拋物線復習(幾個常見結(jié)論及其應(yīng)用).doc

拋物線的幾個常見結(jié)論及其應(yīng)用拋物線中有一些常見、常用的結(jié)論，了解這些結(jié)論后在做選擇題、填空題時可迅速解答相關(guān)問題，在做解答題時也可迅速打開思路。結(jié)論一：若AB是拋物線的焦點弦（過焦點的弦），且，則：，。證明：因為焦點坐標為F(,0),當AB不垂直于x軸時，可設(shè)直線AB的方程為： ，由得: ，。當ABx軸時，直線AB方程為，則，同上也有：。例：已知直線AB是過拋物線焦點F，求證：為定值。證明：設(shè)，由拋物線的定義知：，又+=，所以+=-p，且由結(jié)論一知：。則： =（常數(shù)）結(jié)論二：（1）若AB是拋物線的焦點弦，且直線AB的傾斜角為，則（0）。（2）焦點弦中通徑（過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦）最短。證明：（1）設(shè)，設(shè)直線AB:由得:, ，。易驗證，結(jié)論對斜率不存在時也成立。（2）由（1）：AB為通徑時，的值最大，最小。例：已知過拋物線的焦點的弦AB長為12，則直線AB傾斜角為 。解：由結(jié)論二，12=（其中為直線AB的傾斜角）， 則，所以直線AB傾斜角為或。結(jié)論三：兩個相切：（1）以拋物線焦點弦為直徑的圓與準線相切;以焦半徑為直徑的圓與Y軸相切 （2）過拋物線焦點弦的兩端點向準線作垂線，以兩垂足為直徑端點的圓與焦點弦相切。已知AB是拋物線的過焦點F的弦，求證：（1）以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切。BAMNQPyxOF(2)分別過A、B做準線的垂線，垂足為M、N，求證：以MN為直徑的圓與直線AB相切。證明：(1)設(shè)AB的中點為Q,過A、Q、B向準線l作垂線，垂足分別為M、P、N，連結(jié)AP、BP。由拋物線定義：，以AB為直徑為圓與準線l相切OAMNPyxF（2）作圖如（1），取MN中點P，連結(jié)PF、MF、NF，AMOF，AMF=AFM，AMF=MFO，AFM=MFO。同理，BFN=NFO，MFN=（AFM+MFO+BFN+NFO）=90，B，PFM=FMPAFP=AFM+PFM=FMA+FMP=PMA=90，F(xiàn)PAB以MN為直徑為圓與焦點弦AB相切。結(jié)論四：若拋物線方程為，過（，0）的直線與之交于A、B兩點，則OAOB。反之也成立。證明：設(shè)直線AB方程為:，由 得， 0，AOBO，將，代入得，。直線AB恒過定點（0，1）。當且僅當k=0時，取最小值1。結(jié)論五：對于拋物線，其參數(shù)方程為設(shè)拋物線上動點坐標為，為拋物線的頂點，顯然，即的幾何意義為過拋物線頂點的動弦的斜率例直線與拋物線相交于原點和點，為拋物線上一點，和垂直，且線段長為，求的值解析：設(shè)點分別為，則，的坐標分別為練習：1. 過拋物線的焦點作一直線交拋物線于兩點，若線段與的長分別是，則= 【解析：化為標準方程，得，從而取特殊情況，過焦點的弦垂直于對稱軸，則為通徑，即，從而，故】2.設(shè)拋物線的焦點為，經(jīng)過點的直線交拋物線于兩點點在拋物線的準線上，且軸證明直線經(jīng)過原點【證明：拋物線焦點為設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程，得若設(shè)，則軸，且點在準線；又由，得，故，即直線經(jīng)過原點】3.已知拋物線的焦點是，準線方程是，求拋物線的方程以及頂點坐標和對稱軸方程【解：設(shè)是拋物線上的任意一點，由拋物線的定義得整理，得，此即為所求拋物線的方程拋物線的對稱軸應(yīng)是過焦點且與準線垂直的直線，因此有對稱軸方程設(shè)對稱軸與準線的交點為，可求得，于是線段的中點就是拋物線的頂點，坐標是】備選1.拋物線的頂點坐標是，準線的方程是，試求該拋物線的焦點坐標和方程解：依題意，拋物線的對稱軸方程為設(shè)對稱軸和準線的交點是，可以求得設(shè)焦點為，則的中點是，故得焦點坐標為再設(shè)是拋物線上的任一點，根據(jù)拋物線的定義得，化簡整