《2.6 正態(tài)分布》 導(dǎo)學(xué)案.doc

2.6 正態(tài)分布 導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握正態(tài)分布在實際生活中的意義和作用.2.結(jié)合正態(tài)曲線，加深對正態(tài)密度函數(shù)的理解.3.通過正態(tài)分布的圖形特征，歸納正態(tài)曲線的性質(zhì).重點正態(tài)分布曲線的特點和性質(zhì).難點應(yīng)用正態(tài)分布曲線的特點和性質(zhì)解決實際問題.教學(xué)過程某乒乓球生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一批直徑為4.8 cm的乒乓球，如果通過抽樣估計得到這批乒乓球的直徑的標(biāo)準(zhǔn)差為0.1，則應(yīng)該怎樣來判斷這批乒乓球的質(zhì)量？如果產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)一個乒乓球的直徑為5.2 cm，則說明了什么情況？問題1:正態(tài)曲線的定義函數(shù)，(x)=，x(-，+)(其中實數(shù)和(0)為參數(shù))的圖像為正態(tài)分布密度曲線.問題2:正態(tài)分布密度曲線的特點曲線位于x軸上方，與x軸不相交；曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對稱；曲線在x=處達(dá)到峰值；曲線與x軸之間的面積為1；當(dāng)一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移；當(dāng)一定時，曲線的形狀由確定.越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散.問題3:隨機變量X落在區(qū)間(a，b的概率怎么計算？隨機變量X落在區(qū)間(a，b的概率為P(aXb)，(x)dx.即由正態(tài)曲線，x=a，x=b，及x軸所圍成的平面圖形的面積就是X落在區(qū)間(a，b的概率的近似值.問題4:正態(tài)分布的定義及表示(1)如果對于任何實數(shù)a，b (ab)，隨機變量X滿足P(aXb)=，(x)dx，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作XN(，2).(2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù)P(-X+)=0.683；P(-2X+2)=0.954；P(-3X+3)=0.997 .正態(tài)分布是自然界最常見的一種分布，例如:測量的誤差；人的身高、體重等；農(nóng)作物的收獲量；工廠產(chǎn)品的直徑、長度、寬度、高度都近似服從正態(tài)分布.一般說來，若影響某一數(shù)量指標(biāo)的隨機因素很多，而每個因素所起的作用不太大，則這個指標(biāo)服從正態(tài)分布.學(xué)習(xí)交流1.下列說法不正確的是().A.若XN(0，9)，則其正態(tài)曲線的對稱軸為y軸B.正態(tài)分布N(，2)的圖像位于x軸上方C.所有的隨機現(xiàn)象都服從或近似服從正態(tài)分布D.函數(shù)(x)= (xR)的圖像是一條兩頭低、中間高、關(guān)于y軸對稱的曲線【答案】C2.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(3，2)，則P(X3)等于().A.B.C.D.【解析】由正態(tài)分布圖像知=3為該圖像的對稱軸，P(X3)=，故選D.【答案】D3.已知某種零件的尺寸X(單位:mm)服從正態(tài)分布，其正態(tài)曲線在(0，80)上是增函數(shù)，在(80，+)上是減函數(shù)，且f(80)=.則該正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是.【解析】由于正態(tài)曲線在(0，80)上是增函數(shù)，在(80，+)上是減函數(shù)，所以正態(tài)曲線關(guān)于直線x=80對稱，且在x=80處取得最大值.因此得=80，=，所以=8.故正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是f(x)=.【答案】f(x)=4.在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X服從正態(tài)分布，即XN(100，100)，已知滿分為150分.(1)試求考試成績X位于區(qū)間(80，120內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數(shù).【解析】(1)由XN(100，100)知=100，=10.P(80X120)=P(100-20X100+20)=0.954，即考試成績位于區(qū)間(80，120內(nèi)的概率為0.954.(2)P(90X110)=P(100-10110)=(1-0.683)=0.1585，P(X90)=0.683+0.185=0.8415.及格人數(shù)為20000.8415=1683(人).5. 正態(tài)曲線的性質(zhì)如圖所示，是一個正態(tài)曲線，試根據(jù)圖像寫出其正態(tài)分布密度曲線的解析式，并求出正態(tài)總體隨機變量的均值和方差.【方法指導(dǎo)】掌握一個正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式和曲線的特點，并應(yīng)用其解題.【解析】從給出的正態(tài)曲線可知該正態(tài)曲線關(guān)于直線x=20對稱，最大值為，所以=20.由=，解得=.于是正態(tài)分布密度曲線的解析式是，(x)=，x(-，+)，所以均值和方差分別是20和2.【小結(jié)】要確定一個正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)，的值，其中決定曲線的對稱軸的位置，則與曲線的形狀和最大值有關(guān).6. 服從正態(tài)分布的隨機變量的概率計算設(shè)XN(5，1)，求P(6X7).【方法指導(dǎo)】掌握正態(tài)分布的定義、表示和三個常用數(shù)據(jù)，借助正態(tài)曲線的性質(zhì)進(jìn)行計算.【解析】由已知=5，=1.P(4X6)=0.683，P(3X7)=0.954，P(3X7)-P(4X6)=0.954-0.683=0.271.如圖，由正態(tài)曲線的對稱性可得P(3X4)=P(6X7).P(6X7)=0.1355.【小結(jié)】求服從正態(tài)分布的隨機變量在某個區(qū)間取值的概率，只需借助于正態(tài)曲線的性質(zhì)，把所求問題轉(zhuǎn)化為已知概率的三個區(qū)間上.7.正態(tài)分布的應(yīng)用在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績X服從一個正態(tài)分布，即XN(90，100).(1)試求考試成績X位于區(qū)間(70，110)上的概率是多少？(2)若這次考試共有2000名考生，試估計考試成績在(80，100)間的考生大約有多少人？【方法指導(dǎo)】正態(tài)分布已經(jīng)確定，則總體的期望和標(biāo)準(zhǔn)差就可以求出，這樣就可以根據(jù)正態(tài)分布在三個常見的區(qū)間上取值的概率進(jìn)行求解.【解析】XN(90，100)，=90，=10.(1)由于變量X在區(qū)間(-2，+2)內(nèi)取值的概率是0.954，而該正態(tài)分布中-2=90-210=70，+2=90+210=110，于是考試成績X位于區(qū)間(70，110)內(nèi)的概率就是0.954.(2)由=90，=10，得-=80，+=100.由于正態(tài)變量在區(qū)間(-，+)內(nèi)取值的概率是0.683，所以考試成績X位于區(qū)間(80，100)內(nèi)的概率是0.683.一共有2000名考生，所以考試成績在(80，100)間的考生大約有20000.683=1366(人).【小結(jié)】正態(tài)分布已經(jīng)確定，則總體的期望和標(biāo)準(zhǔn)差就可以求出，這樣就可以根據(jù)正態(tài)分布在三個常見的區(qū)間上取值的概率進(jìn)行求解.例題應(yīng)用例一 若一個正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為.(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求服從這個正態(tài)分布的隨機變量X在(-4，4的概率.【解析】(1)由于該正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖像關(guān)于y軸對稱，即=0.由=，得=4，故該正態(tài)分布的正態(tài)分布密度函數(shù)的解析式是，(x)=，x(-，+).(2)P(-4X4)=P(0-4X0+4)=P(-X+)=0.683.例二 設(shè)XN(1，22)，試求:(1)P(-1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5).【解析】XN(1，22)，=1，=2.(1)P(-1X3)=P(1-2X1+2)=P(-X+)=0.683.(2)P(3X5)=P(-3X-1)，P(3X5)=P(-3X5)-P(-1X3)=P(1-4X1+4)-P(1-2X1+2)=P(-2X+2)-P(-X+)=(0.954-0.683)=0.1355.(3)P(X5)=P(X-3)，P(X5)=1-P(-3X5)=1-P(1-4X1+4)=1-P(-2c+1)=P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(X110)=P(X+3)，P(X50)= P(X110)=P(X50)，知C正確，故選B.【答案】B3.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，2)，P(X4)=0.84，則P(X0)=.【解析】=2，P(X0)=P(X4)=1-P(X4)=1-0.84=0.16.【答案】0.164.設(shè)XN(10，1).(1)證明:P(1X2)=P(18X19)；(2)設(shè)P(X2)=a，求P(10X18).【解析】(1)因為XN(10，1)，所以正態(tài)曲線，(x)關(guān)于直線x=10對稱，而區(qū)間1，2和18，19關(guān)于直線x=10對稱，所以，(x)dx，即P(1X2)=P(18X19).(2)P(10X18)=P(2X10)=P(X10)-P(X2)=-a.5. (2014年新課標(biāo)全國卷)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如圖所示的頻率分布直方圖:(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(，2)，其中近似為樣本平均數(shù)，2近似為樣本方差s2.(i)利用該正態(tài)分布，求P(187.8Z212.2)；(ii)某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用(i)的結(jié)果，求EX.附:12.2.若ZN(，2)，則P(-Z+) =0.683，P(-2Z+2)=0.954.【解析】(1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2分別為=1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200，s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)(i)由(1)知，ZN(200，150)，從而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z1230C.12130 B.01213D.012=13【解析】=0，且2=1，11，故選D.【答案】D2.已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)是f(x)=其中常數(shù)A0，則A的值為().A.1 B.b C. D.b-a【解析】(b-a)A=1，則A=.【答案】C3.在某項測量中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(1，2)(0).若X在(0，1)內(nèi)取值的概率為0.4，則X在(0，2)內(nèi)取值的概率為.【解析】X服從正態(tài)分布(1，2)，X在(0，1)與(1，2)內(nèi)取值的概率相同均為0.4.X在(0，2)內(nèi)取值概率為0.4+0.4=0.8.【答案】0.84.某人從某城市的南郊乘車前往北區(qū)火車站，由于交通擁擠，所需時間X(單位:分)服從正態(tài)分布N(50，102)，求他在時間段(30，70內(nèi)趕到火車站的概率.【解析】因為XN(50，102)，所以=50，=10，所以P(30X70)=P(50-2102)=0.023，則P(-2X2)=().A.0.477B.0.628C.0.954D.0.977【解析】由題意可知隨機變量X服從正態(tài)分布N(0，2)，所以圖像關(guān)于y軸對稱，又知P(X2)=0.023，所以P(-2X2)=1-P(X2)-P(X2)=0.954，故選C.【答案】C6.已知一次考試共有60名同學(xué)參加，考生的成績XN(110，52)，據(jù)此估計，大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在下列哪個區(qū)間內(nèi)？().A.(90，110B.(95，125C.(100，120D.(105，115【解析】由于XN(110，52)，=110，=5.因此考試成績在區(qū)間(105，115，(100，120，(95，125上的概率分別應(yīng)是0.683，0.954，0.997.由于一共有60人參加考試，成績位于上述三個區(qū)間的人數(shù)分別是:600.68341(人)，600.95457(人)，600.99760(人)，故大約應(yīng)有57人的分?jǐn)?shù)在(100，120區(qū)間內(nèi)，故選C.【答案】C7.若隨機變量XN(5，4)，且P(Xa)=0.1585，則a=.【解析】XN(5，4)，P(X-)=P(X3)=0.5-0.6832=0.1585，a=3.【答案】38.設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)XN(110，400)，且已知試卷滿分150分，這個班的學(xué)生共54人，求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù).【解析】由題意得=110，=20，P(X90)=P(X-)，P(X-)=2P(X-)+0.683=1，P(X-)=0.1585，P(X90)=1-P(X-)=1-0.1585=0.8415.540.841545(人)，即及格人數(shù)約為45人.P(X130)=P(X+)=P(X-)=0.1585，540.15859(人)，即130分以上的人數(shù)約為9人.9.某人乘車從A地到B地，所需時間(分鐘)服從正態(tài)分布N(30，100)，則此人在40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率=.【解析】由=30，=10，P(-X+)=0.683知，此人在20分鐘至40分鐘到達(dá)目的地的概率為0.683，又由于P(-2X+2)=0.954，所以此人在10分鐘至20分鐘和40分鐘至50分鐘到達(dá)目的地的概率為0.954-0.683=0.271，由正態(tài)曲線關(guān)于直線x=30對稱得