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浙江省2006年普通高?!皩I尽甭?lián)考科目考試大綱:高等數(shù)學(xué)(二)考試大綱總 要 求 考生應(yīng)按本大綱的要求,了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論;學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系;應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力;有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明,準(zhǔn)確地計(jì)算;能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高,對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次;對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。內(nèi) 容一、函數(shù)、極限和連續(xù)(一)函數(shù)1. 知識(shí)范圍(1)函數(shù)的概念:函數(shù)的定義 函數(shù)的表示法 分段函數(shù)(2)函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì):?jiǎn)握{(diào)性 奇偶性 有界性 周期性(3)反函數(shù):反函數(shù)的定義 反函數(shù)的圖象(4)函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算(5)基本初等函數(shù):冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)(6)初等函數(shù)2. 要求(1)理解函數(shù)的概念,會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值,并會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像。(2)理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性,會(huì)判斷所給函數(shù)的類(lèi)別。(3)了解函數(shù)y=(x)與其反函數(shù)y=-1(x)之間的關(guān)系(定義域、值域、圖象),會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。(4)理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算,熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。(5)掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖象。(6)了解初等函數(shù)的概念。(7)會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。(二)極限1. 知識(shí)范圍(1)數(shù)列極限的概念:數(shù)列 數(shù)列極限的定義(2)數(shù)列極限的性質(zhì):唯一性 有界性 四則運(yùn)算定理 夾逼定理 單調(diào)有界數(shù)列 極限存在定理(3)函數(shù)極限的概念函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義 左、右極限及其與極限的關(guān)系 x趨于無(wú)窮(x,x+,x-)時(shí)函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何意義(4)函數(shù)極限的定理:唯一性定理 夾逼定理 四則運(yùn)算定理(5)無(wú)窮小量和無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì) 兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較(6)兩個(gè)重要極限 sinx 1lim =1 lim(1+ )x = e x0 x x x 2. 要求(1)理解極限的概念(對(duì)極限定義中“- N”、“- ”、“- M”的描述不作要求),能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限,了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。(2)了解極限的有關(guān)性質(zhì),掌握極限的四則運(yùn)算法則。(3)理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念,掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較(高階、低階、同階和等階)。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。(4)熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。(三)連續(xù)1. 知識(shí)范圍(1)函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義 左連續(xù)和右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)(2)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 反函數(shù)的連續(xù)性(3)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理 最大值和最小值定理 介值定理(包括零點(diǎn)定理)(4)初等函數(shù)的連續(xù)性2. 要求(1)理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念,掌握判斷簡(jiǎn)單函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)的連續(xù)性,理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。(2)會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類(lèi)型。(3)掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。(4)理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù),并會(huì)利用連續(xù)性求極限。二、一元函數(shù)微分學(xué)(一)導(dǎo)數(shù)與微分1. 知識(shí)范圍(1)導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系(2)求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的基本公式(3)求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(4)高階導(dǎo)數(shù)的概念:高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算(5)微分:微分的定義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性2. 要求(1)理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義,了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。(2)會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。(3)熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法,會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(4)掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法,會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。(5)理解高階導(dǎo)數(shù)的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。(6)理解函數(shù)的微分概念,掌握微分法則,了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系,會(huì)求函數(shù)的一階微分。(二)中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 知識(shí)范圍(1)中值定理:羅爾(Rolle)中值定理 拉格朗日(Lagrange)中值定理(2)洛必達(dá)(LHospital)法則(3)函數(shù)增減性的判定法(4)函數(shù)極值與極值點(diǎn) 最大值與最小值(5)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)(6)曲線的斜漸近線與垂直漸近線2. 要求(1)了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。(2)熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、“/ ”、“0”、“-”、“1”、“00”和“0”型未定式的極限方法。(3)掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法,會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式。(4)理解函數(shù)極值的概念,掌握求函數(shù)的極值和最大(小)值的方法,并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。(5)會(huì)判定曲線的凹凸性,會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。(6)會(huì)求曲線的斜漸近線與垂直漸近線。(7)會(huì)作出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。三、一元函數(shù)積分學(xué)(一)不定積分1. 知識(shí)范圍(1)不定積分的概念:原函數(shù)與不定積分的定義 原函數(shù)存在定理 不定積分的性質(zhì)(2)基本積分公式(3)換元積分法:第一換元法(湊微分法) 第二換元法(4)分部積分法(5)一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分2. 要求(1)理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系,掌握不定積分性質(zhì),了解原函數(shù)存在定理。(2)熟練掌握不定積分的基本公式。(3)熟練掌握不定積分第一換元法,掌握第二換元法(限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換)。(4)熟練掌握不定積分的分部積分法。(5)會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。(二)定積分1. 知識(shí)范圍(1)定積分的概念:定積分的定義及其幾何意義 (2)定積分的性質(zhì)(3)定積分的計(jì)算變上限的定積分 牛頓一萊布尼茨(Newton - Leibniz)公式 換元積分法 分部積分法(4)無(wú)窮區(qū)間的廣義積分(5)定積分的應(yīng)用:平面圖形的面積 旋轉(zhuǎn)體的體積 2. 要求(1)理解定積分的概念與幾何意義。(2)掌握定積分的基本性質(zhì)。(3)理解變上限的定積分是變上限的函數(shù),掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。(4)掌握牛頓萊布尼茨公式。(5)掌握定積分的換元積分法與分部積分法。(6)理解無(wú)窮區(qū)間廣義積分的概念,掌握其計(jì)算方法。(7)掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。四、無(wú)窮級(jí)數(shù)(一)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 知識(shí)范圍 (1)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù):數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件(2)正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法:比較判別法 比值判別法(3)任意項(xiàng)級(jí)數(shù):交錯(cuò)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 條件收斂 萊布尼茨判別法2. 要求(1)理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件,了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。(2)掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值數(shù)別法。會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法。 1 1(3)掌握幾何級(jí)數(shù) rn、調(diào)和級(jí)數(shù) 與p級(jí)數(shù) 的斂散法。 n=0 n=1 n n=1 np(4)了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念,會(huì)使用萊布尼茨判別法。(二)冪級(jí)數(shù)1. 知識(shí)范圍(1)冪級(jí)數(shù)的概念:收斂半徑 收斂區(qū)間(2)冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)(3)將簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)2. 要求(1)了解冪級(jí)數(shù)的概念。(2)了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)(和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分)。(3)掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的方法。(4)會(huì)運(yùn)用ex,sinx,cosx,ln(1+x),1/(1-x)的麥克勞林(Maclaurin)級(jí)數(shù),將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為x或x-x0的冪級(jí)數(shù)。五、常微分方程(一)一階微分方程1. 知識(shí)范圍(1)微分方程的概念:微分方程的定義 階 解 通解 初始條件 特解(2)可分離變量的方程(3)一階線性方程2. 要求(1)理解微分方程的定義,理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。(2)掌握可分離變量方程的解法。(3)掌握一階線性方程的解法。(二)二階線性微分方程1. 知識(shí)范圍(1)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)(2)二階常系數(shù)齊次線性微分方程(3)二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2. 要求(1)了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。(2)掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。(3)掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法(自由項(xiàng)限定為(x)=Pn(x)eax,其中Pn(x)為x的n次多項(xiàng)式。為實(shí)常數(shù);(x)eax(Acosx
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