1.4極限的性質(zhì)與四則運算法則.doc

第四節(jié) 極限的性質(zhì)與四則運算法則教學(xué)目的：使學(xué)生掌握極限的四則運算法則，并會利用它們求極限；教學(xué)重點：有理函數(shù)極限的計算；教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)無窮大和無窮小的概念及性質(zhì)二、講解新課：一、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1：（保號性）設(shè)，（i） 若，則，當(dāng)時，。（ii） 若，必有。證明：（i）先證的情形。取，由定義，對此，當(dāng)時，即。 當(dāng)時，取，同理得證。 （ii）(反證法)若，由(i) 矛盾，所以。 當(dāng)時，類似可證。注：(i)中的“”，“”不能改為“”，“”。 在(ii)中，若，未必有。二、極限四則運算法則由極限定義來求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。定理1：若，則存在，且。證明： 只證，過程為，對，當(dāng) 時，有，對此，當(dāng)時，有，取，當(dāng)時，有 所以。 其它情況類似可證。注：本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形。 定理2：若，則存在，且。證明：因為，（均為無窮小），記， 為無窮小， 。推論1：（為常數(shù)）。推論2：（為正整數(shù)）。定理3：設(shè)，則。證明：設(shè)（為無窮?。?，考慮差： 其分子為無窮小，分母，我們不難證明有界（詳細過程見書上）為無窮小，記為，所以， 。注：以上定理對數(shù)列亦成立。定理4：如果，且，則?！纠?】?！纠?】。推論1：設(shè)為一多項式，當(dāng)。推論2：設(shè)均為多項式，且，則?！纠?】?！纠?】（因為）。注：若，則不能用推論2來求極限，需采用其它手段。【例5】求。解：當(dāng)時，分子、分母均趨于0，因為，約去公因子，所以 ?！纠?】求。解：當(dāng)全沒有極限，故不能直接用定理3，但當(dāng)時，所以?！纠?】求。解：當(dāng)時，故不能直接用定理5，又，考慮：， ?！纠?】若，求a,b的值。當(dāng)時，且【例9】設(shè)為自然數(shù)，則 。證明：當(dāng)時，分子、分母極限均不存在，故不能用1.6定理5，先變形： 【例10】求。解：當(dāng)時，這是無窮多項相加，故不能用定理1，先變形： 原式?！纠?1】證明為的整數(shù)部分。證明：先考慮，因為是有界