“高等數(shù)學(xué)(一)”考試大綱(5).doc

浙江省2006年普通高?！皩Ｉ尽甭?lián)考科目考試大綱：高等數(shù)學(xué)（二）考試大綱總 要 求 考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次；對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。內(nèi) 容一、函數(shù)、極限和連續(xù)（一）函數(shù)1. 知識(shí)范圍（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義 函數(shù)的表示法 分段函數(shù)（2）函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性 奇偶性 有界性 周期性（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義 反函數(shù)的圖象（4）函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 三角函數(shù) 反三角函數(shù)（6）初等函數(shù)2. 要求（1）理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會(huì)作出簡(jiǎn)單的分段函數(shù)圖像。（2）理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會(huì)判斷所給函數(shù)的類(lèi)別。（3）了解函數(shù)y=（x）與其反函數(shù)y=-1（x）之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。（4）理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。（5）掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖象。（6）了解初等函數(shù)的概念。（7）會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。（二）極限1. 知識(shí)范圍（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列 數(shù)列極限的定義（2）數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性 有界性 四則運(yùn)算定理 夾逼定理 單調(diào)有界數(shù)列 極限存在定理（3）函數(shù)極限的概念函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義 左、右極限及其與極限的關(guān)系 x趨于無(wú)窮（x，x+，x-）時(shí)函數(shù)的極限 函數(shù)極限的幾何意義（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理 夾逼定理 四則運(yùn)算定理（5）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系 無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì) 兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較（6）兩個(gè)重要極限 sinx 1lim =1 lim（1+ ）x = e x0 x x x 2. 要求（1）理解極限的概念（對(duì)極限定義中“- N”、“- ”、“- M”的描述不作要求），能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。（3）理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。（4）熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。（三）連續(xù)1. 知識(shí)范圍（1）函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義 左連續(xù)和右連續(xù) 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類(lèi)（2）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性 反函數(shù)的連續(xù)性（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界性定理 最大值和最小值定理 介值定理（包括零點(diǎn)定理）（4）初等函數(shù)的連續(xù)性2. 要求（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡(jiǎn)單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。（2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類(lèi)型。（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會(huì)利用連續(xù)性求極限。二、一元函數(shù)微分學(xué)（一）導(dǎo)數(shù)與微分1. 知識(shí)范圍（1）導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)的定義 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的基本公式（3）求導(dǎo)方法復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 隱函數(shù)的求導(dǎo)法 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（4）高階導(dǎo)數(shù)的概念：高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（5）微分：微分的定義 微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 微分法則 一階微分形式不變性2. 要求（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。（2）會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（4）掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。（5）理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。（二）中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 知識(shí)范圍（1）中值定理：羅爾（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理（2）洛必達(dá)（LHospital）法則（3）函數(shù)增減性的判定法（4）函數(shù)極值與極值點(diǎn) 最大值與最小值（5）曲線的凹凸性、拐點(diǎn)（6）曲線的斜漸近線與垂直漸近線2. 要求（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會(huì)用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。（2）熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、“/ ”、“0”、“-”、“1”、“00”和“0”型未定式的極限方法。（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式。（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（小）值的方法，并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。（5）會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。（6）會(huì)求曲線的斜漸近線與垂直漸近線。（7）會(huì)作出簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。三、一元函數(shù)積分學(xué)（一）不定積分1. 知識(shí)范圍（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義 原函數(shù)存在定理 不定積分的性質(zhì)（2）基本積分公式（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法） 第二換元法（4）分部積分法（5）一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分2. 要求（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。（2）熟練掌握不定積分的基本公式。（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。（5）會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。（二）定積分1. 知識(shí)范圍（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義 （2）定積分的性質(zhì)（3）定積分的計(jì)算變上限的定積分 牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式 換元積分法 分部積分法（4）無(wú)窮區(qū)間的廣義積分（5）定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積 旋轉(zhuǎn)體的體積 2. 要求（1）理解定積分的概念與幾何意義。（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。（4）掌握牛頓萊布尼茨公式。（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。（6）理解無(wú)窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積。四、無(wú)窮級(jí)數(shù)（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1. 知識(shí)范圍 （1）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散 級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 級(jí)數(shù)收斂的必要條件（2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的判別法：比較判別法 比值判別法（3）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂 條件收斂 萊布尼茨判別法2. 要求（1）理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。（2）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值數(shù)別法。會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法。 1 1（3）掌握幾何級(jí)數(shù) rn、調(diào)和級(jí)數(shù) 與p級(jí)數(shù) 的斂散法。 n=0 n=1 n n=1 np（4）了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，會(huì)使用萊布尼茨判別法。（二）冪級(jí)數(shù)1. 知識(shí)范圍（1）冪級(jí)數(shù)的概念：收斂半徑 收斂區(qū)間（2）冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)（3）將簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)2. 要求（1）了解冪級(jí)數(shù)的概念。（2）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分）。（3）掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的方法。（4）會(huì)運(yùn)用ex，sinx，cosx，ln（1+x），1/（1-x）的麥克勞林（Maclaurin）級(jí)數(shù)，將一些簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)為x或x-x0的冪級(jí)數(shù)。五、常微分方程（一）一階微分方程1. 知識(shí)范圍（1）微分方程的概念：微分方程的定義 階 解 通解 初始條件 特解（2）可分離變量的方程（3）一階線性方程2. 要求（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。（2）掌握可分離變量方程的解法。（3）掌握一階線性方程的解法。（二）二階線性微分方程1. 知識(shí)范圍（1）二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)（2）二階常系數(shù)齊次線性微分方程（3）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程2. 要求（1）了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。（3）掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法（自由項(xiàng)限定為（x）=Pn（x）eax，其中Pn（x）為x的n次多項(xiàng)式。為實(shí)常數(shù)；（x）eax（Acosx