磁疇和超順磁.doc

磁各向異性，磁疇和超順磁（Lisa Tauxe著，劉青松譯）推薦讀物關(guān)于專業(yè)背景知識，可以閱讀Butler (1992) 第三章 (pp. 41-55)關(guān)于統(tǒng)計力學(xué)的背景知識，參見/wiki/Statistical mechanics更多信息詳見Dunlop and zdemir (1997) 第2.8和5章4.1 前言由第3章我們得知，即使在無外場的情況下，一些晶體中的電子自旋也會按照一定方式排列，從而產(chǎn)生自發(fā)磁化強度。這些鐵磁性的顆粒能夠攜帶古地磁場信息，這便是古地磁學(xué)的基礎(chǔ)。到底是什么原因使得這些磁性顆粒能夠沿著古地磁場方向排列并達到平衡狀態(tài)？是什么原因使得巖石最終鎖定這些剩磁，以至于在數(shù)百萬甚至數(shù)十億年后還能被地質(zhì)學(xué)家測得？我們將再下面幾章回答這些問題。圖4.1：a) 磁鐵礦八面體。b) 晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)。大個的紅球代表氧離子，藍色和黃色小球是在八面體和四面體中的鐵離子。在A區(qū)只有Fe3+，在B區(qū)有Fe3+和Fe2+。c) 在一個磁鐵礦晶體內(nèi)部隨方向變化的磁晶體各向異性能。易磁化軸(能量最低)沿著晶體對角線方向(改自Williams和Dunlop, 1995)。d) 一個磁鐵礦立方晶體的磁化強度隨外場變化的模擬結(jié)果。外場從飽和狀態(tài)逐漸減小到0，然后變號并且朝反方向逐漸增大。111為易磁化軸，沿對角線方向且能量最低。001為邊線方向，是難磁化軸，能量最高。首先我們討論第二個問題：磁化強度沿某一特定方向排列的機制是什么？簡單說來就是在磁晶體中，某些方向處于低能狀態(tài)，而在另外一些方向則處于高能狀態(tài)。因此，為了使得磁化強度從一個易磁化軸轉(zhuǎn)換到另外一個易磁化軸，就需要能量。如果這個能壘（energy barrier）比較高，那么磁性顆粒就能夠在非常長的時期內(nèi)在某一特定方向保持磁化狀態(tài)。下面我們將討論是什么造成了這一能壘。4.2 顆粒的磁能4.2.1 磁矩與外場由經(jīng)驗得知，磁場對應(yīng)著某種能量。和處于重力場中的物體存在勢能一樣，磁矩放在磁場中也存在能量。這個能量有多種叫法，在此我們稱之為靜磁相互作用能密度(magnetostatic interaction energy density, Eh)：當M沿著B的方向時Eh最小。正是這個能量使得磁針向外場方向偏轉(zhuǎn)，從而達到能量最低狀態(tài)。圖4.2: 磁鐵礦的K1和K2隨著溫度變化的曲線(改自Dunlop和Ozdemir, 1997)。4.2.2 交換能在第三章中我們得知，由于量子機制，一些晶體具有鐵磁性。在一些晶體中，相鄰的電子軌道“互知”彼此的狀態(tài)。為了避免兩個相同的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)共享一個軌道(泡利不相容原理)，這些電子自旋按照一定方式排列。根據(jù)它們的相互作用狀態(tài)，它們或者平行或者反向平行。磁交換能密度是自發(fā)磁化強度的源。對于一對電子自旋，其表達式為：其中Je是交換常量。Si和Sj是自旋矢量。根據(jù)晶體結(jié)構(gòu)不同，磁交換能在電子自旋方向平行或者反向平行時達到最小。圖4.3：磁鐵礦的飽和剩磁隨溫度變化曲線。當經(jīng)過Verwey轉(zhuǎn)換點時，部分磁化強度消失。此圖修改自Institute for Rock Magnetism的巖石磁學(xué)圖集（Rock magnetic Bestiary）我們定義一個交換常量A = JeS2/a，其中a是兩個相互作用粒子之間的距離。對于磁鐵礦，A = 1.33 10-11 Jm-1。在磁性晶體中，與s軌道不同，電子的3d軌道是各向異性的。因此，在晶體內(nèi)部，電子自旋在某些方向更容易排列。這可以由圖4.1證明。對于磁鐵礦的八面體(圖4.1a)，當在原子級別觀測時，它包含了一個Fe2+，兩個Fe3+和四個O2-。通過共價鍵，每一個氧原子和相鄰的兩個陽離子共同擁有一個電子。在第三章我們提到，在某些晶體中，電子自旋按反方向平行排列，但是它還是擁有一個磁化強度，這一現(xiàn)象稱之為亞鐵磁性。這主要由于并不是所有的陽離子都有相同數(shù)目的不配對電子自旋。例如磁鐵礦，它同時具有Fe2+ (4 mb)和Fe3+(5 mb)兩種狀態(tài)的鐵離子。在一個磁鐵礦的晶體中，有三個鐵離子(總共14 mb)。由圖4.1b可知，所有的Fe3+都在A區(qū)中。而在B區(qū)中具有同等數(shù)目的Fe3+和Fe2+。因為在A區(qū)和B區(qū)的鐵離子自旋方向相反，所以B區(qū)有9 mb，而A區(qū)有4 mb，二者相減得出每一個磁鐵礦的晶格單位具有5 mb。4.2.3 磁晶體各向異性能圖4.1c顯示了在磁鐵礦內(nèi)部磁矩能量的空間分布。在001, 010和100方向能量最大，而在體對角線111方向能量最小。這一分布代表著磁晶體各向異性能（magnetocrystalline anisotropy energy, Ea）。在一個立方體晶體中，方向余弦為a1, a2和a3(詳見第一章的附錄)，那么磁晶體各向異性能密度為：其中K1和K2是由實驗測定的磁晶體各向異性常量。在室溫，K1 = -1.35104 Jm-3。當K1為負時，Ea沿著111方向最小。圖4.4：a) 在一個鐵磁晶體內(nèi)部的磁化強度分布。b)由一系列的面單極子產(chǎn)生的等效外磁場. c) 由面極子產(chǎn)生的內(nèi)部退磁場(改自O(shè)Reilly 1984)。d)球上的面極子。e) 橢球上的面極子，其磁化強度沿著長軸方向。f) 橢球上的面極子，其磁化強度沿著短軸方向。由于磁晶體各向異性能的存在，一旦磁化強度沿著易磁化軸方向，要想改變它就一定要做功。圖1.4d展示了一個立方體磁鐵礦的磁化強度變化隨著外場變化的數(shù)值模擬結(jié)果。沿著111方向的磁化強度比沿著001方向的磁化強度要難于改變。在外場中，一個特定顆?；蛘咭唤M顆粒的磁化強度克服能壘從一個易磁化軸偏轉(zhuǎn)向另外一個易磁化軸。為了衡量這一穩(wěn)定性，我們定義一個偏轉(zhuǎn)場，叫做矯頑場或者矯頑力(在cgs和SI系統(tǒng)中，其符號分別為Hc和Bc，相對應(yīng)的單位為A/m和T)。在以下章節(jié)中，將對矯頑力進行詳細討論。除了向磁鐵礦這樣具有立方體的晶體對稱性，另外一個就是單軸對稱性，主要由晶體形狀或者結(jié)構(gòu)確定。對于單軸磁各向異性能密度，其表達式為：在這個等式中，當Ku為負，磁化強度則沿著垂直于對稱軸。而當Ku0，磁化強度則平行于對稱軸。具有單軸對稱性的代表磁性礦物為赤鐵礦。赤鐵礦的磁化強度機制很復(fù)雜。其中一種機制是由在其六角基面內(nèi)的電子自旋斜交（spin-canting）引起(見第三章)。在這一基面內(nèi)，其各向異性常量很小，磁化強度可以自由轉(zhuǎn)動。而在垂直于基面的方向，各向異性能量很大。因此，赤鐵礦的磁化強度被限制在其晶體基面內(nèi)。因為電子相互作用與其空間距離密切相關(guān)，磁晶體各向異性常量是溫度的函數(shù)(見圖4.2)。對于磁鐵礦，K1變換符號的溫度點叫各向同性點（isotropic point）。在這個各向同性點，磁晶體各向異性常量的值非常小。因此原來保持產(chǎn)強度于對角線方向的能量消失，這樣在晶體內(nèi)部，磁化強度矢量可以自由移動。當?shù)陀诟飨蛲渣c時，能壘逐漸增加，但是此時沿著晶體邊線方向能量最小。隊對角線方向能量反而變?yōu)樽畲蟆Ｔ谑覝?，B區(qū)Fe2+和Fe3+的電子可以自由跳動，所以沒有規(guī)律的排序(order)現(xiàn)象。但是在大約120 K，F(xiàn)e2+和Fe3+的電子開始按一定方式排序。因為這兩種鐵離子具有不同的離子半徑，因此磁鐵礦的晶格會稍微扭曲成單斜狀。這一轉(zhuǎn)換就是Verwey轉(zhuǎn)換。雖然各向同性和Verwey溫度轉(zhuǎn)換點相差大約15 K，二者是相關(guān)的兩種現(xiàn)象(電子跳動與排序造成K1變號)。在低溫時，磁晶體各向異性的變化對剩磁強度的影響非常大。圖4.3顯示了一條磁鐵礦典型的剩磁隨溫度變化曲線。在100 K，剩磁開始退減。這一現(xiàn)象叫做低溫退磁(LTD)。然而，部分磁化強度在經(jīng)過零場低溫旋回后總能部分恢復(fù)(叫做低溫剩磁記憶)，所以應(yīng)用低溫退磁受到一定的限制。圖4.5：在納米級尺度馳豫時間(relaxation time)和顆粒粒徑的關(guān)系圖。圖4.6：球形磁鐵礦的自發(fā)能隨顆粒粒徑的變化曲線。4.2.4 磁應(yīng)力各向異性能因為磁交換能強烈依賴于相鄰原子間電子軌道的物理相互作用，改變這些原子的相互位置必然會影響到它們之間的相互作用關(guān)系。同樣，改變晶體的攜帶的磁化強度也能夠通過原子軌道的形狀從而改變其晶體形狀。這一現(xiàn)象叫做磁致伸縮（magnetostriction）。通過對晶體施加應(yīng)力造成晶體的各向異性能可以近似地表達為：其中是實驗測定的常量，s是應(yīng)力，q是應(yīng)力與晶體c軸的夾角。對于磁鐵礦，其大約為4010-6。注意到磁應(yīng)力各向異性能和單軸各向異性能的形式具有相似性，因此在晶體內(nèi)部只能產(chǎn)生一個易磁化軸。4.2.5 靜磁能或者形狀各向異性能還有一種重要的磁各向異性能的來源：形狀。在理解為什么晶體形狀能夠控制磁能之前，我們需要了解被磁化了的晶體內(nèi)部的退磁場。圖4.4a顯示了一個鐵磁晶體內(nèi)部的磁矢量分布。在晶體外部，產(chǎn)生了一個與磁矩正相關(guān)的外磁場(見第一章)。這個外磁場等效于由一系列分布在晶體表面上自由極子產(chǎn)生的磁場(圖4.4b)。這些面極子不但產(chǎn)生外磁場，而且在晶體內(nèi)部也一樣產(chǎn)生磁場(圖4.4c)。這種內(nèi)部的磁場叫做退磁場（demagnetizing field, Hd）。Hd與磁矩成正比并且與晶體形狀密切相關(guān)。對于一個簡單的橢球(見圖4.4)，其Hd為：其中N是由形狀決定的退磁系數(shù)（demagnetizing factor）。對于一個球來說，其面極子大部分分布在極點附近，而很少在赤道附近(見圖4.4d)。面極子的密度為。根據(jù)位場理論，一個均一磁化的球產(chǎn)生的外場等效于由一個在球重心的偶極子(m = vM)產(chǎn)生的場。在球的赤道，Hd = NM。而在赤道的外場為注意到磁化強度是單位體積磁矩，球的體積為，我們得到：，因此，從而N=1/3。圖 4.7: 隨著顆粒粒徑的增加，為了減小自發(fā)能，磁鐵礦具有的可能的幾種磁化模式。a)“花”狀, b)“渦旋”狀。 (引自Tauxe et al., 2002)非球形晶體的面極子分布并不均勻，所以它的退磁系數(shù)N是一個方向的函數(shù)。對于一個沿著長軸方向磁化的橢球，其自由面極子分離得更遠一些。因為退磁場是1/r2的函數(shù)，所以其相應(yīng)的退磁系數(shù)要比球形的小，也就是Na1/3。當考慮橢球的三個軸時，Na+Nb+Nc=1 (SI單位，當應(yīng)用cgs系統(tǒng)時，其值為4p)。現(xiàn)在回頭考慮各向異性能，由晶體外部磁場產(chǎn)生的能量叫做靜磁能（magnetostatic energy）：其中Na和Nc是沿著長軸和短軸的退磁系數(shù)。對于一個磁顆粒，這個表達式可以通過對單位體積的位場能進行積分得到。式子中的1/2是為了避免重復(fù)計算每一個體積元。上式缺少體積v是因為我們考慮的是能密度，也就是單位體積中的能。靜磁能與單軸各向異性能由相似的表達式，其各向異性常量為。圖4.8：對于一個特定形狀的顆粒所對應(yīng)的不同磁疇狀態(tài)。a) 均勻磁化(單疇)。b)雙疇。c)平行排列的四疇。d) 雙疇與雙閉合磁疇。對于一個加長的橢球，Nc=Nb，并且a/c=1.5, Na-Nc=0.16, 。磁鐵礦的磁化強度為4.8105 Am-1。所以其Ku約等于2.3104 Jm3。這個值比磁鐵礦的磁晶體各向異性能(K1=-1.35104 Jm-3)大。所以即使是稍微加長的磁鐵礦顆粒，它也由形狀各向異性能控制。同理，磁化強度很低的礦物不可能由形狀各向異性能控制。4.2.6 熱能至此，我們已經(jīng)部分回答了本章開始時提出的問題。磁各向異性能能夠使得磁化強度長久保存。接下來一個相關(guān)的問題就是：什么使得磁化強度與外場逐漸達到平衡狀態(tài)。問題的關(guān)鍵在于要找到一種機制能夠使得磁矩克服磁各向異性能壘，其中一種答案就是熱能，可以表達為：ET = kT其中kT就是熱能(見第三章)。假想一堆隨機排列的磁性顆粒，這些顆粒均勻磁化并且由單軸各向異性能控制。假設(shè)這堆磁性顆粒具有一個初始的磁化強度M0，并且放在一個零磁空間中。那么各向異性能會使得每一個小磁矩都保持在原有的方向，且不隨時間改變。然而當存在熱能時，一些磁性顆粒會獲得足夠的能量克服能壘，從而能夠偏轉(zhuǎn)它們的磁矩到新的易磁化軸。隨著時間的推移，這些磁矩會逐漸變成隨機排列。圖4.9：可能的磁疇壁結(jié)構(gòu). a)從一個原子到另外一個原子180度轉(zhuǎn)變。這種情況下，磁疇壁非常的薄，但是交換能非常高。b)逐漸變化的磁疇壁其中每一個箭頭代表幾十個單位晶格。這種情況下，交換能非常低，但是從磁晶體的觀點來看，有更多的電子自旋處于非穩(wěn)定方向。 從統(tǒng)計理論可知，給定一個熱能，那么具有這個熱能的顆粒的概率密度為。所以一個顆粒需要時間t才能逐漸獲得足夠的熱能，從而克服能壘。因此，根據(jù)這一簡單模型，磁化強度隋時間逐漸衰減，并服從如下規(guī)律：其中t是時間，t是一個經(jīng)驗常量，稱為馳豫時間。這一時間可以使得磁化強度衰減到M0的1/e。這個等式是尼爾理論的基礎(chǔ)。t的值取決于磁各向異性能和熱能之間的相互作用。它可以衡量一個顆粒擁有足夠的能量克服能壘并翻轉(zhuǎn)其磁矩的概率。因此在零場中：其中C是一個頻率常量，其值大約為1010 s-1。各向異性能是K(Ku, K1或者l)和體積v的乘積。這樣t就正比于矯頑力和體積，同時反比于溫度。微小的體積和溫度變化可以引起t的劇烈改變。顆粒從一種不穩(wěn)定狀態(tài)(t為秒)到穩(wěn)定狀態(tài)(t為百萬年)具有突變特征。為了解釋這一過程，我們來探討磁鐵礦。取KK1, 對于立方體磁鐵礦v = d3(見圖4.5)。圖4.5只考慮等維的磁鐵礦。但是應(yīng)該記住Kv受形狀的影響很大，即顆粒越長其穩(wěn)定性久越大。這一點將在本章的最后進行討論。圖 4.10: 球形磁鐵礦的自發(fā)能和磁疇壁的能量隨著顆粒粒徑變化的比較圖。當顆粒的t為102-103秒時，它就能獲得充足的熱能克服能壘，因此在實驗室的時間尺度它不穩(wěn)定。在零場中，這些顆粒的磁化強度會迅速隨機排列。而在有場的情況下，這些顆粒的磁化強度會迅速沿著外場方向排列。獲得的靜磁化強度與外場關(guān)系符合Langevin方程(見第三章)。因此，這一行為與順磁性相似，因此叫做超順磁(superparamagnetic, SP)。這種顆粒很容易與順磁物質(zhì)區(qū)分開。因為使SP顆粒達到飽和所需的磁場遠遠小于1T。然而對于順磁顆粒，其飽和場可能超過幾百個特斯拉。4.3 磁疇4.3.1 磁疇的基本理論到此為止我們討論了均勻磁化的磁性顆粒。在圖4.4a中，我們注意到有一個與磁性顆粒產(chǎn)生的外場相關(guān)的能量。這個自發(fā)能（self energy）密度為：有必要考慮這個自發(fā)能隨著顆粒體積的變化規(guī)律。圖4.6展示了一個球（半徑為r，體積為4/3pr3）的自發(fā)能（單位：焦耳）隨著體積的變化曲線。式中，M = 4.8105 Am-1，m0 = 4p10-7 Hm-1。具有強磁化強度的顆粒(如磁鐵礦)其自發(fā)能隨著體積增大能夠迅速增大。前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了幾種使得磁電子自旋偏轉(zhuǎn)的機制。事實上，在某些非常小的顆粒中，這些電子自旋最終定向排列。這種顆粒被均勻磁化，并被稱為單疇(single domain, SD)。在更大的顆粒中，自發(fā)能能夠超越磁交換能和磁晶體各向異性能，因此不存在均一磁化。有很多機制都能夠有效地減小自發(fā)能。數(shù)值方法(微磁方法)能夠算出顆粒能量處于最小狀態(tài)時內(nèi)部磁化的分布形態(tài)。因此這種方法能夠使我們深入了解顆粒內(nèi)部的磁化強度狀態(tài)。數(shù)值模擬的結(jié)果顯示了非常復(fù)雜的從花狀(圖4.7a)到渦旋狀的一系列的磁疇狀態(tài)。圖4.11：a) 對磁鐵礦可能的磁疇結(jié)構(gòu)的理論預(yù)測. b)一個拋光的磁鐵礦剖面的Bitter形態(tài). c)對磁化強度的解釋圖件來自于Dunlop和Ozdemir, 1997。當顆粒長得更大時，它的內(nèi)部分裂成諸多區(qū)間，每一區(qū)間都具有均勻磁化強度，這些區(qū)間叫做磁疇(magnetic domain)，并被磁疇壁分隔。在磁疇壁中電子自旋狀態(tài)迅速從一個方向轉(zhuǎn)換為另外一個方向。磁疇可以有多種形式。圖8中我們列舉了一些。圖4.8a代表均勻磁化的情形。因為自由極子遠遠分開，這種磁疇的外場非常大。當顆粒具有兩個磁疇時(圖4.8b)，外場減小了兩倍。對于平行的四極子情形，外場非常小。引進閉合磁疇可使得外場變?yōu)榱?。也許你已經(jīng)想到磁疇壁不能獨立存在。如果電子自旋只是簡單地從一個方向變?yōu)榉聪?，那么相關(guān)的交換能就很大。然而如果電子自旋方向經(jīng)歷幾百個原子而逐漸變化的話(見圖4.9b)，這一問題久可以解決。磁疇壁越寬，消耗的交換能越小。然而，在這種狀態(tài)下，有些電子自旋的方向處于難磁化軸方向。因此如果磁交換能占主導(dǎo)，那么磁疇壁就較寬。如果磁晶體各向異性能為主，磁疇壁就比較窄。磁疇壁的寬度dw和能量Ew可以表達為(Dunlop&Ozdemir, 1997, pp. 117-118)：其中A是交換常量，K是磁各向異性常量(例如Ku或者K1)。對于磁鐵礦，帶入相關(guān)參數(shù)我們得到dw = 0.28 nm, Ew = 2.310-3 Jm-2。圖4.12：磁鐵礦顆粒中磁疇數(shù)與顆粒大小的關(guān)系曲線。實線是理論預(yù)測曲線，黑點代表觀測數(shù)據(jù)(Ozdemir和Dunlop，1997)。圖10對比了球形磁鐵礦的自發(fā)能和磁疇壁能。當顆粒為一微米的幾十分之一時，其磁疇壁能遠遠小于其自發(fā)能。同時磁疇壁的寬度也為這個量級。因此最小的磁疇壁類似于渦旋狀態(tài)，只有顆粒的大小達到1微米時，磁疇才會分裂，真正的磁疇壁才存在。最后微米也由可能預(yù)測一個磁鐵礦顆粒中的磁疇數(shù)目。假設(shè)磁鐵礦立方體中存在平行磁疇，Dunlop和Ozdemir推導(dǎo)出如下的公式: (4.6)其中Z是包含磁應(yīng)力能和磁疇壁能的常量，a和b是顆粒的長與寬。對于磁鐵礦，Z約為1.1103。對于一個100微米大的等維磁鐵礦，其估算的磁疇數(shù)目為11個。圖4.13：在室溫情況下，對不同大小的磁鐵礦顆粒的磁疇狀態(tài)預(yù)測圖。a和b是顆粒的長與寬。改自Evans和McElhinny, 1969。4.3.2 一些實驗結(jié)果我們怎樣才能證實有關(guān)磁疇理論的一些預(yù)測呢？磁疇真的存在么？它們的大小和形狀符合我們的預(yù)測么？為了回答這些問題，我們需要一種方法來觀測磁疇的形狀。Bitter(1931)設(shè)計了一種有效的方法。其原理為，磁疇壁上方的磁場梯度比較大(磁疇恰恰相反)。這樣在一個拋光的磁性顆粒表面，一些懸浮的磁性物質(zhì)會聚集在磁疇壁上方，從而有效地勾勒出磁疇的形態(tài)。這里我們展示了一個大磁鐵礦顆粒內(nèi)部的磁疇結(jié)構(gòu)(圖4.11b，來自Dunlop和Ozdemir, 1997)?？梢娙绻屑氃O(shè)計實驗，磁疇的大小，形狀和空間走向都能夠有效地確定。有關(guān)磁鐵礦顆粒的大小與其所含磁疇數(shù)目的關(guān)系，Ozdemir和Dunlop(1997)提供了最好的數(shù)據(jù)。圖4.12展示這些數(shù)據(jù)以及根據(jù)等式4.6預(yù)測的理論曲線。對于小顆粒來說，看起來其具有太多的磁疇，而對于大顆粒來說，又具有太少的磁疇。Halgedahl和Fuller(1980)認為對于鈦磁鐵礦來說，它實際包含的磁疇數(shù)目比預(yù)測的遠遠要少。這主要是因為在前面的理論中沒有有效地考慮磁疇壁的影響?，F(xiàn)在我們可以把前面討論的所有知識聯(lián)系起來，從而探討什么樣的磁性顆粒屬于超順磁，單疇和多疇。Evans和McElhinny(1969)提供了一種簡潔的解釋。事實上，對于等軸磁鐵礦，沒有真正意義上穩(wěn)定的單疇狀態(tài)。它們或者是SP，或者是MD。當顆粒的寬長比逐漸較小(顆粒變得越來越長)，對應(yīng)于SD行為的粒徑區(qū)間也越來越大。理論數(shù)值模擬表明，在SD和MD狀態(tài)之間有幾種中間狀態(tài)，花狀或者渦旋狀態(tài)。盡管如此，圖4.13或者相似的圖件(Bulter和Banerjeem 1975)還是有其實際的應(yīng)用價值，至今還被廣泛地應(yīng)用。參考文獻Bitter, . (1931), Phys. Rev 38, 19031905.Butler, R. F. (1992), Paleomagnetism: Magnetic Domains to Geologic Terranes, Blackwell Scientific Publications.Butler, R. F. & Banerjee, S. K. (1975), Theoretical single domain grain-size range in magnetite and titanomagnetite, Jour. Geophys. Res. 80, 40494058.Dunlop, D. & Ozdemir, O. (1997), Rock Magnetism: Fundamentals and Frontiers, Cambridge Universi