數(shù)學(xué)建模生日問題.doc

數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)報(bào)告試驗(yàn)名稱：生日問題問題背景描述：在100個(gè)人的團(tuán)體中，如果不考慮年齡的差異，研究是否有兩個(gè)以上的人生日相同。假設(shè)每人的生日在一年365天中的任意一天是等可能的，那么隨機(jī)找n個(gè)人（不超過365人）。求這n個(gè)人生日各不相同的概率是多少？從而求這n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同這一隨機(jī)事件發(fā)生的概率是多少？實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河糜?jì)算機(jī)求解概率計(jì)算問題；當(dāng)冪方次數(shù)較大時(shí)用多項(xiàng)式擬合方法確定求概率的近似計(jì)算公式；了解隨機(jī)現(xiàn)象的計(jì)算機(jī)模擬技術(shù)。實(shí)驗(yàn)原理與數(shù)學(xué)模型：這是一個(gè)古典概率問題，n個(gè)人中每一人的生日都可能在365天中任何一天，樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)為365，考慮n個(gè)人的生日兩兩不同，第一個(gè)人的生日可能在365天中任一天，第二個(gè)人的生日不能與第一個(gè)人生日相同，第二個(gè)人生日可能在364天中任何一天，類推可得，n個(gè)人生日兩兩不同的這一事件的總共有365*364*(365-n+1). 故這n個(gè)人的生日各不相同的概率（可能性）以下面公式計(jì)算：P （1）因而，n個(gè)人中至少有兩人生日相同這一隨機(jī)事件發(fā)生的概率為：P(n)= （2）但是在利用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí),所用的乘法次數(shù)和除法次數(shù)較多,可以考慮用多項(xiàng)式做近似計(jì)算。這需要解決多項(xiàng)式擬合問題。主要內(nèi)容（要點(diǎn)）：1、 求出n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率P（n）的近似公式；2、 根據(jù)P（n）的近似公式，用計(jì)算機(jī)分別計(jì)算出當(dāng)團(tuán)體人數(shù)取n=1，2，100時(shí)的概率值：P（1），P（2），P（100）。在Matlab環(huán)境下用指令plot(p)繪制圖形，描述概率值隨團(tuán)體人數(shù)變化的規(guī)律；3、 特殊概率值的計(jì)算。在有40個(gè)學(xué)生的班上，至少有2個(gè)同學(xué)生日相同的概率是多少？60個(gè)人的團(tuán)體中，至少有兩個(gè)人生日在同一天的概率又是多少？在80個(gè)人的團(tuán)體中，情況又如何？4、 用5次多項(xiàng)式擬合方法尋找一個(gè)近似計(jì)算概率的公式；5、 考慮團(tuán)體總?cè)藬?shù)對(duì)概率值的影響；計(jì)算機(jī)仿真（數(shù)值模擬）。實(shí)驗(yàn)過程記錄（含：基本步驟、主要程序清單及異常情況記錄等）：1、 利用（2），用計(jì)算機(jī)分別計(jì)算出當(dāng)團(tuán)體人數(shù)取n=1,2,100時(shí)的概率值：P（1），P（2），P（100），并繪制圖形。Matlab程序具體如下：for k=1:100p(k)=1-prod(365-k+1:365)/365k;endplot(p)并以shengriyi.m為文件名保存，然后在Matlab工作環(huán)境下輸入如下指令： shengriyi結(jié)果所得圖形如下：2、 特殊概率值的計(jì)算。由于前面已經(jīng)計(jì)算了概率值P(k)(k=1,2,100),所以只需鍵入P（40），P（60），P（80）即可。如輸入如下指令： p(40)ans =0.8912一個(gè)40個(gè)同學(xué)的學(xué)生班上，至少有兩個(gè)同學(xué)生日相同的概率是P（40）=0.8912；同理可求出60個(gè)人的團(tuán)體中，至少有兩個(gè)人生日相同的概率是P（60）= 0.9941；在80個(gè)人的團(tuán)體中，至少有兩人生日相同的概率是P（80）=0. 0.9999。3、 參考上圖，用五次多項(xiàng)式擬合方法尋找近似計(jì)算概率的公式。在Matlab環(huán)境下鍵入下列指令（該指令為求五次多項(xiàng)式擬合的多項(xiàng)式系數(shù)）： n=1:100; c5=polyfit(n,p,5)c5 =-0.0000 0.0000 -0.0001 0.0023 -0.0046 -0.0020該多項(xiàng)式即為：在Matlab環(huán)境下繼續(xù)鍵入下列指令： p5=polyval(c5,n); /用多項(xiàng)式近似計(jì)算100個(gè)概率值 plot(n,p,n,p5,.) /畫出擬合多項(xiàng)式的圖象與概率曲線作比較結(jié)果所得的圖象如下所示：用五次多項(xiàng)式作近似計(jì)算P（30）、P（50）和P（70），指令和結(jié)果如下： p5(40)ans =0.8895 p5(60)ans = 0.9985 p5(80)ans =0.99434、在某團(tuán)體中，要保證“至少有兩人生日相同”的概率大于99%，可以利用第一個(gè)步驟以算出的100個(gè)概率值，鍵入如下指令： find(p0.99)，可得結(jié)果為：ans = Columns 1 through 27 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 Columns 28 through 44 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100從結(jié)果可看出，該團(tuán)體總?cè)藬?shù)若超過57人，則這個(gè)團(tuán)體中至少有兩人生日相同的概率將大于99%。5、 算機(jī)仿真（數(shù)值模擬）。隨機(jī)產(chǎn)生30個(gè)正整數(shù)，介于1到365之間（用這30個(gè)數(shù)代表一個(gè)學(xué)生班的30個(gè)同學(xué)的生日），然后統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，觀察是否有兩人以上的人生日相同。當(dāng)30人中有兩人生日相同時(shí)，計(jì)算機(jī)輸出為“1”，否則輸出為“0”。如此重復(fù)觀察100次，可得頻率。下面是做計(jì)算機(jī)模擬的Matlab源程序： n=0;for m=1:100 y=0; x=1+fix(365*rand(1,30); for i=1:29 for j=i+1:30 if (x(i)=x(j),y=1; break,end end end n=n+y;endf=n/mshengrier.m為文件名保存在Matlab工作空間中，并在Matlab環(huán)境下鍵入j，回車，可輸出結(jié)果：=0.6500實(shí)驗(yàn)結(jié)果報(bào)告與實(shí)驗(yàn)總結(jié)：通過本試驗(yàn)的學(xué)習(xí)，對(duì)一般較簡(jiǎn)單的Matlab語句有了更深得了解,對(duì)一些循環(huán)語句也有了一定的認(rèn)識(shí),但對(duì)于語句與語句之間在循環(huán)判斷條件下如何進(jìn)行連接,以及如何寫出正確的語句還存在著一定的困難。然而從這個(gè)實(shí)驗(yàn)中也有了不少的收獲，在Matlab環(huán)境下計(jì)算概率值，但當(dāng)冪方很大的時(shí)候，就較難用乘冪直接求出，其已超出計(jì)算機(jī)的最大數(shù)，最終只能作近似計(jì)