甘肅省張掖市2019屆高三數(shù)學第三次診斷考試試題文（含解析）.docx

張掖市2019屆高三年級第三次診斷考試數(shù)學（文）試卷一、選擇題：（本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先將等式兩邊同乘以i，可求得z，再利用共軛復數(shù)定義求得結果【詳解】iz45i，i2z（45i）i，z4i+5，化為z54iz的共軛復數(shù)5+4i故選：A【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則和共軛復數(shù)的意義，屬于基礎題2.設集合，集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由題意得，選D3.如圖是一容量為100的樣本的重量的頻率分布直方圖，則由圖可估計樣本重量的中位數(shù)為（ ）A. 11B. 11.5C. 12D. 12.5【答案】C【解析】試題分析：由頻率分布直方圖 可估計樣本重量的中位數(shù)在第二組，設中位數(shù)比大，由題意可得，得，所以中位數(shù)為，故選C.考點：1、頻率分布直方圖；2、中位數(shù)的求法.4.公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)，當圓內接多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，由此創(chuàng)立了割圓術，利用割圓術劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后面兩位的近似值3.14，這就是著名的徽率.如圖是利用劉徽的割圓術設計的程序框圖，則輸出的值為（ ）參考數(shù)據(jù)：，.A. 12B. 24C. 48D. 96【答案】B【解析】【分析】列出循環(huán)過程中的和的數(shù)值，滿足判斷框的條件即可結束循環(huán)?！驹斀狻繄?zhí)行程序：，不滿足條件；，不滿足條件；，滿足條件，退出循環(huán)輸出的值為24.故選.【點睛】本題主要考查了程序框圖中的循環(huán)結構以及三角函數(shù)的計算，考查了讀圖和識圖能力，運算求解能力，屬于基礎題。5.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體為底面半徑為、高為的圓錐的，所以該幾何體的體積，故選D.考點：三視圖.6.已知，為單位向量，當，的夾角為時，在上的投影為（ ）A. 5B. C. D. 【答案】D【解析】由題設，而即，所以，應選答案D。點睛：解答本題的關鍵是準確理解向量在另一個向量上的射影的概念。求解時先求兩個向量的模及數(shù)量積的值，然后再運用向量的射影的概念，運用公式進行計算，從而使得問題獲解。7.已知函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把圖象的橫坐標縮小到原來的一半，得到函數(shù)的圖象，當時，方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】化簡函數(shù)為，由平移變換與伸縮變換得到，然后數(shù)形結合可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，把函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把圖象的橫坐標縮小到原來的一半，得到函數(shù)當時，方程有兩個不同的實根等價于函數(shù)與有兩個不同交點，令t，即與有兩個不同交點，結合圖象可知：故選：D【點睛】函數(shù)零點的求解與判斷(1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數(shù)的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點；(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點8.過軸正半軸上一點，作圓：的兩條切線，切點分別為，若，則的最小值為（ ）A. 1B. C. 2D. 3【答案】B【解析】圓心坐標是，半徑是1；，。在三角形ACB中，由余弦定理的得：解得：。故選B【此處有視頻，請去附件查看】9.已知函數(shù)的定義域為，當時，對任意的，成立，若數(shù)列滿足，且，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】試題分析：，設，所以為增函數(shù)，考點：抽象函數(shù)、遞推公式求通項10.如圖所示，某幾何體由底面半徑和高均為5的圓柱與半徑為5的半球面對接而成，該封閉幾何體內部放入一個小圓柱體，且圓柱體的上下底面均與外層圓柱的底面平行，則小圓柱體積的最大值為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】小圓柱的底面半徑為r (0r5)，小圓柱的高分為2部分，上半部分在大圓柱內為5，下半部分深入半球內為h (0h5)，由于下半部分截面和球的半徑構成直角三角形，即+，從而可以找出體積表達式進而利用函數(shù)知識求出最值?！驹斀狻啃A柱的高分為上下兩部分，上部分同大圓柱一樣為5，下部分深入底部半球內設為h (0h5)，小圓柱的底面半徑設為r (0r5)，由于和球的半徑構成直角三角形，即+，所以小圓柱體積，(0h5)，求導，當0h時，體積單調遞增，當h5時，體積單調減。所以當h=時，小圓柱體積取得最大值，故選B.【點睛】先由幾何關系找出體積表達式，再通過導數(shù)求最值是本題的關鍵。11.如圖，已知雙曲線：的右頂點為，為坐標原點，以為圓心的圓與雙曲線的一條漸近線交于兩點，若，且，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】設M為PQ的中點，令OPx，則可求得AM，OM的長度，進而求得tanMOA即為漸近線的斜率，從而求得e.【詳解】由題意可得PAQ為等邊三角形，設OPx，可得OQ3x，PQ2x，設M為PQ的中點，可得PMx，AMx，tanMOA，則e故選：A【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，考查了漸近線斜率與離心率的關系，注意結合圓的幾何特征求解，屬于基礎題12.已知，對于，均有，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用條件轉化為f（x）m（x+1）+2，即f（x）的圖象不高于直線ym（x+1）+2的圖象，求出函數(shù)f（x）ln（x+1）過點（1，2）的切線方程，利用數(shù)形結合進行求解即可【詳解】若x1，+），均有f（x）2m（x+1），得x1，+），均有f（x）m（x+1）+2即f（x）的圖象不高于直線ym（x+1）+2的圖象，直線ym（x+1）+2過定點（1，2），作出f（x）的圖象，由圖象知f（1）2，設過（1，2）與f（x）ln（x+1）（x0）相切的直線的切點為（a，ln（a+1），（a0）則函數(shù)的導數(shù)f（x），即切線斜率k，則切線方程為yln（a+1）（xa），即yxln（a+1），切線過點（1，2），2ln（a+1）1+ln（a+1）即ln（a+1）3，則a+1e3，則ae31，則切線斜率k要使f（x）的圖象不高于直線ym（x+1）+2的圖象，則mk，即實數(shù)m的取值范圍是，+），故選：B【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的應用以及不等式恒成立問題，利用數(shù)形結合轉化為兩個圖象關系，結合導數(shù)的幾何意義求出切線方程和斜率是解決本題的關鍵二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.某校高三科創(chuàng)班共48人，班主任為了解學生高考前的心理狀況，將學生按1至48的學號用系統(tǒng)抽樣方法抽取8人進行調查，若抽到的最大學號為48，則抽到的最小學號為_【答案】6【解析】【分析】抽到的最大學號為48，由系統(tǒng)抽樣等基礎知識即可得最小學號.【詳解】由系統(tǒng)抽樣方法從學號為1到48的48名學生中抽取8名學生進行調查，把48人分成8組，抽到的最大學號為48，它是第8組的最后一名，則抽到的最小學號為第一組的最后一名6號.故答案為：6【點睛】本題考查了系統(tǒng)抽樣等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題14.若實數(shù)，滿足不等式組，則的最大值是_【答案】19【解析】【分析】根據(jù)題意先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，然后分析目標函數(shù)及平面區(qū)域里各個點的特點，可求出目標函數(shù)z|x|+3y的最大值【詳解】滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示：要使z|x|+3y最大，則由圖可知區(qū)域內A點處滿足|x|最大且y最大，所以z最大，由 得A（4，5）代入z|x|+3y得z|4|+3519，當x4，y5時，|x|+3y有最大值19故答案為：19【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃問題，關鍵是分析目標函數(shù)的特點，屬于中檔題.15.四面體中，則四面體外接球的表面積為_【答案】【解析】【分析】將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個面的面對角線，則長方體的外接球即為四面體的外接球，利用數(shù)據(jù)計算長方體的體對角線即為外接球的直徑，可得球的表面積.【詳解】將四面體放入長方體中，使得六條棱分別為長方體六個面的面對角線，如圖：則長方體的外接球即為四面體的外接球，又長方體的體對角線即為外接球的直徑2R，設長方體的長寬高分別為a，b，c，則有，所以外接球的表面積為，故答案為【點睛】本題考查球的內接幾何體，球的表面積的求法，考查了長方體模型的應用及空間想象能力，屬于中檔題.16.已知數(shù)列中，設，若對任意的正整數(shù)，當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】，（，），當時，并項相加，得：，又當時，也滿足上式，數(shù)列的通項公式為， ，令（），則，當時，恒成立，在上是增函數(shù)，故當時，即當時， ，對任意的正整數(shù)，當時，不等式恒成立，則須使，即對恒成立，即的最小值，可得，實數(shù)的取值范圍為，故答案為.點睛：本題考查數(shù)列的通項及前項和，涉及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題通過并項相加可知當時，進而可得數(shù)列的通項公式，裂項、并項相加可知，通過求導可知是增函數(shù)，進而問題轉化為，由恒成立思想，即可得結論.三、解答題（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知向量，設函數(shù).（）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（）在中，角、的對邊分別為、，且滿足，求的值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）利用數(shù)量積的坐標表示，先計算，然后代入中，利用正弦的二倍角公式和降冪公式，將函數(shù)解析式化為，然后利用復合函數(shù)的單調性和正弦函數(shù)的單調區(qū)間，求出函數(shù)的單調遞增區(qū)間；（2）三角形問題中，涉及邊角混合的式子，往往進行邊角轉換，或轉換為邊的代數(shù)式，或轉換為三角函數(shù)問題處理將利用正弦定理轉換為，同時結合已知和余弦定理得，從而求，進而求的值試題解析：（1） 令6分所以所求增區(qū)間為7分（2）由，8分，即10分又，11分12分考點：1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角函數(shù)的圖象和性質.18.參加山大附中數(shù)學選修課的同學，對某公司的一種產品銷量與價格進行了統(tǒng)計，得到如下數(shù)據(jù)和散點圖：定價（元）102030405060年銷量（）11506434242621658614.112.912.111.110.28.9（參考數(shù)據(jù)：，）（）根據(jù)散點圖判斷，與，與哪一對具有較強的線性相關性（給出判斷即可，不必說明理由）？（）根據(jù)（1）的判斷結果及數(shù)據(jù)，建立關于的回歸方程（方程中的系數(shù)均保留兩位有效數(shù)字）（）定價為多少元/時，年收入的預報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為： ，.【答案】（I）由散點圖可知，與具有較強的線性相關性; （II）; （III）定值為元/時，年利潤的預報值最大.【解析】試題分析：比較兩個散點圖可以發(fā)現(xiàn)與具有較強的線性相關性，利用表中提供的與的對應值計算，借助提后提供的現(xiàn)成數(shù)據(jù)再計算，得出，和，得出后再利用，有 ，得出 關于的回歸方程，注意保留小數(shù)；表示出年利潤，求導找出最值.試題解析：（I）由散點圖可知，與具有較強的線性相關性.（II）由題得，又，則，線性回歸方程為，則關于的回歸方程為.（III）設年利潤為，則，求導，得，令，解得.由函數(shù)的單調性可知，當時，年利潤的預報值最大，定值為元/時，年利潤的預報值最大.19.如圖，在三棱錐中，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）要證平面BDE平面ACD，需證BE面ACD，由數(shù)量關系可得，則可求證（2）用等體積方法求出C到面ABD的距離，則可求直線AC與平面ABD所成角的正弦值【詳解】（1）由已知得，又，.又，面，面，面面.（2）設到平面的距離為，由，得，則.設與平面所成角為，則，與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直的判定定理，考查了線面角的求法，利用等體積法求三棱錐的高是解題的關鍵，是基礎題20.如圖，設橢圓：，長軸的右端點與拋物線：的焦點重合，且橢圓的離心率是（）求橢圓標準方程；（）過作直線交拋物線于，兩點，過且與直線垂直的直線交橢圓于另一點，求面積的最小值，以及取到最小值時直線的方程【答案】（）; （）面積的最小值為9，.【解析】試題分析：（）由已知求出拋物線的焦點坐標即得橢圓中的，再由離心率可求得，從而得值，得標準方程；（）本題考查圓錐曲線中的三角形面積問題，解題方法是設直線方程為，設，把直線方程代入拋物線方程，化為的一元二次方程，由韋達定理得，由弦長公式得，同樣過與直線垂直的直線方程為，同樣代入橢圓方程，利用韋達定理得，其中，是點的橫坐標，于是可得，這樣就可用表示出的面積，接著可設，用換元法把表示為的函數(shù)，利用導數(shù)的知識可求得最大值.試題解析：（）橢圓：，長軸的右端點與拋物線：的焦點重合，又橢圓的離心率是，橢圓標準方程為（）過點的直線的方程設為，設，聯(lián)立得，過且與直線垂直的直線設為，聯(lián)立得，故，面積令，則，令，則，即時，面積最小，即當時，面積的最小值為9，此時直線的方程為21.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若對于任意都有成立，試求的取值范圍；（3）記.當時，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍?！敬鸢浮浚?）單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是.（2）（3）【解析】【分析】（1）先由導數(shù)的幾何意義求得a，在定義域內，再求出導數(shù)大于0的區(qū)間，即為函數(shù)的增區(qū)間，求出導數(shù)小于0的區(qū)間即為函數(shù)的減區(qū)間（2）根據(jù)函數(shù)的單調區(qū)間求出函數(shù)的最小值，要使f（x）2（a1）恒成立，需使函數(shù)的最小值大于2（a1），從而求得a的取值范圍（3）利用導數(shù)的符號求出單調區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)g（x）在區(qū)間e1，e上有兩個零點，得到， 解出實數(shù)b的取值范圍【詳解】（1）直線的斜率為1， 函數(shù))的定義域為.因為，所以，所以，所以，.由解得；由解得.所以得單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是.（2）由解得；