1-2-1 正、余弦定理在實際應(yīng)用中的應(yīng)用.ppt

1 2應(yīng)用舉例第1課時正 余弦定理在實際中的應(yīng)用 1 熟練掌握正 余弦定理 2 能夠運用正 余弦定理等知識和方法求解距離 角度 高度等問題 1 應(yīng)用正 余弦定理解與三角形有關(guān)的問題在高考中有所加強 2 以解答題形式考查測量問題 1 正弦定理指出了三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式 這個關(guān)系式是2 余弦定理的公式是 3 在 ABC中 若a2 b2 c2 則角C是 若a2 b2 c2 則角C是 若a2 b2 c2 則角C是 a2 b2 c2 2bccosA b2 a2 c2 2accos B c2 a2 b2 2abcos C 銳角 鈍角 直角 1 基線 1 定義 在測量上 根據(jù)需要適當(dāng)確定的線段叫做基線 2 性質(zhì) 在測量過程中 要根據(jù)實際需要選取合適的 使測量具有較高的 一般來說 基線越長 測量的精確度越 測量 精確度 基線 長度 高 2 對實際應(yīng)用問題中的一些名稱 術(shù)語的含義的理解 1 坡角 坡向與水平方向的夾角 如圖 2 仰角和俯角 在視線和水平線所成角中 視線在水平線上方的角叫仰角 在水平線下方的角叫俯角 如圖 3 方位角 指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線所成的角 如圖中B點的方位角為 4 方向角 從指定方向線到目標方向線所成的小于90 的水平角 如南偏西60 指以正南方向為始邊 順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60 如圖中 ABC為北偏東60 或為東偏北30 3 正弦定理 余弦定理在實際測量中應(yīng)用很廣 主要學(xué)習(xí)它們在測量 等問題中的一些應(yīng)用 距離 高度 角度 1 如下圖所示 已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm 燈塔A在觀察站C的北偏東20 燈塔B在觀察站C的南偏東40 則燈塔A與燈塔B的距離為 答案 B 答案 D 3 如圖所示 為了測量河的寬度 在一側(cè)岸邊選定兩點A B 在另一側(cè)岸邊選定點C 測得 CAB 30 CBA 75 AB 120m 則河的寬度為 答案 60m 4 如圖 在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45 方向 距A處 1 海里的B處有一艘走私船 在A處北偏西75 方向 距A處2海里的C處的我方緝私船 奉命以10海里 小時的速度追截走私船 此時走私船正以10海里 小時的速度從B處向北偏東30 方向逃竄 問 緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船 并求出所需時間 一商船行至索馬里海域時 遭到海盜的追擊 隨即發(fā)出求救信號 正在該海域執(zhí)行護航任務(wù)的海軍 黃山 艦在A處獲悉后 即測出該商船在方位角為45 距離10海里的C處 并沿方位角為105 的方向 以9海里 時的速度航行 黃山 艦立即以21海里 時的速度前去營救 求 黃山 艦靠近商船所需要的最少時間及所經(jīng)過的路程 解題過程 如圖所示 若 黃山 艦以最少時間在B處追上商船 則A B C構(gòu)成一個三角形 設(shè)所需時間為t小時 則AB 21t BC 9t 又已知AC 10 依題意知 ACB 120 根據(jù)余弦定理 AB2 AC2 BC2 2 AC BCcos ACB 21t 2 102 9t 2 2 10 9tcos120 21t 2 100 81t2 90t 即360t2 90t 100 0 題后感悟 1 將追及問題轉(zhuǎn)化為三角形問題 即可把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題 這樣借助于正弦定理或余弦定理 就容易解決問題了 最后要把數(shù)學(xué)問題還原到實際問題中去 2 測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題 一般可轉(zhuǎn)化為已知兩個角和一條邊解三角形的問題 從而運用正弦定理去解決 3 測量兩個不可到達的點之間的距離問題 一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長的問題 然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點不能到達的兩點距離測量問題 然后運用正弦定理解決 如圖所示 A B是水平面上的兩個點 相距800m 在A點測得山頂C的仰角為45 BAD 120 又在B點測得 ABD 45 其中D點是點C到水平面的垂足 求山高CD 題后感悟 解決測量高度問題的一般步驟是 在解題中 要綜合運用立體幾何知識與平面幾何知識 注意方程思想的運用 2 在某一山頂觀測山下兩村莊A B 測得A的俯角為30 B的俯角為40 觀測A B兩村莊的視角為50 已知A B在同一海平面上且相距1000米 求山的高度 精確到1米 sin40 0 643 畫出示意圖 在三角形中利用正 余弦定理求有關(guān)角度進而解決問題 題后感悟 在充分理解題意的基礎(chǔ)上畫出大致圖形 由問題中的有關(guān)量提煉出三角形中的元素 用余弦定理 勾股定理解三角形 2 解三角形應(yīng)用題的步驟 準確理解題意 分清已知與所求 尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞和術(shù)語 畫出示意圖 并將已知條件在圖形中標出 分析與所研究的問題有關(guān)的一個或幾個三角形 通過合理運用正弦定理和余弦定理正確求解 并作答 特別提醒 在解題時要注意公式的選擇 使解題過程盡可能簡化 盡量避免討論 某觀測站C在城A的南偏西20 的方向 由城A出發(fā)的一條公路 走向是南偏東40 在C處測得公路上B處有一人 距C為31