四面體與外接球問題.doc

四面體與外接球問題【問題一】 四面體一定有外接球嗎？如何證明？【證明】如右圖所示，在四面體ABCD中，設(shè)E為棱AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F、G分別為ABC、ABD的外心，則點(diǎn)F到ABC各頂點(diǎn)距離相等，點(diǎn)G到ABD各頂點(diǎn)距離相等連接EF、EG，則EFAB，EGAB，所以AB平面EFG，所以平面ABC平面EFG，平面ABD平面EFG，過點(diǎn)F作平面ABC的垂線m，則直線m上任一點(diǎn)到ABC各頂點(diǎn)距離相等，同理，過點(diǎn)G作平面ABD的垂線n，則直線n上任一點(diǎn)到ABD各頂點(diǎn)距離相等，不難得到直線m、n均在平面EFG內(nèi)，所以直線m、n相交于一點(diǎn)，設(shè)為點(diǎn)O，所以點(diǎn)O到A、B、C、D四點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心，故四面體一定有外接球且只有一個(gè)。【問題二】如何求四面體外接球的表面積或體積？【答案】求四面體外接球的表面積或體積，就是求四面體外接球的半徑，即求球心O到四面體頂點(diǎn)的距離。容易思到的解題思路是先確定球心O的位置，再通過解三角形得到問題的解決。但此種解決方案運(yùn)算量大。另一種解決思路是構(gòu)造與四面體擁有共同外接球的長方體，通過求長方體的外接球半徑，得到問題的解決，但此種方法需要四面體具有特殊性?！締栴}三】什么樣的四面體能與長方體擁有共同的外接球？【答案】只要四面體四頂點(diǎn)與長方體某四個(gè)頂點(diǎn)重合，則四面體就與長方體擁有共同的外接球，我們不妨稱這個(gè)四面體內(nèi)接于長方體，稱長方體的內(nèi)接四面體。新的問題又出來了，四面體具有何特征，才能內(nèi)接于長方體呢？下面我們用“倒逼”的方法來回答這個(gè)問題?！締栴}四】以長方體8個(gè)頂點(diǎn)中的4個(gè)頂點(diǎn)作四面體，求長方體內(nèi)接四面體的個(gè)數(shù).【答案】從8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)的組合數(shù)為個(gè)其中，共面的4點(diǎn)的個(gè)數(shù)有長方體的6個(gè)面；長方體的6個(gè)對(duì)角面.故長方體的內(nèi)接四面體有7012 = 58（個(gè)）【說明】 這58個(gè)四面體與長方體同外心。若長方體長、寬、高分別為a、b、c，則長方體的外接球的直徑（2R）等于其體對(duì)角線長，即.【問題五】長方體內(nèi)接四面體如何分類？【答案】長方體內(nèi)接四面體可分四類： 四個(gè)面都是銳角三角形且對(duì)棱相等（如圖一）。這類四面體共2個(gè)，對(duì)棱的長度分別為長方體面對(duì)角線的。 圖一 圖二 圖三 圖四四個(gè)面都是直角三角形（如圖二）。這類四面體共24個(gè)，它們有一條最長棱，這條最長的棱就是長方體的體對(duì)角線， 有三個(gè)面都是直角三角形，有三條棱兩兩垂直，另一面為銳角三角形（如圖三）。這類四面體共8個(gè)，兩兩垂直的三條棱就是長方體的長、寬、高有三個(gè)面都是直角三角形，沒有三條棱兩兩垂直，另一面為銳角三角形（如圖四）。這類四面體共16個(gè)，它們有一條最長棱，這個(gè)最的棱就是長方體的體對(duì)角線。到此我已完整地回答了【問題三】中的問題。【練習(xí)一】三棱錐O-ABC中，側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂，三角形OAB，三角形OAC，三角形OBC面積分