高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何 1 從平面向量到空間向量課件 北師大版選修2-11

第二章空間向量與立體幾何 1從平面向量到空間向量 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解空間向量的概念 2 了解空間向量的表示法 了解自由向量的概念 3 理解空間向量的夾角 4 理解直線的方向向量與平面的法向量的概念 題型探究 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 思考1 知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念 類比平面向量的概念 給出空間向量的概念 在空間中 把具有大小和方向的量叫作空間向量 答案 若表示兩個(gè)相等空間向量的有向線段的起點(diǎn)相同 則終點(diǎn)也一定相同嗎 一定相同 因?yàn)橄嗟认蛄康姆较蛳嗤?長(zhǎng)度相等 所以表示相等向量的有向線段的起點(diǎn)相同 終點(diǎn)也相同 答案 思考2 梳理 空間向量的有關(guān)概念 1 定義 在空間中 把既有又有的量 叫作空間向量 2 長(zhǎng)度 空間向量的大小叫作向量的或 3 表示法 4 自由向量 與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量 大小 方向 長(zhǎng)度 模 有向線段 知識(shí)點(diǎn)二空間向量的夾角 思考 在平面內(nèi) 若非零向量a與b共線 則它們的夾角是多少 0或 答案 梳理 間向量的夾角 1 文字?jǐn)⑹?a b是空間中兩個(gè)非零向量 過(guò)空間任意一點(diǎn)O 作 a b 則叫作向量a與向量b的夾角 記作 2 圖形表示 AOB a b 0 銳角 直角 鈍角 3 范圍 a b 4 空間向量的垂直 如果 a b 那么稱a與b互相垂直 記作 0 a b 知識(shí)點(diǎn)三向量與直線 平面 1 向量與直線與平面向量一樣 也可用空間向量描述空間直線的方向 如圖所示 l是空間一直線 A B是直線l上任意兩點(diǎn) 則稱為直線l的向量 顯然 與平行的任意非零向量a也是直線l的方向向量 直線的方向向量于該直線 方向 平行 2 向量與平面如圖 如果直線l垂直于平面 那么把直線l的方向向量a叫作平面 的 法向量 題型探究 類型一有關(guān)空間向量的概念的理解 例1給出以下結(jié)論 兩個(gè)空間向量相等 則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同 若空間向量a b滿足 a b 則a b 在正方體ABCD A1B1C1D1中 必有 若空間向量m n p滿足m n n p 則m p 其中不正確的個(gè)數(shù)是A 1B 2C 3D 4 答案 解析 兩個(gè)空間向量相等 它們的起點(diǎn) 終點(diǎn)不一定相同 故 不正確 若空間向量a b滿足 a b 則不一定能判斷出a b 故 不正確 顯然正確 故選B 在空間中 向量 向量的模 相等向量的概念和在平面中向量的相關(guān)概念完全一致 兩向量相等的充要條件是兩個(gè)向量的方向相同 模相等 兩向量互為相反向量的充要條件是大小相等 方向相反 反思與感悟 答案 解析 A 1B 2C 3D 4 2 如圖 在長(zhǎng)方體ABCD A B C D 中 AB 3 AD 2 AA 1 則分別以長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中 單位向量共有多少個(gè) 解答 試寫(xiě)出模為的所有向量 解答 試寫(xiě)出與向量相等的所有向量 解答 試寫(xiě)出向量的所有相反向量 解答 類型二求空間向量的夾角 例2如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 求下列各對(duì)向量的夾角 解答 解答 解答 引申探究 解答 如圖 連接B1C 則B1C A1D 在 ACB1中 因?yàn)锳C AB1 B1C 求解空間向量的夾角 要充分利用原幾何圖形的性質(zhì) 把空間向量的夾角轉(zhuǎn)化為平面向量的夾角 要注意向量方向 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2 答案 解析 取AB的中點(diǎn)O 連接OC OD 易得OC AB OD AB 故AB 平面OCD 又CD 平面OCD 所以AB CD 類型三直線的方向向量與平面法向量的理解 例3已知正四面體A BCD 1 過(guò)點(diǎn)A作出方向向量為的空間直線 解答 如圖 過(guò)點(diǎn)A作直線AE BC 由直線的方向向量的定義可知 直線AE即為過(guò)點(diǎn)A且方向向量為的空間直線 2 過(guò)點(diǎn)A作出平面BCD的一個(gè)法向量 解答 如圖 取 BCD的中心O 由正四面體的性質(zhì)可知 AO垂直于平面BCD 故向量可作為平面BCD的一個(gè)法向量 直線的方向向量有無(wú)數(shù)個(gè) 但一定為非零向量 平面的法向量也有無(wú)數(shù)個(gè) 它們互相平行 給定空間中任意一點(diǎn)A和非零向量a 可以確定 1 唯一一條過(guò)點(diǎn)A且平行于向量a的直線 2 唯一一個(gè)過(guò)點(diǎn)A且垂直于向量a的平面 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3如圖 在正方體ABCD A1B1C1D1中 P是DD1的中點(diǎn) 以C1為起點(diǎn) 指出直線AP的一個(gè)方向向量 解答 取BB1中點(diǎn)Q C1C中點(diǎn)M 連接C1Q BM PM 則PM綊DC綊AB 所以四邊形APMB為平行四邊形 所以AP綊BM 又在四邊形BQC1M中 BQ綊C1M 所以四邊形BQC1M為平行四邊形 所以BM綊C1Q 當(dāng)堂訓(xùn)練 2 3 4 5 1 1 下列命題中 正確的是A 若 a b 則a與b共線B 若 a b 則a bC 若a b 則 a b D 若a b 則a與b不共線 模相等 方向不確定 向量不一定共線 故A錯(cuò)誤 向量不能比較大小 故B錯(cuò)誤 向量不相等 但方向可以相同或相反 所以不相等的向量可以共線 故D錯(cuò)誤 因此C正確 答案 解析 2 3 4 5 1 2 以長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1的任意兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中 能作為直線BB1的方向向量的個(gè)數(shù)為A 8B 7C 6D 5 答案 解析 2 3 4 5 1 3 若把空間中所有單位向量的起點(diǎn)放置于同一點(diǎn) 則這些向量的終點(diǎn)構(gòu)成的圖形為 這些向量的終點(diǎn)到起點(diǎn)的距離均為1 且起點(diǎn)相同 故終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是球面 答案 解析 球面 2 3 4 5 1 4 在長(zhǎng)方體中 從同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)分別為1 2 3 在分別以長(zhǎng)方體的任意兩個(gè)頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中 模為1的向量個(gè)數(shù)為 研究長(zhǎng)方體的模型可知 所有頂點(diǎn)兩兩相連得到的線段中 長(zhǎng)度為1的線段只有4條 故模為1的向量有8個(gè) 答案 解析 8 2 3 4 5 1 5 在直三棱柱ABC A1B1C1中 以下向量可以作為平面ABC法