高中數(shù)學(xué) 第二章 解三角形 1.2 余弦定理(二)課件 北師大版必修5.ppt

第二章解三角形 1 2余弦定理 二 1 熟練掌握余弦定理及其變形形式 2 會用余弦定理解三角形 3 能利用正弦 余弦定理解決有關(guān)三角形的恒等式化簡 證明及形狀判斷等問題 學(xué)習(xí)目標(biāo) 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 思考 知識點(diǎn)一已知兩邊及其中一邊的對角解三角形 能 在余弦定理b2 a2 c2 2accosb中 已知三個量ac b ab c cosb 代入后得到關(guān)于a的一元二次方程 解此方程即可 答案 梳理 已知兩邊及其一邊的對角 既可先用正弦定理 也可先用余弦定理 滿足條件的三角形個數(shù)為0 1 2 具體判斷方法如下 設(shè)在 abc中 已知a b及a的值 由正弦定理 可求得sinb 1 當(dāng)a為鈍角時 則b必為銳角 三角形的解唯一 2 當(dāng)a為直角且a b時 三角形的解唯一 3 當(dāng)a為銳角時 如圖 以點(diǎn)c為圓心 以a為半徑作圓 三角形解的個數(shù)取決于a與cd和b的大小關(guān)系 當(dāng)ab 則有a b 所以b為銳角 此時b的值唯一 知識點(diǎn)二判定三角形的形狀 思考1 不需要 如果所知條件方便求角 只需判斷最大的角是鈍角 直角 銳角 如果方便求邊 假設(shè)最大邊為c 可用a2 b2 c2來判斷cosc的正負(fù) 而判斷邊或角是否相等則一目了然 不需多說 三角形的形狀類別很多 按邊可分為等腰三角形 等邊三角形 其他 按角可分為鈍角三角形 直角三角形 銳角三角形 在判斷三角形的形狀時是不是要一個一個去判定 答案 思考2 a b 0 2a 2b 0 2 2a 2b或2a 2b 即a b或a b abc中 sin2a sin2b 則a b一定相等嗎 答案 梳理 判斷三角形形狀 首先看最大角是鈍角 直角還是銳角 其次看是否有相等的邊 或角 在轉(zhuǎn)化條件時要注意等價 知識點(diǎn)三證明三角形中的恒等式 思考 前面我們用正弦定理化簡過acosb bcosa 當(dāng)時是把邊化成了角 現(xiàn)在我們學(xué)了余弦定理 你能不能用余弦定理把角化成邊 答案 梳理 證明三角恒等式的關(guān)鍵是借助邊角互化減小等式兩邊的差異 題型探究 類型一利用余弦定理解已知兩邊及一邊對角的三角形 例1已知在 abc中 a 8 b 7 b 60 求c 由余弦定理b2 a2 c2 2accosb 得72 82 c2 2 8 ccos60 整理得c2 8c 15 0 解得c 3或c 5 解答 引申探究例1條件不變 用正弦定理求c 解答 sinc sin a b sin a b sinacosb cosasinb 反思與感悟 相對于用正弦定理解此類題 用余弦定理不必考慮三角形解的個數(shù) 解出幾個是幾個 跟蹤訓(xùn)練1在 abc中 角a b c所對的邊分別為a b c 若a a b 1 則c等于 答案 解析 類型二利用正弦 余弦定理證明三角形中的恒等式 例2在 abc中 有 1 a bcosc ccosb 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 這三個關(guān)系式也稱為射影定理 請給出證明 證明 方法一 1 由正弦定理 得b 2rsinb c 2rsinc bcosc ccosb 2rsinbcosc 2rsinccosb 2r sinbcosc cosbsinc 2rsin b c 2rsina a 即a bcosc ccosb 同理可證 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 方法二 1 由余弦定理 得 同理可證 2 b ccosa acosc 3 c acosb bcosa 反思與感悟 證明三角形中邊角混合關(guān)系恒等式 可以考慮兩種途徑 一是把角的關(guān)系通過正弦 余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系 正弦借助正弦定理轉(zhuǎn)化 余弦借助余弦定理轉(zhuǎn)化 二是通過正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系 跟蹤訓(xùn)練2在 abc中 a b c分別是角a b c的對邊 求證 證明 類型三利用正弦 余弦定理判斷三角形形狀 例3在 abc中 已知 a b c b c a 3bc 且sina 2sinbcosc 試判斷 abc的形狀 解答 由 a b c b c a 3bc 得b2 2bc c2 a2 3bc 即b2 c2 a2 bc 又sina 2sinbcosc 由正弦 余弦定理 反思與感悟 1 判斷三角形形狀 往往利用正弦定理 余弦定理將邊 角關(guān)系相互轉(zhuǎn)化 經(jīng)過化簡變形 充分暴露邊 角關(guān)系 繼而作出判斷 2 在余弦定理中 注意整體思想的運(yùn)用 如 b2 c2 a2 2bccosa b2 c2 b c 2 2bc等等 跟蹤訓(xùn)練3在 abc中 若b 60 2b a c 試判斷 abc的形狀 解答 方法一根據(jù)余弦定理 得b2 a2 c2 2accosb b 60 2b a c 整理得 a c 2 0 a c 又 2b a c 2b 2c 即b c abc是等邊三角形 方法二根據(jù)正弦定理 2b a c可轉(zhuǎn)化為2sinb sina sinc 又 b 60 a c 120 c 120 a 2sin60 sina sin 120 a a 0 120 整理得sin a 30 1 a 30 30 150 a 30 90 a 60 c 60 abc是等邊三角形 當(dāng)堂訓(xùn)練 b2 a2 c2 2accosb a2 c2 ac cosb 0 b 180 b 120 1 在 abc中 若b2 a2 c2 ac 則b等于a 60 b 45 或135 c 120 d 30 答案 解析 1 2 3 2 在 abc中 若2cosbsina sinc 則 abc的形狀一定是a 等腰直角三角形b 直角三角形c 等腰三角形d 等邊三角形 1 2 3 2cosbsina sinc 答案 解析 a b 故 abc為等腰三角形 3 在 abc中 若b 30 ab ac 2 則滿足條件的三角形有幾個 1 2 3 解答 設(shè)bc a ac b ab c 由余弦定理得b2 a2 c2 2accosb 1 2 3 即a2 6a 8 0 解得a 2或a 4 滿足條件的三角形有兩個 規(guī)律與方法 1 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形 一般情況下 利用正弦定理求出另一邊所對的角 再求其他的邊或角 要注意進(jìn)行討論 如果采用余弦定理來解 只需解一個一元二次方程 即可求出邊來 比較兩種方法 采用余弦定理較簡單 2 根據(jù)所給條件確定三角形的形狀 主要有兩種途徑 1 化邊為角 2 化角為邊 并常用正弦 余