向量的線性運算.doc

向量的線性運算知識點：1向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量具有大小和方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或模)如a，零向量長度等于零的向量；其方向不確定記作0單位向量給定一個非零向量a，與a同向且模為1的向量，叫做向量a的單位向量，可記作a0.a0共線(平行)向量如果向量的基線互相平行或重合，則稱這些向量共線或平行向量a與b平行記作ab相等向量同向且等長的有向線段表示同一向量，或相等的向量如a相反向量與向量a反向且等長的向量，叫做a的相反向量記作a2.向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：abba；(2)結(jié)合律：(ab)ca(bc)減法求a與b的相反向量b的和的運算叫做a與b的差三角形法則aba(b)數(shù)乘求實數(shù)與向量a的積的運算(1)|a|a|；(2)當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab3. 平行向量基本定理如果ab，則ab；反之，如果ab，且b0，則一定存在唯一一個實數(shù)，使ab.課堂練習(xí)：2 (2012四川)設(shè)a、b都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是()Aab BabCa2b Dab且|a|b|解析表示案C與a同向的單位向量，表示與b同向的單位向量，只要a與b同向，就有，觀察選項易知C滿足題意3 已知O是ABC所在平面內(nèi)一點，D為BC邊的中點，且20，那么()A. B.2C.3 D2解析由20可知，O是底邊BC上的中線AD的中點，故.4 已知D為三角形ABC邊BC的中點，點P滿足0，則實數(shù)的值為_解析如圖所示，由，且0，則P是以AB、AC為鄰邊的平行四邊形的第四個頂點，因此2，則2.5 設(shè)a、b是兩個不共線向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三點共線，則實數(shù)p的值為_解析2ab，又A、B、D三點共線，存在實數(shù)，使.即，p1.典型例題：平面向量的概念辨析例1給出下列命題：若|a|b|，則ab；若A，B，C，D是不共線的四點，則是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件；若ab，bc，則ac；ab的充要條件是|a|b|且ab.其中正確命題的序號是_解析不正確兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同正確，|且，又A，B，C，D是不共線的四點，四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則且|，因此，.故“”是“四邊形ABCD為平行四邊形”的充要條件正確ab，a，b的長度相等且方向相同；又bc，b，c的長度相等且方向相同，a，c的長度相等且方向相同，故ac.不正確當(dāng)ab且方向相反時，即使|a|b|，也不能得到ab，故“|a|b|且ab”不是“ab”的充要條件，而是必要不充分條件綜上所述，正確命題的序號是.思維升華(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān)(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量解題時，不要把它與函數(shù)圖象的移動混為一談(4)非零向量a與的關(guān)系：是a方向上的單位向量平面向量的線性運算例2(1)如圖，正方形ABCD中，點E是DC的中點，點F是BC的一個三等分點，那么等于 ()A.B.C.D.(2)在ABC中，c，b，若點D滿足2，則等于()A.bc B.cbC.bc D.bc思維啟迪結(jié)合圖形性質(zhì)，準(zhǔn)確靈活運用三角形法則和平行四邊形法則是向量加減法運算的關(guān)鍵解析(1)在CEF中，有.因為點E為DC的中點，所以.因為點F為BC的一個三等分點，所以.所以，故選D.(2)2，22()，32，bc.思維升華(1)解題的關(guān)鍵在于熟練地找出圖形中的相等向量，并能熟練運用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化(2)用幾個基本向量表示某個向量問題的基本技巧：觀察各向量的位置；尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；運用法則找關(guān)系；化簡結(jié)果共線向量定理及應(yīng)用例3設(shè)兩個非零向量a與b不共線，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求證：A、B、D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使kab和akb共線思維啟迪解決點共線或向量共線的問題，要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行(1)證明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共線，又它們有公共點B，A、B、D三點共線(2)解kab與akb共線，存在實數(shù)，使kab(akb)，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共線的兩個非零向量，kk10，k210.k1.思維升華(1)證明三點共線問題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線(2)向量a、b共線是指存在不全為零的實數(shù)1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，當(dāng)且僅當(dāng)120時成立，否則向量a、b不共線方程思想在平面向量的線性運算中的應(yīng)用例4：(12分)如圖所示，在ABO中，AD與BC相交于點M，設(shè)a，b.試用a和b表示向量.思維啟迪(1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本要領(lǐng)，要盡可能地轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中去(2)既然能用a、b表示，那我們不妨設(shè)出manb.(3)利用向量共線建立方程，用方程的思想求解規(guī)范解答解設(shè)manb，則manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三點共線，與共線存在實數(shù)t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1. 7分又manbaanb，baab.又C、M、B三點共線，與共線 10分存在實數(shù)t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.由得m，n，ab.12分溫馨提醒(1)本題考查了向量的線性運算，知識要點清楚，但解題過程復(fù)雜，有一定的難度(2)易錯點是，找不到問題的切入口，想不到利用待定系數(shù)法求解(3)數(shù)形結(jié)合思想是向量加法、減法運算的核心，向量是一個幾何量，是有“形”的量，因此在解決向量有關(guān)問題時，多數(shù)習(xí)題要結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷、求解，這是研究平面向量最重要的方法與技巧如本題易忽視A、M、D三點共線和B、M、C三點共線這個幾何特征(4)方程思想是解決本題的關(guān)鍵，要注意體會.方法與技巧1向量的線性運算要滿足三角形法則和平行四邊形法則，做題時，要注意三角形法則與平行四邊形法則的要素向量加法的三角形法則要素是“首尾相接，指向終點”；向量減法的三角形法則要素是“起點重合，指向被減向量”；平行四邊形法則要素是“起點重合”2可以運用向量共線證明線段平行或三點共線如且AB與CD不共線，則ABCD；若，則A、B、C三點共線失誤與防范1解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿足條件要特別注意零向量的特殊性 課后訓(xùn)練一、選擇題1 下列命題中正確的是 ()Aa與b共線，b與c共線，則a與c也共線B任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點C向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D有相同起點的兩個非零向量不平行答案C解析由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，所以B不正確；向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題入手來考慮，假設(shè)a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可知a與b共線，符合已知條件，所以有向量a與b不共線，則a與b都是非零向量，故選C.2 已知a2b，5a6b，7a2b，則下列一定共線的三點是()AA、B、C BA、B、DCB、C、D DA、C、D答案B解析2a4b2A、B、D三點共線3 已知ABC和點M滿足0，若存在實數(shù)m使得m成立，則m等于 ()A2 B3 C4 D5答案B解析由已知條件得.如圖，因此延長AM交BC于D點，則D為BC的中點延長BM交AC于E點，延長CM交AB于F點，同理可證E、F分別為AC、AB的中點，即M為ABC的重心()，即3，則m3.4 已知點O為ABC外接圓的圓心，且0，則ABC的內(nèi)角A等于()A30 B60 C90 D120答案B解析由0，知點O為ABC的重心，又O為ABC外接圓的圓心，ABC為等邊三角形，A60.5 在ABC中，AB2，BC3，ABC60，AD為BC邊上的高，O為AD的中點，若，則等于 ()A1 B. C. D.答案D解析，2，即.故.二、填空題6 設(shè)向量e1，e2不共線，3(e1e2)，e2e1，2e1e2，給出下列結(jié)論：A，B，C共線；A，B，D共線；B，C，D共線；A，C，D共線，其中所有正確結(jié)論的序號為_答案解析4e12e2，3e1，由向量共線的充要條件ba(a0)可得A，C，D共線，而其他無解7 在ABCD中，a，b，3，M為BC的中點，則_.(用a，b表示)答案ab解析由3得(ab)，ab，所以(ab)ab.8 在ABC中，已知D是AB邊上一點，若2，則_.答案解析由圖知，且20.2得：32，.三、解答題9 已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1、e2不共線，向量c2e19e2.問是否存在這樣的實數(shù)、，使向量dab與c共線？解d(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d與c共線，則應(yīng)有實數(shù)k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，即得2.故存在