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第四節(jié) 極限的性質(zhì)與四則運算法則教學(xué)目的:使學(xué)生掌握極限的四則運算法則,并會利用它們求極限;教學(xué)重點:有理函數(shù)極限的計算;教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)無窮大和無窮小的概念及性質(zhì)二、講解新課:一、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1:(保號性)設(shè),(i) 若,則,當(dāng)時,。(ii) 若,必有。證明:(i)先證的情形。取,由定義,對此,當(dāng)時,即。 當(dāng)時,取,同理得證。 (ii)(反證法)若,由(i) 矛盾,所以。 當(dāng)時,類似可證。注:(i)中的“”,“”不能改為“”,“”。 在(ii)中,若,未必有。二、極限四則運算法則由極限定義來求極限是不可取的,也是不行的,因此需尋求一些方法來求極限。定理1:若,則存在,且。證明: 只證,過程為,對,當(dāng) 時,有,對此,當(dāng)時,有,取,當(dāng)時,有 所以。 其它情況類似可證。注:本定理可推廣到有限個函數(shù)的情形。 定理2:若,則存在,且。證明:因為,(均為無窮小),記, 為無窮小, 。推論1:(為常數(shù))。推論2:(為正整數(shù))。定理3:設(shè),則。證明:設(shè)(為無窮?。?,考慮差: 其分子為無窮小,分母,我們不難證明有界(詳細過程見書上)為無窮小,記為,所以, 。注:以上定理對數(shù)列亦成立。定理4:如果,且,則?!纠?】?!纠?】。推論1:設(shè)為一多項式,當(dāng)。推論2:設(shè)均為多項式,且,則?!纠?】?!纠?】(因為)。注:若,則不能用推論2來求極限,需采用其它手段。【例5】求。解:當(dāng)時,分子、分母均趨于0,因為,約去公因子,所以 ?!纠?】求。解:當(dāng)全沒有極限,故不能直接用定理3,但當(dāng)時,所以?!纠?】求。解:當(dāng)時,故不能直接用定理5,又,考慮:, ?!纠?】若,求a,b的值。當(dāng)時,且【例9】設(shè)為自然數(shù),則 。證明:當(dāng)時,分子、分母極限均不存在,故不能用1.6定理5,先變形: 【例10】求。解:當(dāng)時,這是無窮多項相加,故不能用定理1,先變形: 原式?!纠?1】證明為的整數(shù)部分。證明:先考慮,因為是有界
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