水力學(xué)3.2流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程.ppt

3流體運(yùn)動(dòng)學(xué) 本章主要任務(wù) 流體多處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 研究各種水力要素隨時(shí)間和空間變化的情況 建立其關(guān)系式 基本方程 并用其解決工程實(shí)際問題 3 2流體運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性方程 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 3 2 2元流和總流的連續(xù)性微分方程 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 推導(dǎo)的原理 流體的運(yùn)動(dòng)也遵循質(zhì)量守恒定律 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 如圖3 7 在流場中取一個(gè)以M點(diǎn)為中心的各邊分別與直角坐標(biāo)系各軸平行的微小六面體 各邊長 x y z 其形心M x y z t時(shí)刻M點(diǎn)的流速 密度 x y z t 圖3 7 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 因?yàn)榱骟w很微小 所以其六面上的各點(diǎn)在t時(shí)刻的流速和密度 可用泰勒級數(shù)展開 并略去二階以上的微分來表示 于是 abcd a b c d 面上中心點(diǎn)1 2的流速和密度分別為 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 質(zhì)量 流速 1點(diǎn) 2點(diǎn) 密度 t時(shí)間內(nèi)流過單位面積上的流體體積和質(zhì)量如下 體積 1點(diǎn) 2點(diǎn) 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 同理可得另兩對平行面的凈流入量分別為 因?yàn)槊娣e很小 中心點(diǎn)1 2的水力要素可代表平面的平均情況 于是 abcd面流入的液體質(zhì)量 a b c d 面流出的液體質(zhì)量 凈流入量 流入 流出 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 因?yàn)槭沁B續(xù)介質(zhì) 即質(zhì)點(diǎn)間不存在間隙 按質(zhì)量守恒定律 流經(jīng)以上三個(gè)方向的凈流量之和應(yīng)等于六面體在同一時(shí)間內(nèi)流體質(zhì)量的增量 由密度增減產(chǎn)生的 于是 即得 3 22 即為可壓縮流體的歐拉連續(xù)性微分方程 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 將上式進(jìn)行展開 3 22 因?yàn)?可壓縮流體的歐拉連續(xù)性微分方程的另一表達(dá)式 3 22 即得 3 2 1流體的連續(xù)性微分方程 對于不可壓縮流體 常數(shù) 3 22 式可簡化為 不可壓縮流體的歐拉連續(xù)性微分方程 對于恒定流和非恒定流均適用 3 23 注 除特別指出外 以后研究的 都是不可壓縮的均質(zhì)流體 3 2 2元流和總流的連續(xù)性微分方程 主流流程不一定是直線 多數(shù)是曲線 流管形狀不隨時(shí)間而變化 據(jù)流線的性質(zhì) 沒有液體從四周出入 A1 A2 主流方向 工程實(shí)際中 流體流動(dòng)多數(shù)都是在某些固定界面所限定的空間內(nèi)沿某一方向的流動(dòng) 這一方向就是主流方向 左圖 取一微小流管 設(shè)流動(dòng)為恒定流 u1 u2 3 2 2元流和總流的連續(xù)性微分方程 A較小 u看成均勻分布 所以dt時(shí)段 A1 A2 u1dt A1 1 1u1 A1dt 因?yàn)槭遣豢蓧嚎s的恒定流 所以流管內(nèi)的質(zhì)量不隨時(shí)間變化 1u1 A1 2u2 A2 3 24 從 A1流入的質(zhì)量 2u2 A2dt 從 A2流出的質(zhì)量 1u1 A1dt 2u2 A2dt u1 u2 3 2 2元流和總流的連續(xù)性微分方程 所以u1 A1 u2 A2 3 25 1u1 A1 2u2 A2 3 24 Q u1 A1 u2 A2 3 26 即為不可壓縮流體的元流連續(xù)性方程 將式 3 26 寫成微分形式 對于不可壓縮的均質(zhì)流體 1 2 因?yàn)閡 A Q 于是得 dQ u1dA1 u2dA2 3 2 2元流和總流的連續(xù)性微分方程 因?yàn)榭偭魇怯蔁o數(shù)元流組成的 故對上式進(jìn)行積分 其中A1 A2是總流的兩個(gè)過流斷面的面積 微分形式 dQ u1dA1 u2dA2 為分析簡便 采用總流分析法 即用斷面平均流速代替斷面上各點(diǎn)不相等的流速 3 28 由此類推 Q A1V1 A2V2 3 29 3 2 2元流和總流的連續(xù)性微分方程 3 28 由此類推 Q A1V1 A2V2 3 29 3 29 就是恒定總流的連續(xù)性微分方程 注 它既適合理想流體 也適用于實(shí)際流體 同時(shí) 它也適用于非恒定流中任一瞬時(shí)的情況 若出現(xiàn)支流