高考數(shù)學大一輪復習第八章立體幾何與空間向量8_7立體幾何中的向量方法(二)__求空間角和距離課件理蘇教版

8 7立體幾何中的向量方法 二 求空間角和距離 基礎知識自主學習 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內容索引 基礎知識自主學習 1 兩條異面直線所成角的求法設a b分別是兩異面直線l1 l2的方向向量 則 知識梳理 2 直線與平面所成角的求法設直線l的方向向量為a 平面 的法向量為n 直線l與平面 所成的角為 a與n的夾角為 則sin cos 3 求二面角的大小 1 如圖 AB CD分別是二面角 l 的兩個面內與棱l垂直的直線 則二面角的大小 2 如圖 n1 n2分別是二面角 l 的兩個半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足 cos 二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角 或其補角 cos n1 n2 利用空間向量求距離 供選用 1 兩點間的距離設點A x1 y1 z1 點B x2 y2 z2 則AB 2 點到平面的距離如圖所示 已知AB為平面 的一條斜線段 n為平面 的法向量 則B到平面 的距離為 判斷下列結論是否正確 請在括號中打 或 1 兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角 2 直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角 3 兩個平面的法向量所成的角是這兩個平面所成的角 4 兩異面直線夾角的范圍是 0 直線與平面所成角的范圍是 0 二面角的范圍是 0 5 直線l的方向向量與平面 的法向量夾角為120 則l和 所成角為30 6 若二面角 a 的兩個半平面 的法向量n1 n2所成角為 則二面角 a 的大小是 考點自測 1 2016 南通模擬 已知兩平面的法向量分別為m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成的二面角為 答案 解析 45 或135 即 m n 45 兩平面所成的二面角為45 或180 45 135 2 已知向量m n分別是直線l和平面 的方向向量和法向量 若cos m n 則l與 所成的角為 30 答案 解析 設l與 所成角為 cos m n sin cos m n 0 90 30 3 2016 泰州模擬 如圖 在空間直角坐標系中有直三棱柱ABC A1B1C1 CA CC1 2CB 則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為 答案 解析 設CA 2 則C 0 0 0 A 2 0 0 B 0 0 1 C1 0 2 0 B1 0 2 1 可得向量 2 2 1 0 2 1 由向量的夾角公式得 4 教材改編 正三棱柱 底面是正三角形的直棱柱 ABC A1B1C1的底面邊長為2 側棱長為 則AC1與側面ABB1A1所成的角為 答案 解析 以A為原點 以 AE AB 所在直線為坐標軸 如圖 建立空間直角坐標系 設D為A1B1中點 C1AD為AC1與平面ABB1A1所成的角 又 C1AD C1AD 5 P是二面角 AB 棱上的一點 分別在平面 上引射線PM PN 如果 BPM BPN 45 MPN 60 那么二面角 AB 的大小為 答案 解析 90 不妨設PM a PN b 如圖 作ME AB于E NF AB于F PE a PF b 二面角 AB 的大小為90 EPM FPN 45 題型分類深度剖析 題型一求異面直線所成的角例1 2015 課標全國 如圖 四邊形ABCD為菱形 ABC 120 E F是平面ABCD同一側的兩點 BE 平面ABCD DF 平面ABCD BE 2DF AE EC 1 證明 平面AEC 平面AFC 證明 如圖所示 連結BD 設BD AC G 連結EG FG EF 在菱形ABCD中 不妨設GB 1 由 ABC 120 可得AG GC 由BE 平面ABCD AB BC 2 可知AE EC 又AE EC 所以EG 且EG AC 在Rt EBG中 可得BE 故DF 在Rt FDG中 可得FG 在直角梯形BDFE中 從而EG2 FG2 EF2 所以EG FG 又AC FG G 可得EG 平面AFC 因為EG 平面AEC 所以平面AEC 平面AFC 2 求直線AE與直線CF所成角的余弦值 解答 如圖 以G為坐標原點 分別以 的方向為x軸 y軸正方向 為單位長度 建立空間直角坐標系G xyz 由 1 可得A 0 0 E 1 0 所以直線AE與直線CF所成角的余弦值為 用向量法求異面直線所成角的一般步驟 1 選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標系 2 確定異面直線上兩個點的坐標 從而確定異面直線的方向向量 3 利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值 4 兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對值 思維升華 跟蹤訓練1如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 M N分別是棱CD CC1的中點 則異面直線A1M與DN所成的角的大小是 答案 解析 90 連結D1M 在正方形DCC1D1中 M N分別是CD CC1的中點 DN D1M 又 A1D1 平面D1C DN 平面D1C DN A1D1 又 A1D1 D1M D1 DN 平面A1D1M 又A1M 平面A1D1M A1M DN 即異面直線A1M與DN所成的角為90 題型二求直線與平面所成的角例2 2016 全國丙卷 如圖 四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AD BC AB AD AC 3 PA BC 4 M為線段AD上一點 AM 2MD N為PC的中點 1 證明MN 平面PAB 證明 由已知得AM AD 2 取BP的中點T 連結AT TN 由N為PC中點知TN BC TN BC 2 又AD BC 故TN綊AM 四邊形AMNT為平行四邊形 于是MN AT 因為AT 平面PAB MN 平面PAB 所以MN 平面PAB 2 求直線AN與平面PMN所成角的正弦值 解答 取BC的中點E 連結AE 從而AE AD 由AB AC得AE BC 以A為坐標原點 的方向為x軸正方向 建立如圖所示的空間直角坐標系A xyz 設n x y z 為平面PMN的法向量 則 可取n 0 2 1 設AN與平面PMN所成的角為 則sin 直線AN與平面PMN所成角的正弦值為 利用向量法求線面角的方法 1 分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量 轉化為求兩個方向向量的夾角 或其補角 2 通過平面的法向量來求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 思維升華 跟蹤訓練2如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點O為線段BD的中點 設點P在線段CC1上 直線OP與平面A1BD所成的角為 則sin 的取值范圍是 答案 解析 由正方體的性質易求得sin C1OA1 sin COA1 注意到 C1OA1是銳角 COA1是鈍角 且 故sin 的取值范圍是 1 題型三求二面角例3 2016 天津 如圖 正方形ABCD的中心為O 四邊形OBEF為矩形 平面OBEF 平面ABCD 點G為AB的中點 AB BE 2 1 求證 EG 平面ADF 證明 幾何畫板展示 依題意 OF 平面ABCD 如圖 以O為原點 分別以的方向為x軸 y軸 z軸的正方向建立空間直角坐標系 依題意可得O 0 0 0 A 1 1 0 B 1 1 0 C 1 1 0 D 1 1 0 E 1 1 2 F 0 0 2 G 1 0 0 依題意 2 0 0 1 1 2 設n1 x1 y1 z1 為平面ADF的法向量 不妨取z1 1 可得n1 0 2 1 又 0 1 2 可得 n1 0 又因為直線EG 平面ADF 所以EG 平面ADF 2 求二面角O EF C的正弦值 解答 易證 1 1 0 為平面OEF的一個法向量 依題意 1 1 0 1 1 2 設n2 x2 y2 z2 為平面CEF的法向量 不妨取x2 1 可得n2 1 1 1 于是sin n2 所以二面角O EF C的正弦值為 3 設H為線段AF上的點 且AH HF 求直線BH和平面CEF所成角的正弦值 解答 由AH HF 得AH AF 因為 1 1 2 所以直線BH和平面CEF所成角的正弦值為 利用向量法計算二面角大小的常用方法 1 找法向量法 分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量 然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小 但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小 2 找與棱垂直的方向向量法 分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量 則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小 思維升華 跟蹤訓練3如圖 1 正方形ABCD的邊長為1 M N分別是邊AD BC上的點 MN與AB平行 且與AC交于點O 若將四邊形ABCD沿MN折成直二面角A MN C 如圖 2 則二面角C AO B的平面角的正弦值是 圖 1 圖 2 答案 解析 由條件得NM NB NC兩兩垂直 分別以NM NB NC所在直線為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標系 設NC m 則NO m 從而得O m 0 0 C 0 0 m A 1 1 m 0 設平面AOC的法向量為a x y z 得取x 1 得a 1 1 1 又平面AOB的一個法向量為b 0 0 1 故sin a b 題型四求空間距離 供選用 例4如圖 BCD與 MCD都是邊長為2的正三角形 平面MCD 平面BCD AB 平面BCD AB 求點A到平面MBC的距離 解答 如圖 取CD的中點O 連結OB OM 因為 BCD與 MCD均為正三角形 所以OB CD OM CD 又平面MCD 平面BCD 所以MO 平面BCD 以O為坐標原點 直線OC BO OM分別為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標系O xyz 因為 BCD與 MCD都是邊長為2的正三角形 所以OB OM 則O 0 0 0 C 1 0 0 M 0 0 B 0 0 A 0 設平面MBC的法向量為n x y z 取x 可得平面MBC的一個法向量為n 1 1 又 0 0 2 所以所求距離為d 求點面距一般有以下三種方法 1 作點到面的垂線 點到垂足的距離即為點到平面的距離 2 等體積法 3 向量法 其中向量法在易建立空間直角坐標系的規(guī)則圖形中較簡便 思維升華 跟蹤訓練4 2016 四川成都外國語學校月考 如圖所示 在四棱錐P ABCD中 側面PAD 底面ABCD 側棱PA PD PA PD 底面ABCD為直角梯形 其中BC AD AB AD AB BC 1 O為AD中點 1 求直線PB與平面POC所成角的余弦值 解答 在 PAD中 PA PD O為AD中點 PO AD 又 側面PAD 底面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD PO 平面PAD PO 平面ABCD 在 PAD中 PA PD PA PD AD 2 在直角梯形ABCD中 O為AD的中點 AB AD OC AD 以O為坐標原點 OC為x軸 OD為y軸 OP為z軸建立空間直角坐標系 如圖所示 則P 0 0 1 A 0 1 0 B 1 1 0 C 1 0 0 D 0 1 0 1 1 1 易證OA 平面POC 0 1 0 為平面POC的法向量 PB與平面POC所成角的余弦值為 2 求B點到平面PCD的距離 解答 1 1 1 設平面PCD的法向量為u x y z 取z 1 得u 1 1 1 則B點到平面PCD的距離d 3 線段PD上是否存在一點Q 使得二面角Q AC D的余弦值為 若存在 求出的值 若不存在 請說明理由 解答 假設存在 且設 0 1 0 1 設平面CAQ的法向量為m x y z Q 0 1 取z 1 得m 1 1 1 平面CAD的一個法向量為n 0 0 1 二面角Q AC D的余弦值為 cos m n 整理化簡 得3 2 10 3 0 解得 或 3 舍去 存在 且 典例 16分 如圖 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AD AB AB DC AD DC AP 2 AB 1 點E為棱PC的中點 1 證明 BE DC 2 求直線BE與平面PBD所成角的正弦值 3 若F為棱PC上一點 滿足BF AC 求二面角F AB P的余弦值 利用空間向量求解空間角 答題模板系列6 規(guī)范解答 答題模板 1 證明依題意 以點A為原點建立空間直角坐標系如圖 可得B 1 0 0 C 2 2 0 D 0 2 0 P 0 0 2 2分 由E為棱PC的中點 得E 1 1 1 0 1 1 2 0 0 故 0 所以BE DC 4分 2 解 1 2 0 1 0 2 設n x y z 為平面PBD的一個法向量 不妨令y 1 可得n 2 1 1 6分 所以直線BE與平面PBD所成角的正弦值為 8分 3 解 1 2 0 2 2 2 2 2 0 1 0 0 由點F在棱PC上 設 0 1 由BF AC 得 0 因此 2 1 2 2 2 2 0 解得 設n1 x y z 為平面FAB的一個法向量 取平面ABP的法向量n2 0 1 0 則cos n1 n2 易知 二面角F AB P是銳角 不妨令z 1 可得n1 0 3 1 所以其余弦值為 16分 返回 利用向量求空間角的步驟第一步 建立空間直角坐標系 第二步 確定點的坐標 第三步 求向量 直線的方向向量 平面的法向量 坐標 第四步 計算向量的夾角 或函數(shù)值 第五步 將向量夾角轉化為所求的空間角 第六步 反思回顧 查看關鍵點 易錯點和答題規(guī)范 返回 課時作業(yè) 1 2017 蘇北四市聯(lián)考 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AB AA1 2 AD 1 E為CC1的中點 則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 答案 解析 建立空間直角坐標系如圖 則A 1 0 0 E 0 2 1 B 1 2 0 C1 0 2 2 所以 1 0 2 1 2 1 所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 徐州模擬 二面角的棱上有A B兩點 直線AC BD分別在這個二面角的兩個半平面內 且都垂直于AB 已知AB 4 AC 6 BD 8 CD 則該二面角的大小為 答案 解析 60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如圖所示 二面角的大小就是 因此 24 60 故二面角為60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 在正方體ABCD A1B1C1D1中 點E為BB1的中點 則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A xyz 設棱長為1 則A1 0 0 1 E 1 0 D 0 1 0 0 1 1 1 0 設平面A1ED的一個法向量為n1 1 y z 則有 平面ABCD的一個法向量為n2 0 0 1 n1 1 2 2 cos n1 n2 即所成的銳二面角的余弦值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 2016 鹽城模擬 在三棱錐P ABC中 PA 平面ABC BAC 90 D E F分別是棱AB BC CP的中點 AB AC 1 PA 2 則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以A為原點 AB AC AP所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立如圖所示的空間直角坐標系 由AB AC 1 PA 2 得A 0 0 0 B 1 0 0 C 0 1 0 P 0 0 2 D 0 0 E 0 F 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 設平面DEF的法向量為n x y z 取z 1 則n 2 0 1 設直線PA與平面DEF所成的角為 直線PA與平面DEF所成角的正弦值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AB 2 CC1 E為CC1的中點 則直線AC1到平面BDE的距離為 答案 解析 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以D為原點 DA DC DD1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標系 如圖 則D 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 C1 0 2 E 0 2 易知AC1 平面BDE 設n x y z 是平面BDE的法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 取y 1 則n 1 1 為平面BDE的一個法向量 又 2 0 0 點A到平面BDE的距離是 故直線AC1到平面BDE的距離為1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 如圖所示 三棱柱ABC A1B1C1的側棱長為3 底面邊長A1C1 B1C1 1 且 A1C1B1 90 D點在棱AA1上且AD 2DA1 P點在棱C1C上 則的最小值為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 建立如圖所示的空間直角坐標系 則D 1 0 2 B1 0 1 3 設P 0 0 z 則 1 0 2 z 0 1 3 z 0 0 2 z 3 z z 2 故當z 時 取得最小值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 2016 無錫模擬 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AB 2 BC AA1 1 則直線D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如圖 建立空間直角坐標系D xyz 則D1 0 0 1 C1 0 2 1 A1 1 0 1 B 1 2 0 0 2 0 1 2 0 0 2 1 設平面A1BC1的一個法向量為n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 令y 1 得n 2 1 2 設直線D1C1與平面A1BC1所成角為 則 即直線D1C1與平面A1BC1所成角的正弦值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 則直線CD與平面BDC1所成角的正弦值等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以D為坐標原點 建立空間直角坐標系 如圖 設AA1 2AB 2 則D 0 0 0 C 0 1 0 B 1 1 0 C1 0 1 2 則 0 1 0 1 1 0 0 1 2 設平面BDC1的法向量為n x y z 令y 2 得平面BDC1的一個法向量為n 2 2 1 設CD與平面BDC1所成的角為 則n n 所以有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 2016 連云港模擬 已知點E F分別在正方體ABCD A1B1C1D1的棱BB1 CC1上 且B1E 2EB CF 2FC1 則平面AEF與平面ABC所成的二面角的正切值為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 如圖 建立空間直角坐標系D xyz 設DA 1 由已知條件得 A 1 0 0 E 1 1 F 0 1 0 1 1 1 設平面AEF的法向量為n x y z 平面AEF與平面ABC所成的二面角為 由圖知 為銳角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 令y 1 z 3 x 1 則n 1 1 3 取平面ABC的法向量為m 0 0 1 則cos cos n m tan 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 2016 南京 無錫聯(lián)考 如圖 在三棱柱ABC A1B1C1中 CA CB AB AA1 BAA1 60 1 證明 AB A1C 證明 如圖 取AB的中點O 連結OC OA1 A1B CA CB OC AB AB AA1 BAA1 60 AA1B為等邊三角形 OA1 AB OC OA1 O AB 平面OA1C 又A1C 平面OA1C AB A1C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若平面ABC 平面AA1B1B AB CB 求直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由 1 知 OC AB OA1 AB 平面ABC 平面AA1B1B 交線為AB OC 平面AA1B1B OA OA1 OC兩兩垂直 以O為坐標原點 的方向為x軸的正方向 為單位長度 建立如圖所示的空間直角坐標系O xyz 由題設知A 1 0 0 A1 0 0 C 0 0 B 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 設n x y z 是平面BB1C1C的法向量 可取n 1 1 直線A1C與平面BB1C1C所成角的正弦值為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2016 揚州模擬 如圖 在長方體ABCD A1B1C1D1中 AA1 AB 2AD 2 E為AB的中點 F為D1E上的一點 D1F 2FE 1 證明 平面DFC 平面D1EC 證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 以D為原點 分別以DA DC DD1所在直線為x軸 y軸 z軸 建立如圖所示的空間直角坐標系D xyz 則A 1 0 0 B 1 2 0 C 0 2 0 D1 0 0 2 E為AB的中點 點E的坐標為 1 1 0 D1F 2FE 設n x1 y1 z1 是平面DFC的法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 令y 1 則平面D1EC的一個法向量為p 1 1 1 n p 1 0 1 1 1 1 0 令x 1 則平面DFC的一個法向量為n 1 0 1 設p x2 y2 z2 是平面D1EC的法向量 平面DFC 平面D1EC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 求二面角A DF C的大小 證明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 設q x3 y3 z3 是平面ADF的法向量 令y 1 則平面ADF的一個法向量為q 0 1 1 設二面角A DF C的平面角為 由題中條件可知 二面角A DF C的大小為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 2016 四川 如圖 在四棱錐P ABCD中 AD BC ADC PAB 90 BC CD AD E為棱AD的中點 異面直線PA與CD所成的角為90 1 在平面PAB內找一點M 使得直線CM 平面PBE 并說明理由 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 在梯形ABCD中 AB與CD不平行 延長AB DC 相交于點M M 平面PAB 點M即為所求的一個點 理由如下 由已知 BC ED且BC ED 所以四邊形BCDE是平行四邊形 從而CM EB 又EB 平面PBE CM 平面PBE 所以CM 平面PBE 說明 延長AP至點N 使得AP PN 則所找的點可以是直線MN上任意一點 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 若二面角P CD A的大小為45 求直線PA與平面PCE所成角的正弦值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由已知 CD PA CD AD PA AD A 所以CD 平面PAD 于是CD PD 從而 PDA是二面角P CD A的平面角 所以 PDA 45 由 PAB 90 且P