高考數(shù)學(xué) 強(qiáng)化雙基復(fù)習(xí)課件14.ppt

32 等比數(shù)列 一 概念與公式 1 定義 2 通項(xiàng)公式 3 前n項(xiàng)和公式 二 等比數(shù)列的性質(zhì) 1 首尾項(xiàng)性質(zhì) 有窮等比數(shù)列中 與首末兩項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)積相等 即 特別地 若項(xiàng)數(shù)為奇數(shù) 還等于中間項(xiàng)的平方 即 a1an a2an 1 a3an 2 an a1qn 1 amqn m a1an a2an 1 a3an 2 a中2 特別地 若m n 2p 則aman ap2 2 若p q r s p q r s n 則apaq aras 3 等比中項(xiàng) 如果在兩個(gè)數(shù)a b中間插入一個(gè)數(shù)g 使a g b成等比數(shù)列 則g叫做a與b的等比中項(xiàng) 5 順次n項(xiàng)和性質(zhì) 4 若數(shù)列 an 是等比數(shù)列 m p n成等差數(shù)列 則am ap an成等比數(shù)列 7 單調(diào)性 8 若數(shù)列 an 是等差數(shù)列 則 ban 是等比數(shù)列 若數(shù)列 an 是正項(xiàng)等比數(shù)列 則 logban 是等差數(shù)列 三 判斷 證明方法 1 定義法 2 通項(xiàng)公式法 3 等比中項(xiàng)法 an 是遞增數(shù)列 an 是遞減數(shù)列 q 1 an 是常數(shù)列 q 0 an 是擺動(dòng)數(shù)列 典型例題 1 設(shè)數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 若s1 1 s2 3 且sn 1 3sn 2sn 1 0 n 2 試判斷 an 是不是等比數(shù)列 2 設(shè)等比數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和為sn 若s3 s6 2s9 求數(shù)列的公比q 3 三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 若將第三項(xiàng)減去32 則成等差數(shù)列 再將此等差數(shù)列的第二項(xiàng)減去4 又成等比數(shù)列 求原來(lái)的三個(gè)數(shù) 4 已知數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù) 且前n和sn滿足 6sn an2 3an 2 若a2 a4 a9成等比數(shù)列 求數(shù)列的通項(xiàng)公式 a1 1 a2 2 sn 1 sn 2 sn sn 1 an 2n 1 an 是等比數(shù)列 設(shè)三數(shù)為a b c 得b 2 4a c 7a 36 an 1 an 3 a1 1 an 3n 2 1 a1 1 q 2 a1 1 q 3 3 a1q 1 q n 1 2 bn 3qn 1 5 數(shù)列 an 中 a1 1 a2 2 數(shù)列 an an 1 是公比為q q 0 的等比數(shù)列 1 求使anan 1 an 1an 2 an 2an 3 n n 成立的q的取值范圍 2 若bn a2n 1 a2n n n 求 bn 的通項(xiàng)公式 n 2 sn n sn 1 sn 整理得nsn 1 2 n 1 sn 又a2 3s1 3a1 3 故s2 a1 a2 4 4a1 因此對(duì)于任意正整數(shù)n 都有sn 1 4an sn n 2n 1 sn 1 n 1 2n an sn sn 1 n 2n 1 n 1 2n 2 n 1 2n 2 n 2 而a1 1也適合上式 an n 1 2n 2 n n 4an n 1 2n sn 1 即sn 1 4an 1 證 由已知an 1 sn 1 sn 4an 2 4an 1 2 an 1 4an 4an 1 n 2 bn an 1 2an 4an 4an 1 2an 2 an 2an 1 2bn 1 bn 是以3為首項(xiàng) 2為公比的等比數(shù)列 又由a1 1 a1 a2 s2 4a1 2得a2 5 b1 a2 2a1 3 bn 3 2n 1 數(shù)列 cn 是等差數(shù)列 sn 4an 1 2 4 3n 4 2n 3 2 3n 4 2n 1 2 an 2n cn 3n 1 2n 2 an 1 3n 4 2n 3 n 2 而s1 a1 1亦適合上式 sn 3n 4 2n 1 2 n n 1 四個(gè)正數(shù) 前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列 其和為48 后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列 其最后一個(gè)數(shù)是25 求此四數(shù) 解 由已知可設(shè)前三個(gè)數(shù)為a d a a d d為公差 且a d 0 后三數(shù)成等比數(shù)列 其最后一個(gè)數(shù)是25 解得 a 16 d 4 故所求四數(shù)分別為12 16 20 25 a d a a d 48 且 a d 2 25a a d 12 a d 20 課后練習(xí)題 2 在等比數(shù)列 an 中 a1 a6 33 a3a4 32 an 1 an 1 求an 2 若tn lga1 lga2 lgan 求tn 解 1 an 是等比數(shù)列 a1a6 a3a4 32 又 a1 a6 33 a1 a6是方程x2 33x 32 0的兩實(shí)根 an 1 an a6 a1 a1 32 a6 1 32q5 1 an 26 n 2 由已知lgan 6 n lg2 tn lga1 lga2 lgan 6n 1 2 n lg2 6 1 6 2 6 n lg2 1 解 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 依題意得 a1q 6且a1q4 162 解得 a1 2 q 3 數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為an 2 3n 1 1 4 設(shè) an 為等比數(shù)列 tn na1 n 1 a2 2an 1 an 已知t1 1 t2 4 1 求數(shù)列 an 的首項(xiàng)和公比 2 求數(shù)列 tn 的通項(xiàng)公式 解 1 設(shè)等比數(shù)列 an 的公比為q 則 t1 a1 t2 2a1 a2 又t1 1 t2 4 a1 1 2a1 a2 4 a2 2 q 2 數(shù)列 an 的首項(xiàng)為1 公比為2 2 解法1由 1 知 a1 1 q 2 an 2n 1 tn n 1 n 1 2 n 2 22 2 2n 2 1 2n 1 2tn n 2 n 1 22 n 2 23 2 2n 1 1 2n tn n 2 22 2n 1 2n 2n 1 n 2 解法2設(shè)sn a1 a2 an an 2n 1 sn 2n 1 tn na1 n 1 a2 2an 1 an a1 a1 a2 a1 a2 a3 a1 a2 an s1 s2 sn 2 22 2n n 2n 1 n 2 5 在公差為d d 0 的等差數(shù)列 an 和公比為q的等比數(shù)列 bn 中 已知a1 b1 1 a2 b2 a8 b3 1 求d q的值 2 是否存在常數(shù)a b 使得對(duì)于一切正整數(shù)n 都有an lgabn b成立 若存在 求出a和b 若不存在 說(shuō)明理由 解 1 a1 b1 1 a2 b2 a8 b3 d 0 解得d 5 q 6 故d q的值分別為5 6 1 d q且1 7d q2 2 由 1 及已知得an 5n 4 bn 6n 1 假設(shè)存在常數(shù)a b 使得對(duì)于一切正整數(shù)n 都有an lgabn b成立 則5n 4 loga6n 1 b對(duì)一切正整數(shù)n都成立 即5n 4 nloga6 b loga6對(duì)一切正整數(shù)n都成立 loga6 5 b loga6 4 6 設(shè)sn為數(shù)列 an 的前n項(xiàng)和 且滿足2sn 3 an 1 1 證明數(shù)列 an 是等比數(shù)列并求sn 2 若bn 4n 5 將數(shù)列 an 和 bn 的公共項(xiàng)按它們?cè)谠瓟?shù)列中的順序排成一個(gè)新的數(shù)列 dn 證明 dn 是等比數(shù)列并求其通項(xiàng)公式 證 1 由已知a1 3 當(dāng)n 2時(shí) an sn sn 1 2an 2 sn sn 1 2sn 2sn 1 3 an an 1 an 3an 1 故數(shù)列 an 是首項(xiàng)與公比均為3的等比數(shù)列 2 易知d1 a2 b1 9 設(shè)dn是 an 中的第k項(xiàng) 又是 bn 中的第m項(xiàng) 即dn 3k 4m 5 ak 1 3k 1 3 4m 5 4 3m 3 3不是數(shù)列 bn 中的項(xiàng) 而ak 2 3k 2 9 4m 5 4 9m 10 5是 bn 的第 9m 10 項(xiàng) dn 1 ak 2 3k 2 dn 是首項(xiàng)與公比均為9的等比數(shù)列 故dn 9n an 0