2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章2.5平面向量應(yīng)用舉例學(xué)案含解析.docx

25 平面向量應(yīng)用舉例導(dǎo)入新知1用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系2向量在物理中的應(yīng)用(1)物理問題中常見的向量有力、速度、位移等(2)向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在一些物理量的合成和分解中(3)動(dòng)量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算(4)功是力F與位移s的數(shù)量積化解疑難向量法在平面幾何中的應(yīng)用用向量法解決平面幾何問題，一般來說有兩個(gè)方向：(1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算；(2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法平面幾何中的垂直問題例1如圖所示，在正方形ABCD中，P為對(duì)角線AC上任一點(diǎn)，PEAB，PFBC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DPEF.證明設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AEa(0a1)，則EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0.，即DPEF.類題通法利用向量解決垂直問題對(duì)于線段的垂直問題，可以聯(lián)想到兩個(gè)向量垂直的條件(向量的數(shù)量積為0)，而對(duì)于這一條件的應(yīng)用，可以考慮向量關(guān)系式的形式，也可以考慮坐標(biāo)的形式活學(xué)活用如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)求證：AFDE(利用向量證明)證明：設(shè)a，b，則ab，ba，b2a2ab.又，且|，a2b2，ab0，0，即AFDE.平面幾何中的長度問題例2已知RtABC中，C90，設(shè)ACm，BCn.(1)若D為斜邊AB的中點(diǎn)，求證：CDAB；(2)若E為CD的中點(diǎn)，連接AE并延長交BC于F，求AF的長度(用m，n表示)解(1)證明：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以邊CB，CA所在的直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，A(0，m)，B(n,0)D為AB的中點(diǎn)，D，|，|，|，即CDAB.(2)E為CD的中點(diǎn)，E，設(shè)F(x,0)，則，(x，m)A，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，.即(x，m).則故，即x，F(xiàn).|，即AF.類題通法利用向量法解決長度問題向量法求平面幾何中的長度問題，即向量長度的求解，一是利用圖形特點(diǎn)選擇基底，向向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化，用公式|a|2a2求解；二是建立坐標(biāo)系，確定相應(yīng)向量的坐標(biāo)，代入公式：若a(x，y)，則|a|.活學(xué)活用如圖，平行四邊形ABCD中，已知AD1，AB2，對(duì)角線BD2，求對(duì)角線AC的長答案：向量在物理中的應(yīng)用例3在水流速度為4 km/h的河水中，一艘船以12 km/h的實(shí)際航行速度垂直于對(duì)岸行駛，求這艘船的航行速度的大小與方向解如圖所示，設(shè)表示水流速度，表示船垂直于對(duì)岸行駛的速度，以為一邊，為一對(duì)角線作ABCD，則就是船的航行速度|4，|12，|8，tanACB，CADACB30，BAD120.即船的航行速度為8 km/h，方向與水流方向的夾角為120.類題通法利用向量法解決物理問題的步驟(1)抽象出物理問題的向量，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；(2)建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型；(4)用數(shù)學(xué)模型中的數(shù)據(jù)解釋或分析物理問題活學(xué)活用已知力F(斜向上)與水平方向的夾角為30，大小為50 N，一個(gè)質(zhì)量為8 kg的木塊受力F的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)0.02 的水平面上運(yùn)動(dòng)了20 m求力F和摩擦力f所做的功分別為多少(g取10 m/s2)答案：F和f所做的功分別為500 J和22 J典例已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足()，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_心解析由原等式得()，根據(jù)平行四邊形法則，知是ABC的中線所對(duì)應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過ABC的重心答案重多維探究探求動(dòng)點(diǎn)軌跡經(jīng)過某點(diǎn)，只要確定其軌跡與三角形中的哪些特殊線段所在直線重合即可上面典例就是利用向量探究三角形的重心問題，另外與三角形的內(nèi)心、外心、垂心有關(guān)的問題也是各類考試常涉及的問題活學(xué)活用1若動(dòng)點(diǎn)P滿足，(0，)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_心答案：內(nèi)2若動(dòng)點(diǎn)P滿足，(0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_心答案：垂3若動(dòng)點(diǎn)P滿足，(0，), 則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的_心答案：外隨堂即時(shí)演練1人騎自行車的速度是v1，風(fēng)速為v2，則逆風(fēng)行駛的速度為()Av1v2Bv1v2C|v1|v2| D.答案：B2.如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，則等于()A. B.C2 D3答案：B3若菱形ABCD的邊長為2，則|_.答案：24某物體做斜拋運(yùn)動(dòng)，初速度|v0|10 m/s，與水平方向成60角，不計(jì)空氣阻力，則該物體在水平方向上的速度是_m/s.答案：55已知平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AEFCAC，試用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形證明：設(shè)a，b，則aba，bba，所以，且D，E，F(xiàn)，B四點(diǎn)不共線，所以四邊形DEBF是平行四邊形課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1若向量(1,1)，(3，2)分別表示兩個(gè)力F1，F(xiàn)2，則|F1F2|為()A.B2C. D.答案：C2設(shè)a，b，c為同一平面內(nèi)具有相同起點(diǎn)的任意三個(gè)非零向量，且a與b不共線，ac，|a|c|，則|bc|的值一定等于()A以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積B以b，c為兩邊的三角形的面積C以a，b為兩邊的三角形的面積D以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積答案：A3兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們夾角為90時(shí)，合力大小為20 N，則當(dāng)它們的夾角為120時(shí)，合力大小為()A40 N B10 NC20 N D10 N答案：B4已知ABC滿足2，則ABC是()A等邊三角形 B銳角三角形C直角三角形 D鈍角三角形答案：C5ABC中，D，E，F(xiàn)分別為BC，CA，AB的中點(diǎn)，則()A0 B0C D答案：B二、填空題6平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_答案：y28x7已知A，B是圓心為C，半徑為的圓上的兩點(diǎn)，且|AB|，則_.答案：8用兩條成120角的等長繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具重量為10 N，則每根繩子的拉力大小為_ N.答案：10三、解答題9如圖所示，若D是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2AC2DB2DC2，求證：ADBC.證明：設(shè)a，b，e，c，d，則aec，bed，所以a2b2(ec)2(ed)2c22ec2edd2.由已知可得a2b2c2d2，所以c22ec2edd2c2d2，所以e(cd)0.因?yàn)閐c，所以e(dc)0，所以，即ADBC.10如圖，用兩根分別長5米和10米的繩子，將100 N的物體吊在水平屋頂AB上，平衡后，G點(diǎn)距屋頂距離恰好為5米，求A處所受力的大小(繩子的重量忽略不計(jì))解：如圖，由已知條件可知AG與鉛直方向成45角，BG與鉛直方向成60角設(shè)A處所受力為Fa，B處所受力為Fb，物體的重力為G，EGC60，EGD45，則有|Fa|cos 45|Fb|cos 60|G|100，且|Fa|sin 45|Fb|sin 60.由解得|Fa|15050，A處所受力的大小為(15050)