高等數(shù)學課件（完整版）詳細_4

實例1 求曲邊梯形的面積 一 問題的提出 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積 顯然 小矩形越多 矩形總面積越接近曲邊梯形面積 四個小矩形 九個小矩形 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 播放 曲邊梯形如圖所示 曲邊梯形面積的近似值為 曲邊梯形面積為 實例2 求變速直線運動的路程 思路 把整段時間分割成若干小段 每小段上速度看作不變 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值 1 分割 2 求和 3 取極限 路程的精確值 二 定積分的定義 定義 記為 積分上限 積分下限 積分和 注意 定理1 定理2 三 存在定理 曲邊梯形的面積 曲邊梯形的面積的負值 四 定積分的幾何意義 幾何意義 例1利用定義計算定積分 解 例2利用定義計算定積分 解 證明 利用對數(shù)的性質(zhì)得 極限運算與對數(shù)運算換序得 故 五 小結(jié) 定積分的實質(zhì) 特殊和式的極限 定積分的思想和方法 求近似以直 不變 代曲 變 取極限 思考題 將和式極限 表示成定積分 思考題解答 原式 練習題 練習題答案 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 觀察下列演示過程 注意當分割加細時 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系 對定積分的補充規(guī)定 說明 在下面的性質(zhì)中 假定定積分都存在 且不考慮積分上下限的大小 一 基本內(nèi)容 證 此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況 性質(zhì)1 證 性質(zhì)2 補充 不論的相對位置如何 上式總成立 例若 定積分對于積分區(qū)間具有可加性 則 性質(zhì)3 證 性質(zhì)4 性質(zhì)5 解 令 于是 性質(zhì)5的推論 證 1 證 說明 可積性是顯然的 性質(zhì)5的推論 2 證 此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍 性質(zhì)6 解 解 證 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知 性質(zhì)7 定積分中值定理 積分中值公式 使 即 積分中值公式的幾何解釋 解 由積分中值定理知有 使 定積分的性質(zhì) 注意估值性質(zhì) 積分中值定理的應(yīng)用 典型問題 估計積分值 不計算定積分比較積分大小 二 小結(jié) 思考題 思考題解答 例 練習題 練習題答案 變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系 變速直線運動中路程為 另一方面這段路程可表示為 一 問題的提出 考察定積分 記 積分上限函數(shù) 二 積分上限函數(shù)及其導數(shù) 積分上限函數(shù)的性質(zhì) 證 由積分中值定理得 補充 證 例1求 解 分析 這是型不定式 應(yīng)用洛必達法則 證 證 令 定理2 原函數(shù)存在定理 定理的重要意義 1 肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 2 初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系 定理3 微積分基本公式 證 三 牛頓 萊布尼茨公式 令 令 牛頓 萊布尼茨公式 微積分基本公式表明 注意 求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題 例4求 原式 例5設(shè) 求 解 解 例6求 解 由圖形可知 例7求 解 解面積 3 微積分基本公式 1 積分上限函數(shù) 2 積分上限函數(shù)的導數(shù) 四 小結(jié) 牛頓 萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關(guān)系 思考題 思考題解答 練習題 練習題答案 定理 一 換元公式 證 應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意 1 2 例1計算 解 令 例2計算 解 例3計算 解 原式 例4計算 解 令 原式 證 奇函數(shù) 例6計算 解 原式 偶函數(shù) 單位圓的面積 證 1 設(shè) 2 設(shè) 幾個特殊積分 定積分的幾個等式 定積分的換元法 二 小結(jié) 思考題 解 令 思考題解答 計算中第二步是錯誤的 正確解法是 練習題 練習題答案 推導 一 分部積分公式 例1計算 解 令 則 例2計算 解 例3計算 解 例4設(shè)求 解 例5證明定積分公式 證 設(shè) 積分關(guān)于下標的遞推公式 直到下標減到0或1為止 于是 定積分的分部積分公式 二 小結(jié) 注意與不定積分分部積分法的區(qū)別 思考題 思考題解答 練習題 練習題答案 一 問題的提出 計算定積分的方法 1 求原函數(shù) 問題 1 被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示 2 被積函數(shù)難于用公式表示 而是用圖形或表格給出的 3 被積函數(shù)雖然能用公式表示 但計算其原函數(shù)很困難 2 利用牛頓 萊布尼茨公式得結(jié)果 解決辦法 建立定積分的近似計算方法 常用方法 矩形法 梯形法 拋物線法 思路 二 矩形法 則有 則有 三 梯形法 梯形法就是在每個小區(qū)間上 以窄梯形的面積近似代替窄曲邊梯形的面積 如圖 例 解 相應(yīng)的函數(shù)值為 列表 利用矩形法公式 得 利用矩形法公式 得 利用梯形法公式 得 實際上是前面兩值的平均值 四 拋物線法 因為經(jīng)過三個不同的點可以唯一確定一拋物線 于是所求面積為 例 對如圖所示的圖形測量所得的數(shù)據(jù)如下表所示 用拋物線法計算該圖形的面積 解 根據(jù)拋物線公式 4 得 五 小結(jié) 求定積分近似值的方法 矩形法 梯形法 拋物線法 注意 對于以上三種方法當取得越大時近似程度就越好 練習題 練習題答案 一 無窮限的廣義積分 例1計算廣義積分 解 例2計算廣義積分 解 證 證 二 無界函數(shù)的廣義積分 定義中C為瑕點 以上積分稱為瑕積分 例5計算廣義積分 解 證 例7計算廣義積分 解 故原廣義積分發(fā)散 例8計算廣義積分 解 瑕點 無界函數(shù)的廣義積分 瑕積分 無窮限的廣義積分 注意 不能忽略內(nèi)部的瑕點 三 小結(jié) 思考題 積分的瑕點是哪幾點 思考題解答 積分可能的瑕點是 不是瑕點 的瑕點是 練習題 練習題答案 第五章習題課 問題1 曲邊梯形的面積 問題2 變速直線運動的路程 存在定理 廣義積分 定積分 定積分的性質(zhì) 定積分的計算法 牛頓 萊布尼茨公式 一 主要內(nèi)容 1 問題的提出 實例1 求曲邊梯形的面積A 實例2 求變速直線運動的路程 方法 分割 求和 取極限 2 定積分的定義 定義 記為 可積的兩個充分條件 定理1 定理2 3 存在定理 4 定積分的性質(zhì) 性質(zhì)1 性質(zhì)2 性質(zhì)3 性質(zhì)5 推論 1 2 性質(zhì)4 性質(zhì)7 定積分中值定理 性質(zhì)6 積分中值公式 5 牛頓 萊布尼茨公式 定理1 定理2 原函數(shù)存在定理 定理3 微積分基本公式 也可寫成 牛頓 萊