橢圓的兩個(gè)不變量在解題中的應(yīng)用.doc

橢圓的兩個(gè)不變量在解題中的應(yīng)用圓錐曲線中橢圓算是在考試中出現(xiàn)頻率最高的圓錐曲線，而關(guān)于橢圓本身存在很多的不變量，下面我們來(lái)討論橢圓的兩個(gè)比較有趣的不變量，而且計(jì)算該不變量的方法以及不變量本身都在題目相當(dāng)?shù)膶?shí)用。不變量：設(shè)橢圓方程為 ，在橢圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足,則為定值，并且原點(diǎn)到直線的距離也是定值證明：設(shè)，因?yàn)?，不妨設(shè)向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度到向量這樣的話我們有，設(shè)，則，的坐標(biāo)分別是，在橢圓上將坐標(biāo)代入方程可得，即，變形得，兩式相加得（定值）原點(diǎn)到直線的距離=，根據(jù)可知，即，兩邊開(kāi)方得（定值）其實(shí)這兩個(gè)不變量可以看做是一個(gè)不變量，下面我們就來(lái)看看這兩個(gè)不變量在解題中的精彩應(yīng)用題目一：（2010陜西卷）如圖，橢圓的頂點(diǎn)為 ，焦點(diǎn)為 ，（）求橢圓C的方程；（）設(shè)n是過(guò)原點(diǎn)的直線，是與n垂直相交于F點(diǎn)、與橢圓相交于A,B兩點(diǎn)的直線，|=1，是否存在上述直線使成立？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（I）由知， 由知a=2c， 又 ， 由解得，故橢圓C的方程為 （II）假設(shè)這樣的直線存在，根據(jù)|=1，可得，這樣由前面的“不變量”可知道因此假設(shè)不成立題目二：設(shè)橢圓方程為 ，在橢圓上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，交于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡 解：這個(gè)題目我們當(dāng)然可以設(shè)直線方程然后解交點(diǎn)，這樣不免麻煩而且計(jì)算量大不劃算，當(dāng)我們掌握了上述的兩個(gè)不變量后，我們很容易知道是一個(gè)定長(zhǎng)，很自然的點(diǎn)的軌跡就是圓題目三：橢圓 的左，右焦點(diǎn)分別為是橢圓上的一點(diǎn)，,原點(diǎn)到直線的距離為（1） 證明; （2） 求使下面命題成立：設(shè)圓上任意點(diǎn)處的切線交橢圓于，兩點(diǎn)則 解：（1）因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為，則,不妨設(shè)，因?yàn)?，故?即，很容易知，即（2）第二問(wèn)看起來(lái)是相當(dāng)?shù)膹?fù)雜，其實(shí)質(zhì)就是題目二中點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，說(shuō)穿了就是“不變量”，就是我們需要的結(jié)果題目四：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在上，直線與橢圓交于， 兩點(diǎn)，（1） 求橢圓的方程；（2） 若，是橢圓上兩點(diǎn)滿足，求的最小值 解：（1）第一問(wèn)基本方法聯(lián)立直線與橢圓根據(jù)，建立等式，可求得橢圓的方程為 （2）設(shè),根據(jù)“不變量”我們可知=則，立馬可知，這樣可知的最小值為注：掌握這兩個(gè)“不變量”就可以解決橢圓中這一類的問(wèn)題，而且只要出現(xiàn)這類問(wèn)題用這兩個(gè)“不變量”是一定可以解決的，這樣既避免了計(jì)算的復(fù)雜度，而且我們看問(wèn)題站在了另外一個(gè)高度，這樣足以提高我