條件數(shù)學(xué)期望及其應(yīng)用.doc

條件數(shù)學(xué)期望及其應(yīng)用The ways of finding the inverse matrix and its applicationAbstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses its application in geometry and in physical.Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area.0前言在曲線積分中，被積函數(shù)可以是標(biāo)量函數(shù)或向量函數(shù).積分的值是路徑各點(diǎn)上的函數(shù)值乘上相應(yīng)的權(quán)重（一般是弧長(zhǎng)，在積分函數(shù)是向量函數(shù)時(shí)，一般是函數(shù)值與曲線微元向量的標(biāo)量積）后的黎曼和.帶有權(quán)重是曲線積分與一般區(qū)間上的積分的主要不同點(diǎn).物理學(xué)中的許多公式在推廣之后都是以曲線積分的形式出現(xiàn).曲線積分是物理學(xué)中重要的工具.1條件數(shù)學(xué)期望1.1條件數(shù)學(xué)期望的定義定義1 設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，取值為，分布列為.又事件有，這時(shí) 為在事件發(fā)生條件下的條件分布列.如果有則稱(chēng)為隨機(jī)變量在條件下的條件數(shù)學(xué)期望（簡(jiǎn)稱(chēng)條件期望）定義2 設(shè)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，事件有，且在條件之下的條件分布密度函數(shù)為若稱(chēng)為隨機(jī)變量在條件下的條件數(shù)學(xué)期望定義3 設(shè)是離散型二維隨機(jī)變量，其取值全體為 ，聯(lián)合分布列為 ，在的條件下的條件分布列為若 ，則 為隨機(jī)變量在條件下的條件數(shù)學(xué)期望定義4 設(shè)是連續(xù)型二維隨機(jī)變量，隨機(jī)變量在的條件下的條件密度函數(shù)為，若 ，則稱(chēng) 為隨機(jī)變量在條件下的條件數(shù)學(xué)期望1.2條件數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理1 條件期望具有下面的性質(zhì)：（1） ，其中，且假定存在；（2） ；（3） 如果為可測(cè)，則；（4） 如果與代數(shù)獨(dú)立，則;（5） 如果是代數(shù)的子代數(shù)，則；（6） 如果是上的下凸函數(shù)，則；定理2 條件期望的極限定理：（1）單調(diào)收斂定理：若，則在上，則（2）引理：若，則在上，則（3） 控制收斂定理：若可積，且，則1.3條件數(shù)學(xué)期望的求法在現(xiàn)代概率論體系中，條件期望的概念只是一種理論上的工具，在其定義中沒(méi)有包含算法，所以求條件期望概率往往很難，需要技巧本文對(duì)兩種不同情形下的條件期望的求法做出討論方法一：利用問(wèn)題本身所具有的某種對(duì)稱(chēng)性求解例1設(shè)時(shí)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，記，求解 易證則即 方法二：利用線性變換將隨機(jī)變量分解為關(guān)于作為條件的域可測(cè)或獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，利用條件期望的性質(zhì)求和例 2 設(shè)有正態(tài)樣本 ，統(tǒng)計(jì)量，求解 令，則作正交變換：，其中為正交陣，第一行為，則有，即獨(dú)立， ，從而，關(guān)于可測(cè)，所以 由以上例題可以看出，條件期望的求法是一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題，我們必須從問(wèn)題本身出發(fā)化簡(jiǎn)，將其轉(zhuǎn)化為可測(cè)或獨(dú)立于代數(shù)的隨機(jī)變量，然后運(yùn)用條件期望的性質(zhì)求解1.4全期望公式設(shè)事件是一完備事件組，即互不相交，且，由全概率公式有 這時(shí)若,則有 如同全概率公式一樣，上式可稱(chēng)為全期望公式若是一個(gè)完備事件組，則也有全期望公式 （注意，的密度有公式2條件數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用2.1條件數(shù)學(xué)期望在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用條件數(shù)學(xué)期望在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中有重要的作用，在實(shí)際問(wèn)題中也有大量應(yīng)用例如人們常說(shuō)體育要從娃娃抓起某少體校要在小學(xué)中選拔一批小學(xué)生進(jìn)行重點(diǎn)培養(yǎng)，為我國(guó)籃球，排球運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)備后備力量對(duì)一個(gè)運(yùn)動(dòng)員來(lái)說(shuō)，他（她）的身高顯然是一個(gè)非常重要的因素于是問(wèn)題產(chǎn)生了，在一大群各項(xiàng)素質(zhì)（包括目前的身高）都差不多的七八歲的小朋友中，用什么辦法來(lái)選拔一批將來(lái)（十年以后）身材會(huì)比較高的幼苗進(jìn)行重點(diǎn)培養(yǎng)呢？科學(xué)工作者發(fā)現(xiàn)了小孩的足長(zhǎng)與他（她）長(zhǎng)大后的身高之間有密切的關(guān)系我國(guó)的體育科研人員對(duì)16個(gè)省市的幾萬(wàn)名青少年兒童進(jìn)行了觀測(cè)，建立了下述預(yù)測(cè)公式：成年身高=（少兒當(dāng)年足長(zhǎng)） （單位：cm）其中系數(shù)對(duì)不同性別，不同年齡組的兒童有不同的數(shù)值，其具體數(shù)值如下表： 性別年齡男女79.2188.73588.9308.41898.5728.075108.2427.759你大概很想知道上述預(yù)測(cè)公式是如何建立的？理論依據(jù)是什么？其實(shí)這正是現(xiàn)在所討論的條件數(shù)學(xué)期望，對(duì)（取定）歲的少年兒童來(lái)說(shuō)，成年后的身高為，當(dāng)年足長(zhǎng)為則是一個(gè)二維隨機(jī)變量一般認(rèn)為他們的聯(lián)合分布是正態(tài)分布如果我們已知的值，可以近似地以的條件下的條件數(shù)學(xué)期望來(lái)估計(jì)的值，即用作的預(yù)測(cè)值這時(shí)是的線性函數(shù)，這就是成年身高的預(yù)測(cè)公式例3 一全自動(dòng)流水線正常生產(chǎn)時(shí)，產(chǎn)品中的一等品率為，二等品率為，等外品（即次品）率為，為保證產(chǎn)品質(zhì)量，廠方規(guī)定當(dāng)生產(chǎn)出一件等外品時(shí)，該流水線即停工檢修一次已知首次檢修之前共生產(chǎn)了件產(chǎn)品，求件產(chǎn)品中一等品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望解 設(shè)表示前件產(chǎn)品中一等品的件數(shù)，令 據(jù)題意是要求因?yàn)樵跅l件下，前件產(chǎn)品中沒(méi)有等外品，這時(shí)件產(chǎn)品中的一等品率是，而二等品率是，因此 這是參數(shù)為的二項(xiàng)分布即 實(shí)際上我們認(rèn)為在條件下，前次試驗(yàn)是重貝努里試驗(yàn)，試驗(yàn)成功（取到一等品）的概率是從直觀意義看這是明顯的，這也正是直接討論條件分布的簡(jiǎn)捷之處2.2全期望公式的應(yīng)用例4 在貝努里試驗(yàn)中，每次試驗(yàn)成功的概率為，試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)首次成功時(shí)停止求平均需試驗(yàn)多少次？解 設(shè)為首次成功需做試驗(yàn)的次數(shù)，問(wèn)題是求定義 由全期望公式 ，已知，在，即首次試驗(yàn)成功的條件下，自然有，因此在即首次首次實(shí)驗(yàn)失敗的條件下，從第二次實(shí)驗(yàn)開(kāi)始可以看作重新開(kāi)始，因此，第一項(xiàng)的1是已經(jīng)試驗(yàn)了一次，以后的情況與從頭開(kāi)始一樣所以 ， 原來(lái)求數(shù)學(xué)期望需要知道分布，但在上例的做法中可以不必知道分布，充分利用了隨機(jī)變量的特性，并借助全期望公式，簡(jiǎn)化了計(jì)算，這是真正有概率特點(diǎn)的做法例5 設(shè)電力公司每月可以供應(yīng)某電廠的電力服從（單位：萬(wàn)度）上的均勻分布，而該工廠每月實(shí)際生產(chǎn)所需要的電力服從上的均勻分布如果工廠能從電力公司得到足夠的電力，則每一萬(wàn)度電可以創(chuàng)造30萬(wàn)元利潤(rùn)，若工廠從電力公司得不到足夠的電力，則不足部分由工廠通過(guò)其他途徑自行解決，每一萬(wàn)度電只有10萬(wàn)元利潤(rùn)問(wèn)該廠每月的平均利潤(rùn)為多大？解 設(shè)電力公司每月供應(yīng)電廠的電力為（萬(wàn)度），工廠每月實(shí)際需要的電力為（萬(wàn)度），工廠每月的利潤(rùn)為（萬(wàn)元）由題設(shè)條件知 于是當(dāng)時(shí)，有 由式 所以該工廠平均每月的利潤(rùn)為433萬(wàn)元2.3預(yù)測(cè)與回歸對(duì)于二維隨機(jī)變量，如果已知其中一個(gè)隨機(jī)變量的值，要根據(jù)這一信息對(duì)另一個(gè)隨機(jī)變量的取值作出預(yù)測(cè)，這樣的問(wèn)題在人們的實(shí)踐中可以說(shuō)是比比皆是，常稱(chēng)它們?yōu)椤邦A(yù)測(cè)問(wèn)題”前面我們提議用作為的預(yù)測(cè)值，這樣做的依據(jù)是什么呢？一般地，我們可以選取的一個(gè)函數(shù)作為的預(yù)測(cè)值這時(shí)預(yù)測(cè)的誤差是，由于絕對(duì)值運(yùn)算在數(shù)學(xué)上處理不方便，我們用代替它自然應(yīng)該使誤差盡可能地小，但是一個(gè)隨機(jī)變量，因此很自然的要求它的平均值盡可能地小這樣的準(zhǔn)則就稱(chēng)為均方誤差最小準(zhǔn)則假設(shè)為連續(xù)型二維隨機(jī)變量，密度函數(shù)為，則 對(duì)每個(gè)，當(dāng)時(shí)，能使達(dá)到最小因此取時(shí)，達(dá)到最小，這就證明了，按照均方誤差最小準(zhǔn)則，是的最佳預(yù)測(cè)這就是選取條件數(shù)學(xué)期望作的預(yù)測(cè)值的理論依據(jù)對(duì)離散型情形也可用相同的方法論證上述結(jié)論函數(shù)稱(chēng)為關(guān)于的回歸函數(shù)一般情況下，求是比較困難的因此，把預(yù)測(cè)問(wèn)題簡(jiǎn)化，選取的線性函數(shù)作為的預(yù)測(cè)值同樣采用均方誤差最小準(zhǔn)則，選取常數(shù)使得 取最小值我們?cè)缫阎?，若固定?時(shí)，取最小值.我們只需求，使達(dá)到最小值，即應(yīng)取為 ，我們稱(chēng) 為關(guān)于的回歸直線