàn)的頻率,然后依據(jù)收集到的數(shù)據(jù)作出判斷。9.2 小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率教學(xué)的過程與方法小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率的教學(xué),必須注重兒童的日常經(jīng)驗,必須從兒童的生活出發(fā),在兒童充分活動的基礎(chǔ)上,在一個具體情境中的活動中去體驗,去認識,去建構(gòu)。因此,不能將這部分知識的學(xué)習(xí),單純當(dāng)作統(tǒng)計量的計算、統(tǒng)計圖表的制作以及概念識記等活動來組織。9.2.1 統(tǒng)計知識的教學(xué)按新的課程標準要求,小學(xué)階段的兒童學(xué)習(xí)統(tǒng)計知識,從數(shù)學(xué)活動看,主要應(yīng)經(jīng)歷如下一些學(xué)習(xí):對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計活動有初步的體驗;解讀和制作簡單的統(tǒng)計圖表;在活動中獲得對一些簡單的統(tǒng)計量(如平均數(shù)、眾數(shù)、中數(shù)等)的意義理解;等等。在這些學(xué)習(xí)內(nèi)容的教學(xué)組織中,一般地看,有如下一些策略可以重點給予關(guān)注。(一)注重兒童的生活經(jīng)驗內(nèi)容的組織與呈現(xiàn)要充分考慮到兒童已有的日常經(jīng)驗與他們的現(xiàn)實生活,使兒童在現(xiàn)實的和經(jīng)驗的活動中去獲得初步的體驗。例如,分類、排列和比較是統(tǒng)計的基礎(chǔ)活動,但對初期接觸數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兒童來說,他們參與這類活動的對象不宜是些抽象的數(shù)據(jù),而是一些具有現(xiàn)實意義的實物。因此,在組織教學(xué)的時候,應(yīng)較多地考慮選擇什么樣的合適的情境,能更好地激發(fā)兒童投入到分類、排列和比較等這樣的數(shù)學(xué)活動中去?一些比較有效的做法是,向兒童呈現(xiàn)一堆雜亂的物品,讓他們?nèi)L試進行分類,在分類活動的過程中,他們逐漸學(xué)會了如何將這些物品按一定的規(guī)則標準進行排列,并逐漸理解了按不同的規(guī)則標準就會有不同的分類結(jié)果,為今后對數(shù)據(jù)整理與分析的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。又如,兒童對統(tǒng)計全過程的理解可能是有困難的,因為他們習(xí)慣的是面對已經(jīng)給定的甚至是已經(jīng)被處理過的一些數(shù)據(jù)進行思考和判斷。因此,可以根據(jù)兒童的日常經(jīng)驗和興趣,去設(shè)計并呈現(xiàn)一些特定情境下的現(xiàn)實問題,讓他們通過自己的多次嘗試去不斷體驗。一些比較好的方式是設(shè)計諸如“班級要組織六一聯(lián)歡會,買些什么樣的水果更好呢?”等情境,開始時,兒童們可能會依照自己的喜好隨意判斷,但是,多次的交流后就會體驗到這樣是不行的,因為聯(lián)歡會是大家一起參加的活動。于是,他們就會嘗試著先調(diào)查每一個人的口味和喜好??墒牵鎸σ淮蠖央s亂的數(shù)據(jù)怎么辦呢?這時已經(jīng)構(gòu)建的分類與排列思想就會提供幫助,他們可能就會將調(diào)查得來的那些數(shù)據(jù)(甚至可能是代表具體實物的圖片)貼在教室的黑板上,于是就構(gòu)成了一幅象形統(tǒng)計圖。接下來,學(xué)生們可能就會進一步討論,喜歡哪一種水果的同學(xué)多些?同學(xué)們比較喜歡的集中在哪幾種水果?喜歡哪一種(和幾種)水果的同學(xué)最少?于是,不僅幫助學(xué)生對“購買水果”的行為選擇提供了幫助,而且對統(tǒng)計與統(tǒng)計量的意義也提供了理解上的幫助。再如,在統(tǒng)計量中,描述數(shù)據(jù)集中趨勢的特征的一個重要的概念就是“平均數(shù)”,如何來組織這個內(nèi)容幫助兒童理解它的意義就顯得非常重要。一些比較好的方式是,向?qū)W生呈現(xiàn)諸如“小明身高是1.4米,
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